حدد متوازي الأضلاع وأكمل الرسم. خاصية أقطار متوازي الأضلاع

من أجل تحديد ما إذا كان شكل معين متوازي أضلاع، هناك عدد من العلامات. دعونا نلقي نظرة على السمات الرئيسية الثلاثة لمتوازي الأضلاع.

1 علامة متوازي الأضلاع

إذا كان ضلعان في شكل رباعي متساويين ومتوازيين، فإن هذا الشكل الرباعي سيكون متوازي أضلاع.

دليل:

خذ بعين الاعتبار الشكل الرباعي ABCD. دع الجانبين AB و CD متوازيان. ودع AB = CD. لنرسم القطر BD فيه. سيتم تقسيم هذا الشكل الرباعي إلى مثلثين متساويين: ABD وCBD.

هذه المثلثات متساوية مع بعضها البعض على طول الجانبين والزاوية بينهما (BD هو الضلع المشترك، AB = CD حسب الحالة، angle1 = angle2 كزوايا عرضية مع BD المستعرض للخطوط المتوازية AB وCD.)، وبالتالي angle3 = الزاوية4.

وستكون هذه الزوايا عرضية عندما يتقاطع الخطان BC وAD مع القاطع BD. ويترتب على ذلك أن BC و AD متوازيان مع بعضهما البعض. لدينا أنه في الشكل الرباعي ABCD، الضلعان المتقابلان متوازيان بشكل زوجي، وبالتالي فإن الشكل الرباعي ABCD متوازي أضلاع.

علامة متوازي الأضلاع 2

إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فإن هذا الشكل الرباعي سيكون متوازي الأضلاع.

دليل:

خذ بعين الاعتبار الشكل الرباعي ABCD. لنرسم القطر BD فيه. سيتم تقسيم هذا الشكل الرباعي إلى مثلثين متساويين: ABD وCBD.

سيكون هذان المثلثان متساويين لبعضهما البعض من ثلاثة جوانب (BD هو الضلع المشترك، AB = CD وBC = AD حسب الشرط). ومن هذا يمكننا أن نستنتج أن الزاوية 1 = الزاوية 2. ويترتب على ذلك أن AB يوازي CD. وبما أن AB = CD وAB مواز لـ CD، فوفقًا للمعيار الأول لمتوازي الأضلاع، فإن الشكل الرباعي ABCD سيكون متوازي أضلاع.

3 علامة متوازي الأضلاع

إذا تقاطعت أقطار الشكل الرباعي وتنصفت بنقطة التقاطع، فإن هذا الشكل الرباعي يكون متوازي أضلاع.

خذ بعين الاعتبار الشكل الرباعي ABCD. دعونا نرسم فيه قطرين AC وBD، اللذين سيتقاطعان عند النقطة O وينصفان بهذه النقطة.

المثلثان AOB و COD سيكونان متساويين لبعضهما البعض، وفقًا للعلامة الأولى لتساوي المثلثات. (AO = OC، BO = OD حسب الشرط، الزاوية AOB = الزاوية COD كزوايا رأسية.) لذلك، AB = CD و angle1 = الزاوية 2. من تساوي الزاويتين 1 و 2، لدينا أن AB يوازي CD. ثم لدينا أنه في الشكل الرباعي ABCD الأضلاع AB متساوية مع CD ومتوازية، ووفقًا للمعيار الأول لمتوازي الأضلاع، فإن الرباعي ABCD سيكون متوازي أضلاع.

المؤسسة التعليمية للميزانية البلدية

مدرسة سافينسكايا الثانوية

بحث

متوازي الأضلاع وخصائصه الجديدة

أكمله: طالب الصف 8B

مدرسة MBOU سافينسكايا الثانوية

كوزنتسوفا سفيتلانا، 14 سنة

الرئيس : مدرس رياضيات

تولشيفسكايا ن.

منطقة إيفانوفو، روسيا

2016

أنا. مقدمة _____________________________________ الصفحة 3

ثانيا. من تاريخ متوازي الأضلاع ___________________________________ الصفحة 4

III الخصائص الإضافية لمتوازي الأضلاع ____________________________________________ الصفحة 4

رابعا. إثبات الممتلكات _____________________________________ الصفحة 5

الخامس. حل المشكلات باستخدام خصائص إضافية __________ صفحة 8

السادس. تطبيق خصائص متوازي الأضلاع في الحياة ___________________ صفحة 11

سابعا. الخلاصة ___________________________________ الصفحة 12

ثامنا. الأدب _________________________________________________ الصفحة 13

مقدمة

"بين العقول المتساوية

في المساواة في الشروط الأخرى

من يعرف الهندسة متفوق"

(بليز باسكال).

أثناء دراسة موضوع "متوازي الأضلاع" في دروس الهندسة، نظرنا إلى خاصيتين لمتوازي الأضلاع وثلاث ميزات، ولكن عندما بدأنا في حل المسائل، اتضح أن هذا لم يكن كافيا.

كان لدي سؤال: هل لمتوازي الأضلاع خصائص أخرى وكيف سيساعد في حل المشكلات؟

وقررت أن أدرس خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع وأبين كيف يمكن تطبيقها لحل المسائل.

موضوع الدراسة : متوازي الاضلاع

موضوع الدراسة :خصائص متوازي الأضلاع
الهدف من العمل:

صياغة وإثبات الخصائص الإضافية لمتوازي الأضلاع التي لم تتم دراستها في المدرسة؛

تطبيق هذه الخصائص لحل المشاكل.

مهام:

دراسة تاريخ ظهور متوازي الأضلاع وتاريخ تطور خصائصه؛

ابحث عن مؤلفات إضافية حول القضية قيد الدراسة؛

دراسة الخصائص الإضافية لمتوازي الأضلاع وإثباتها؛

إظهار تطبيق هذه الخصائص لحل المشكلات؛

النظر في تطبيق خصائص متوازي الأضلاع في الحياة.
طرق البحث:

العمل مع الأدبيات التعليمية والعلوم الشعبية، وموارد الإنترنت؛

دراسة المادة النظرية؛

تحديد مجموعة من المشاكل التي يمكن حلها باستخدام خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع؛

الملاحظة، المقارنة، التحليل، القياس.

مدة الدراسة : 3 أشهر: يناير-مارس 2016

نقرأ في كتاب الهندسة المدرسية التعريف التالي لمتوازي الأضلاع: متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج.

تتم ترجمة كلمة "متوازي الأضلاع" على أنها "خطوط متوازية" (من الكلمات اليونانية Parallelos - الموازية والجرام - الخط)، وقد قدم إقليدس هذا المصطلح. أثبت إقليدس في كتابه العناصر الخصائص التالية لمتوازي الأضلاع: الأضلاع والزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية، والقطر ينصفه. لم يذكر إقليدس نقطة تقاطع متوازي الأضلاع. فقط في نهاية العصور الوسطى، تم تطوير نظرية كاملة لمتوازيات الأضلاع، وفقط في القرن السابع عشر ظهرت نظريات حول متوازيات الأضلاع في الكتب المدرسية، والتي تم إثباتها باستخدام نظرية إقليدس حول خصائص متوازي الأضلاع.

ثالثا خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع

في كتاب الهندسة المدرسي، تم ذكر خاصيتين فقط لمتوازي الأضلاع:

الزوايا والأضلاع المتقابلة متساوية

أقطار متوازي الأضلاع تتقاطع وتنقسم إلى نقطة التقاطع.

في مصادر مختلفة عن الهندسة يمكنك العثور على الخصائص الإضافية التالية:

مجموع الزوايا المجاورةمتوازي الأضلاع يساوي 180 0

منصف زاوية متوازي الأضلاع يقطع منه مثلثًا متساوي الساقين.

منصفات الزوايا المتقابلة لمتوازي الأضلاع تقع على خطوط متوازية؛

تتقاطع منصفات الزوايا المجاورة لمتوازي الأضلاع بزوايا قائمة؛

عندما تتقاطع منصفات جميع زوايا متوازي الأضلاع فإنها تشكل مستطيلاً؛

المسافات من الزوايا المتقابلة لمتوازي الأضلاع إلى نفس القطر متساوية.

إذا قمت بتوصيل القمم المتقابلة في متوازي الأضلاع مع نقاط المنتصف للأضلاع المتقابلة، فستحصل على متوازي أضلاع آخر.

مجموع مربعات أقطار متوازي الأضلاع يساوي ضعف مجموع مربعات أضلاعه المجاورة.

إذا قمت برسم ارتفاعات من زاويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع، فستحصل على مستطيل.

رابعا إثبات خصائص متوازي الأضلاع

مجموع الزوايا المجاورة لمتوازي الأضلاع هو 180 0

منح:

ABCD - متوازي الأضلاع

يثبت:

أ+
ب=

دليل:

أ و
ب – زوايا داخلية أحادية الجانب مع خطوط متوازية قبل الميلاد AD والقاطع AB، وهو ما يعني
أ+
ب=

منح:ا ب ت ث - متوازي الاضلاع،

حزب العدالة والتنمية منصف
أ.

يثبت: AVK - متساوي الساقين

دليل:

1)
1=
3 (عرضيًا يقع في BC م و قاطع AK ) ،

2)
2=
3 لأن AK منصف،

يعني 1=
2.

3) ABC - متساوي الساقين لأن زاويتين في المثلث متساويتان

. منصف زاوية متوازي الأضلاع يقطع منه مثلثًا متساوي الساقين

منح: ABCD هو متوازي الأضلاع،

AK - المنصف A،

CP - المنصف C.

يثبت:أك ║ ريال

دليل:

1) 1=2 لأن AK منصف

2) 4=5 لأن CP – منصف

3) 3=1 (زوايا عرضية عند

BC ║ AD وAK-secant)،

4) A =C (بخاصية متوازي الأضلاع)، وهو ما يعني 2=3=4=5.

4) من الفقرتين 3 و 4 يستنتج أن 1 = 4، وهذه الزوايا تقابل الخطوط المستقيمة AK وCP والقاطع BC،

وهذا يعني AK ║ CP (على أساس توازي الخطوط)

. منصفات الزوايا المتقابلة لمتوازي الأضلاع تقع على خطوط متوازية

تتقاطع منصفات الزوايا المجاورة لمتوازي الأضلاع بزوايا قائمة

منح: ABCD - متوازي الأضلاع،

AK-المنصف A،

DP منصف D

يثبت:موانئ دبي أك.

دليل:

1) 1=2، لأن حزب العدالة والتنمية - منصف

دع 1=2=س، ثم أ=2س،

2) 3=4، لأن د ص – منصف

دع 3=4=ص، ثم د=2ص

3) أ + د = 180 0، لأن مجموع الزوايا المجاورة لمتوازي الأضلاع هو 180

2) النظر التطوير التنظيمي

1+3=90 0 إذن
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. منصفات جميع زوايا متوازي الأضلاع عند تقاطعها تشكل مستطيلاً

منح: ABCD - متوازي الأضلاع، منصف AK،

DP- المنصف D،

سم منصف C،

BF - المنصف ب .

يثبت: KRNS - مستطيل

دليل:

بناءً على الخاصية السابقة 8=7=6=5=90 0 ,

يعني أن KRNS مستطيل.

المسافات من الزوايا المتقابلة لمتوازي الأضلاع إلى نفس القطر متساوية.

منح: ABCD-متوازي الأضلاع، AC-قطري.

VC مكيف هواء، د. تيار متردد.

يثبت:قبل الميلاد = موانئ دبي

دليل: 1) DCP = KAB، حيث توجد تقاطعات داخلية مع AB ║ CD وsecant AC.

2) أكب= CDP (على طول الجانب والزاويتين المتجاورتين AB=CD CD P=AB K).

وفي المثلثات المتساوية تكون الأضلاع المتناظرة متساوية، وهو ما يعني DP=BK.

منح: ABCD متوازي الأضلاع.

يثبت: VKDP هو متوازي الأضلاع.

دليل:

1) BP=KD (AD=BC، النقطتان K وP

قسّم هذه الجوانب إلى نصفين)

2) BP ║ KD (يقع على AD قبل الميلاد)

إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية ومتوازية، فإن الشكل الرباعي يكون متوازي الأضلاع.

إذا قمت برسم ارتفاعات من زاويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع، فستحصل على مستطيل.

مجموع مربعات أقطار متوازي الأضلاع يساوي ضعف مجموع مربعات أضلاعه المجاورة.

منح: ABCD هو متوازي الأضلاع. BD وAC قطريان.

يثبت: تكييف 2 +د 2 =2(أب 2 + م 2 )

دليل: 1)بسأل: تيار متردد. ²=
+

2)ب رد : دينار بحريني 2 = ب ر 2 + رد 2 (حسب نظرية فيثاغورس)

3) تيار متردد. ²+ دينار بحريني ²=SK²+أ ك²+ب Р²+Рد ²

4) SC = BP = N(ارتفاع )

5) مكيف الهواء 2 +بد 2 = ح 2 + أ ل 2 + ح 2 +صد 2

6) يترك د ك =أ ع = س، ثم ج لد : ح 2 = قرص مضغوط 2 - العاشر 2 وفقا لنظرية فيثاغورس )

7) أ²+بد ² = جد 2 - x²+ أك 1 ²+ قرص مضغوط 2 -X 2 +صد 2 ,

أي سي² + بد ²=2سد 2 -2x 2 + أ ل 2 +صد 2

8) أ ل=م+ X, رد=م- X,

أي سي² + بد ² =2قرص مضغوط 2 -2x 2 +(إعلان +x) 2 +(إعلان -X) 2 ,

تكييف²+ فيد²=2 معد²-2 X² +م 2 +2 م X+ X 2 +م 2 -2 م X+ X 2 ,
تكييف²+ فيد² = 2 قرص مضغوط 2 +2 م 2 =2(قرص مضغوط 2 +م 2 ).

الخامس . حل المشاكل باستخدام هذه الخصائص

نقطة تقاطع منصفات زاويتين متوازي الأضلاع المجاورة لأحد الجانبين تنتمي إلى الجانب الآخر. أقصر جانب من متوازي الأضلاع هو 5 . ابحث عن جانبها الكبير.

منح: ABCD هو متوازي الأضلاع،

حزب العدالة والتنمية - منصف
أ،

د ك – منصف
د ، أ ب=5

يجد: شمس

قرار

حل

لأن حزب العدالة والتنمية - منصف
ومن ثم فإن ABC متساوي الساقين.

لأن د ك – منصف
د، ثم DCK - متساوي الساقين

العاصمة = ج ك = 5

ثم BC=VC+SC=5+5 = 10

الجواب: 10

2. أوجد محيط متوازي الأضلاع إذا كان منصف إحدى زواياه يقسم جانب متوازي الأضلاع إلى قطع طولها 7 سم و 14 سم.

1 حالة

منح:
أ،

VK=14 سم، KS=7 سم

يجد: P متوازي الأضلاع

حل

VS=VK+KS=14+7=21 (سم)

لأن حزب العدالة والتنمية - منصف
ومن ثم فإن ABC متساوي الساقين.

أ ب = ب ك = 14 سم

ثم P=2 (14+21) =70 (سم)

يحدث

منح: ABCD هو متوازي الأضلاع،

د ك – منصف
د

VK=14 سم، KS=7 سم

يجد: ف متوازي الاضلاع

حل

VS=VK+KS=14+7=21 (سم)

لأن د ك – منصف
د، ثم DCK - متساوي الساقين

العاصمة = ج ك = 7

إذن، P = 2 (21+7) = 56 (سم)

إجابة: 70 سم أو 56 سم

3. طول ضلعي متوازي الأضلاع 10 سم و 3 سم. منصفات الزاويتين المجاورتين للضلع الأكبر تقسم الضلع المقابل إلى ثلاثة أجزاء. ابحث عن هذه القطاعات.

1 حالة:تتقاطع المنصفات خارج متوازي الأضلاع

منح: ABCD - متوازي الأضلاع، AK - منصف
أ،

د ك – منصف
د، أ ب = 3 سم، ق = 10 سم

يجد: VM، MN، NC

حل

لأن صباحا - منصف
ومن ثم فإن التشوه الشرياني الوريدي متساوي الساقين.

لأن DN - منصف
د، ثم DCN - متساوي الساقين

العاصمة = CN = 3

إذن MN = 10 – (BM + NC) = 10 – (3+3)=4 سم

الحالة 2:تتقاطع المنصفات داخل متوازي الأضلاع

لأن أ - منصف
ومن ثم فإن ABN متساوي الساقين.

أ ب = بن = 3 د

ويجب تحريك الشبكة المنزلقة إلى المسافة المطلوبة في المدخل

آلية متوازي الأضلاع- آلية ذات أربعة أشرطة تشكل روابطها متوازي الأضلاع. يتم استخدامه لتنفيذ الحركة الانتقالية بواسطة الآليات المفصلية.

متوازي الأضلاع مع وصلة ثابتة- رابط واحد ثابت، والعكس يقوم بحركة متأرجحة، ويبقى موازيا للثابت. متوازيا أضلاع متصلان أحدهما خلف الآخر يمنحان الوصلة النهائية درجتين من الحرية، مما يجعلها موازية للوصلة الثابتة.

أمثلة: ماسحات الزجاج الأمامي للحافلات، والرافعات الشوكية، والحوامل الثلاثية، والشماعات، وتعليقات السيارات.

متوازي الأضلاع مع مفصل ثابت- يتم استخدام خاصية متوازي الأضلاع للحفاظ على نسبة ثابتة من المسافات بين ثلاث نقاط. مثال: رسم المنساخ - جهاز لقياس الرسومات.

المعين- جميع الوصلات متساوية الطول، ويؤدي اقتراب (انكماش) زوج من المفصلات المتقابلة إلى تباعد المفصلتين الأخريين. جميع الروابط تعمل بالضغط .

أمثلة - جاك السيارات على شكل الماس، منساخ الترام.

مقصأو آلية على شكل X، المعروف أيضًا باسم مقص نورمبرغ- نسخة المعين - وصلتان متصلتان في المنتصف بمفصلة. مزايا الآلية هي الاكتناز والبساطة، والعيب هو وجود زوجين منزلقين. تشكل اثنتان (أو أكثر) من هذه الآليات المتصلة في سلسلة ماسًا (أحجارًا) في المنتصف. يستخدم في المصاعد وألعاب الأطفال.

سابعا خاتمة

من كان يدرس الرياضيات منذ الصغر؟

فهو ينمي الانتباه، ويدرب دماغه،

الإرادة الذاتية، تزرع المثابرة

والمثابرة في تحقيق الأهداف

أ. ماركوشيفيتش

أثناء العمل، أثبتت خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع.

كنت مقتنعا أنه باستخدام هذه الخصائص، يمكنك حل المشكلات بشكل أسرع.

لقد أوضحت كيفية تطبيق هذه الخصائص باستخدام أمثلة لحل مشكلات محددة.

لقد تعلمت الكثير عن متوازي الأضلاع، وهو غير موجود في كتاب الهندسة المدرسي لدينا

لقد كنت مقتنعًا بأن معرفة الهندسة مهمة جدًا في الحياة من خلال أمثلة لتطبيق خصائص متوازي الأضلاع.

تم الانتهاء من الغرض من عملي البحثي.

وتتجلى أهمية المعرفة الرياضية من خلال إنشاء جائزة للشخص الذي ينشر كتابا عن شخص عاش حياته كلها دون مساعدة الرياضيات. ولم يحصل أي شخص على هذه الجائزة بعد.

ثامنا الأدب

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية، أي. تقع على خطوط متوازية

خصائص متوازي الأضلاع:
النظرية 22. الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية.
دليل. في متوازي الأضلاع ABCD نرسم AC قطريًا. المثلثان ACD وACB متطابقان، إذ أن لهما جانبًا مشتركًا AC وزوجين من الزوايا المتساوية. المجاورة لها: ∠ CAB=∠ ACD، ∠ ACB=∠ DAC (كزوايا عرضية مع خطوط متوازية AD وBC). وهذا يعني أن AB = CD وBC = AD، كأضلاع متناظرة لمثلثات متساوية، وما إلى ذلك. ويترتب على تساوي هذه المثلثات أيضاً أن الزوايا المتناظرة في المثلثات متساوية:
النظرية 23. الزاويتان المتقابلتان في متوازي الأضلاع متساويتان: ∠ A=∠ C و ∠ B=∠ D.
مساواة الزوج الأول تأتي من مساواة المثلثات ABD وCBD، والثانية - ABC وACD.
النظرية 24. الزوايا المجاورة لمتوازي الأضلاع، أي. مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد يصل إلى 180 درجة.
وذلك لأنها زوايا داخلية أحادية الجانب.
النظرية 25. أقطار متوازي الأضلاع تنصف بعضها البعض عند نقطة تقاطعها.
دليل. خذ بعين الاعتبار المثلثين BOC وAOD. وفقًا للخاصية الأولى AD=BC ∠ OAD=∠ OCB و ∠ ODA=∠ OBC تقع بشكل عرضي للخطوط المتوازية AD وBC. ولذلك فإن المثلثين BOC وAOD متساويان في الزوايا الجانبية والمجاورة. وهذا يعني BO=OD وAO=OS، مثل الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتساوية، وما إلى ذلك.

علامات متوازي الأضلاع
النظرية 26. إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فهو متوازي أضلاع.
دليل. دع الشكل الرباعي ABCD له جوانب AD وBC وAB وCD متساوية على التوالي (الشكل 2). دعونا نرسم التيار المتردد القطري. المثلثان ABC وACD متساويان من ثلاثة جوانب. إذن الزاويتان BAC وDCA متساويتان، وبالتالي فإن AB موازٍ للضلع CD. يأتي التوازي بين الجانبين BC وAD من تساوي الزوايا CAD وACB.
النظرية 27. إذا كانت الزوايا المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فهو متوازي أضلاع.
دع ∠ A=∠ C و ∠ B=∠ D. لأن ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o، ثم ∠ A+∠ B=180 o والضلعان AD وBC متوازيان (على أساس توازي الخطوط المستقيمة). وسنثبت أيضًا توازي الضلعين AB وCD، ونستنتج أن ABCD هو متوازي أضلاع بحكم التعريف.
النظرية 28. إذا كانت الزوايا المجاورة للشكل الرباعي، أي. مجموع الزوايا المجاورة لأحد الجانبين يصل إلى 180 درجة، فهو متوازي أضلاع.
إذا كان مجموع قياسات الزوايا الداخلية أحادية الجانب 180 درجة، فإن الخطوط المستقيمة متوازية. إذن AB يوازي CD وBC يوازي AD. تبين أن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع حسب التعريف.
النظرية 29. إذا كانت أقطار الشكل الرباعي تنصف بعضها البعض عند نقطة التقاطع، فإن الشكل الرباعي يكون متوازي أضلاع.
دليل. إذا كانت AO = OC، BO = OD، فإن المثلثين AOD وBOC متساويان، حيث أن لهما زوايا متساوية (عمودية) عند الرأس O، محاطة بين أزواج من الجوانب المتساوية. ومن تساوي المثلثين نستنتج أن AD وBC متساويان. الضلعان AB و CD متساويان أيضًا، ويتضح أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع وفقًا للمعيار 1.
النظرية 30. إذا كان الشكل الرباعي يحتوي على زوج من الأضلاع المتساوية والمتوازية، فهو متوازي أضلاع.
اجعل الضلعين AB وCD للشكل الرباعي ABCD متوازيين ومتساويين. دعونا نرسم الأقطار AC و BD. ويترتب على توازي هذه الخطوط أن الزاويتين المتقاطعتين ABO = CDO و BAO = OCD متساويتان. المثلثان ABO وCDO متساويان في الزوايا الجانبية والمجاورة. ولذلك AO = OS، VO = ОD، أي. يتم تقسيم الأقطار إلى نصفين عند نقطة التقاطع ويتضح أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع حسب المعيار 4.

في الهندسة، يتم النظر في حالات خاصة لمتوازيات الأضلاع.

كلمة مركبة "متوازي الأضلاع"؟ وخلفه شخصية بسيطة جدًا.

حسنًا، أي أننا أخذنا خطين متوازيين:

عبره اثنان آخران:

وفي الداخل يوجد متوازي الأضلاع!

ما هي خصائص متوازي الأضلاع؟

خصائص متوازي الأضلاع.

بمعنى، ما الذي يمكنك استخدامه إذا أعطيت المسألة متوازي أضلاع؟

النظرية التالية تجيب على هذا السؤال:

دعونا نرسم كل شيء بالتفصيل.

ماذا يعني ذلك النقطة الأولى من النظرية؟ والحقيقة هي أنه إذا كان لديك متوازي الأضلاع، فستكون بالتأكيد

النقطة الثانية تعني أنه إذا كان هناك متوازي أضلاع، فبالتأكيد مرة أخرى:

حسنًا، وأخيرًا، النقطة الثالثة تعني أنه إذا كان لديك متوازي أضلاع، فتأكد من:

هل ترى ما هي ثروة الاختيار هناك؟ ما يجب استخدامه في المشكلة؟ حاول التركيز على مسألة المهمة، أو حاول فقط تجربة كل شيء واحدًا تلو الآخر - سيفي بعض "المفتاح" بالغرض.

والآن دعونا نسأل أنفسنا سؤالاً آخر: كيف يمكننا التعرف على متوازي الأضلاع "بالبصر"؟ ما الذي يجب أن يحدث للشكل الرباعي حتى يكون لنا الحق في إعطائه "عنوان" متوازي الأضلاع؟

هناك عدة علامات لمتوازي الأضلاع تجيب على هذا السؤال.

علامات متوازي الأضلاع.

انتباه! يبدأ.

متوازي الاضلاع.

يرجى ملاحظة: إذا وجدت علامة واحدة على الأقل في مشكلتك، فمن المؤكد أن لديك متوازي أضلاع، ويمكنك استخدام جميع خصائص متوازي الأضلاع.

2. المستطيل

أعتقد أنه لن يكون خبرًا لك على الإطلاق

السؤال الأول: هل المستطيل متوازي أضلاع؟

بالطبع هو كذلك! بعد كل شيء، لديه - تذكر، علامتنا 3؟

ومن هنا، بالطبع، يترتب على ذلك أنه في المستطيل، كما هو الحال في أي متوازي أضلاع، يتم تقسيم الأقطار إلى نصفين عند نقطة التقاطع.

ولكن للمستطيل أيضًا خاصية مميزة واحدة.

خاصية المستطيل

لماذا هذا العقار مميز؟ لأنه لا يوجد متوازي أضلاع آخر له أقطار متساوية. دعونا صياغة ذلك بشكل أكثر وضوحا.

يرجى ملاحظة: لكي يصبح الشكل الرباعي مستطيلًا، يجب أن يصبح الشكل الرباعي أولًا متوازي أضلاع، ثم يُظهر تساوي الأقطار.

3. الماس

ومرة أخرى السؤال: هل المعين متوازي الأضلاع أم لا؟

مع اليمين الكامل - متوازي الأضلاع، لأنه يحتوي على و (تذكر ميزتنا 2).

ومرة أخرى، بما أن المعين متوازي أضلاع، فيجب أن يتمتع بجميع خصائص متوازي الأضلاع. هذا يعني أنه في المعين تكون الزوايا المتقابلة متساوية، والأضلاع المتقابلة متوازية، والأقطار تتنصف عند نقطة التقاطع.

خصائص المعين

انظر الى الصورة:

كما هو الحال في حالة المستطيل، فإن هذه الخصائص مميزة، أي أنه لكل من هذه الخصائص يمكننا أن نستنتج أن هذا ليس مجرد متوازي أضلاع، ولكنه معين.

علامات الماس

ومرة أخرى، انتبه: لا يجب أن يكون هناك شكل رباعي أقطاره متعامد فحسب، بل يجب أن يكون متوازي الأضلاع. تأكد:

لا، بالطبع، على الرغم من أن أقطارها متعامدة، والقطري هو منصف الزوايا و. لكن... الأقطار غير مقسمة إلى نصفين عند نقطة التقاطع، وبالتالي - ليست متوازي أضلاع، وبالتالي ليست مُعينًا.

أي أن المربع هو مستطيل ومعين في نفس الوقت. دعونا نرى ما سيحدث.

هل من الواضح لماذا؟ - المعين هو منصف الزاوية A، وهو يساوي. وهذا يعني أنه ينقسم (وأيضًا) إلى زاويتين على طول.

حسنًا، الأمر واضح تمامًا: قطرا المستطيل متساويان؛ أقطار المعين متعامدة، وبشكل عام، يتم تقسيم متوازي الأضلاع للأقطار إلى نصفين عند نقطة التقاطع.

مستوى متوسط

خواص الأشكال الرباعية. متوازي الاضلاع

خصائص متوازي الأضلاع

انتباه! كلمات " خصائص متوازي الأضلاع"يعني أنه إذا كان في مهمتك هنالكمتوازي الأضلاع، فيمكن استخدام كل ما يلي.

نظرية خصائص متوازي الأضلاع.

في أي متوازي الأضلاع:

دعونا نفهم لماذا كل هذا صحيح، وبعبارة أخرى سوف نثبتنظرية.

فلماذا 1) صحيح؟

إذا كان متوازي الأضلاع فإن:

الكذب متقاطع
الكذب مثل الصلبان.

ويعني ذلك (حسب المعيار الثاني: و- عام).

حسنًا، هذا كل شيء، هذا كل شيء! - اثبت.

ولكن بالمناسبة! لقد أثبتنا أيضًا 2)!

لماذا؟ لكن (أنظر إلى الصورة)، هذا هو السبب بالتحديد.

تبقى 3 فقط).

للقيام بذلك، لا يزال يتعين عليك رسم قطري ثانٍ.

والآن نرى ذلك - حسب الخاصية II (الزوايا والضلع "بينهما").

خصائص أثبتت! دعنا ننتقل إلى العلامات.

علامات متوازي الأضلاع

تذكر أن علامة متوازي الأضلاع تجيب على السؤال "كيف تعرف أن الشكل متوازي أضلاع؟"

في الأيقونات يكون الأمر هكذا:

لماذا؟ سيكون من الجميل أن نفهم السبب - وهذا يكفي. لكن انظر:

حسنًا، لقد اكتشفنا سبب صحة العلامة 1.

حسنا، إنه أسهل! لنرسم قطريًا مرة أخرى.

وهو ما يعني:

وإنه سهل أيضًا. ولكن مختلفة!

وسائل، . رائع! ولكن أيضًا - داخلي من جانب واحد مع قاطع!

وبالتالي فإن الحقيقة التي تعني ذلك.

وإذا نظرت من الجانب الآخر، إذن - داخلي من جانب واحد مع قاطع! وبالتالي.

هل ترى كم هو عظيم؟!

ومرة أخرى بسيطة:

بالضبط نفس الشيء، و.

انتبه:إذا وجدت على الأقلعلامة واحدة على وجود متوازي الأضلاع في مشكلتك، إذن لديك بالضبطمتوازي الأضلاع ويمكنك استخدامه الجميعخصائص متوازي الأضلاع.

للحصول على الوضوح الكامل، انظر إلى الرسم البياني:

خواص الأشكال الرباعية. مستطيل.

خصائص المستطيل:

النقطة 1) واضحة تمامًا - بعد كل شيء، تم تحقيق العلامة 3 () ببساطة

والنقطة 2) - مهم جدا. لذلك، دعونا نثبت ذلك

وهذا يعني على الجانبين (و- عام).

حسنًا، بما أن المثلثين متساويان، فإن أوتارهما متساوية أيضًا.

أثبت أن!

وتخيل أن تساوي الأقطار هو خاصية مميزة للمستطيل بين جميع متوازيات الأضلاع. أي أن هذا الكلام صحيح ^

دعونا نفهم لماذا؟

وهذا يعني (يعني زوايا متوازي الأضلاع). لكن دعونا نتذكر مرة أخرى أنه متوازي أضلاع، وبالتالي.

وسائل، . حسنا، بالطبع، يترتب على ذلك أن كل واحد منهم! بعد كل شيء، عليهم أن يستسلموا بالكامل!

لذلك أثبتوا أنه إذا متوازي الاضلاعفجأة (!) تصبح الأقطار متساوية، ثم هذا مستطيل بالضبط.

لكن! انتبه!هذا هو حول متوازي الأضلاع! ليس فقط أي شخصالشكل الرباعي ذو الأقطار المتساوية هو مستطيل، و فقطمتوازي الاضلاع!

خواص الأشكال الرباعية. المعين

ومرة أخرى السؤال: هل المعين متوازي الأضلاع أم لا؟

مع اليمين الكامل - متوازي الأضلاع، لأنه يحتوي على (تذكر الميزة لدينا 2).

ومرة أخرى، بما أن المعين متوازي أضلاع، فلا بد أن يتمتع بجميع خصائص متوازي الأضلاع. هذا يعني أنه في المعين تكون الزوايا المتقابلة متساوية، والأضلاع المتقابلة متوازية، والأقطار تتنصف عند نقطة التقاطع.

ولكن هناك أيضًا خصائص خاصة. دعونا صياغة ذلك.

خصائص المعين

لماذا؟ حسنًا، بما أن المعين متوازي أضلاع، فإن قطريه مقسمان إلى نصفين.

لماذا؟ نعم، لهذا السبب!

وبعبارة أخرى، تبين أن الأقطار هي منصفات زوايا المعين.

كما هو الحال في المستطيل، هذه الخصائص متميز، كل واحد منهم هو أيضًا علامة على المعين.

علامات الماس.

لماذا هذا؟ وانظر،

هذا يعني كلاهماهذه المثلثات متساوية الساقين.

لكي يكون الشكل الرباعي معينًا، يجب أن "يصبح" أولًا متوازي أضلاع، ثم يحمل الميزة 1 أو الميزة 2.

خواص الأشكال الرباعية. مربع

أي أن المربع هو مستطيل ومعين في نفس الوقت. دعونا نرى ما سيحدث.

هل من الواضح لماذا؟ المربع - المعين - هو منصف الزاوية التي تساويها. وهذا يعني أنه ينقسم (وأيضًا) إلى زاويتين على طول.

حسنًا، الأمر واضح تمامًا: قطرا المستطيل متساويان؛ أقطار المعين متعامدة، وبشكل عام، يتم تقسيم متوازي الأضلاع إلى النصف عند نقطة التقاطع.

لماذا؟ حسنًا، دعونا نطبق نظرية فيثاغورس على...

الملخص والصيغ الأساسية

خصائص متوازي الأضلاع:

الضلعان المتقابلان متساويان : .
الزوايا المتقابلة متساوية : .
مجموع الزوايا على جانب واحد يصل إلى: , .
يتم تقسيم الأقطار إلى نصفين حسب نقطة التقاطع: .

خصائص المستطيل:

قطرا المستطيل متساويان: .
المستطيل هو متوازي أضلاع (بالنسبة للمستطيل تتوفر جميع خصائص متوازي الأضلاع).

خصائص المعين:

قطرا المعين متعامدان: .
أقطار المعين هي منصفات زواياه: ; ; ; .
المعين هو متوازي الأضلاع (بالنسبة للمعين تتوفر جميع خصائص متوازي الأضلاع).

خصائص المربع:

المربع عبارة عن معين ومستطيل في نفس الوقت، لذلك، بالنسبة للمربع، يتم استيفاء جميع خصائص المستطيل والمعين. و:

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 899 روبية

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

كما هو الحال في الهندسة الإقليدية، تعد النقطة والخط المستقيم العناصر الرئيسية لنظرية المستويات، لذا فإن متوازي الأضلاع هو أحد الأشكال الرئيسية للأشكال الرباعية المحدبة. منه، مثل الخيوط من الكرة، تتدفق مفاهيم "المستطيل"، "المربع"، "المعين" والكميات الهندسية الأخرى.

في تواصل مع

تعريف متوازي الأضلاع

رباعي محدب,يتكون من قطع، كل زوج منها متوازي، ويعرف في الهندسة باسم متوازي الأضلاع.

كيف يبدو متوازي الأضلاع الكلاسيكي مصور بواسطة ABCD رباعي الأضلاع. تسمى الجوانب قواعد (AB، BC، CD، AD)، ويسمى العمودي المرسوم من أي قمة إلى الجانب المقابل لهذا الرأس بالارتفاع (BE وBF)، ويسمى الخطان AC وBD بالأقطار.

انتباه!المربع والمعين والمستطيل هي حالات خاصة من متوازي الأضلاع.

الجوانب والزوايا: ملامح العلاقة

الخصائص الرئيسية، بشكل عام، محددة سلفا من خلال التسمية نفسها، تم إثباتها بواسطة النظرية. هذه الخصائص هي كما يلي:

الجوانب المتقابلة متطابقة في أزواج.
الزوايا المقابلة لبعضها البعض متساوية في أزواج.

البرهان: خذ بعين الاعتبار ∆ABC و∆ADC، اللذين تم الحصول عليهما عن طريق قسمة الشكل الرباعي ABCD على الخط المستقيم AC. ∠BCA=∠CAD و ∠BAC=∠ACD، نظرًا لأن التيار المتردد شائع بالنسبة لهم (الزوايا الرأسية لـ BC||AD وAB||CD، على التوالي). ويترتب على ذلك: ∆ABC = ∆ADC (العلامة الثانية لتساوي المثلثات).

القطع AB وBC في ∆ABC تتوافق في أزواج مع السطور CD وAD في ∆ADC، مما يعني أنهما متطابقان: AB = CD، BC = AD. وبالتالي، ∠B يقابل ∠D وهما متساويان. بما أن ∠A=∠BAC+∠CAD، ∠C=∠BCA+∠ACD، وهما متطابقان أيضًا، فإن ∠A = ∠C. وقد ثبت العقار.

خصائص أقطار الشكل

الميزة الأساسيةمن هذين الخطين من متوازي الأضلاع: نقطة التقاطع تقسمهما إلى نصفين.

البرهان: لتكن نقطة تقاطع القطرين AC و BD بالشكل ABCD. إنهم يشكلون مثلثين متناسبين - ∆ABE و ∆CDE.

AB=CD لأنهما متضادان. وفقًا للخطوط والقاطع، ∠ABE = ∠CDE و∠BAE = ∠DCE.

وبحسب المعيار الثاني للمساواة فإن ∆ABE = ∆CDE. وهذا يعني أن العنصرين ∆ABE و ∆CDE: AE = CE، BE = DE وفي نفس الوقت هما أجزاء متناسبة من AC و BD. وقد ثبت العقار.

ملامح الزوايا المجاورة

الجوانب المجاورة لها مجموع زوايا يساوي 180 درجةلأنهما يقعان على نفس الجانب من المستقيمين المتوازيين والقاطع. بالنسبة للشكل الرباعي ABCD:

∠أ+∠ب=∠ج+∠د=∠أ+∠د=∠ب+∠ج=180°

خصائص المنصف:

، منخفضة إلى جانب واحد، متعامدة.
القمم المتقابلة لها منصفات متوازية.
المثلث الذي تم الحصول عليه عن طريق رسم المنصف سيكون متساوي الساقين.

تحديد السمات المميزة لمتوازي الأضلاع باستخدام النظرية

خصائص هذا الشكل تتبع نظريته الرئيسية التي تنص على ما يلي: يعتبر الشكل الرباعي متوازي الأضلاعفي حال تقاطع قطريها، وهذه النقطة تقسمهما إلى قطع متساوية.

البرهان: دع الخطين AC و BD للشكل الرباعي ABCD يتقاطعان في أي. بما أن ∠AED = ∠BEC، وAE+CE=AC BE+DE=BD، فإن ∆AED = ∆BEC (حسب المعيار الأول لتساوي المثلثات). أي أن ∠EAD = ∠ECB. وهي أيضًا الزوايا المتقاطعة الداخلية للتيار المتردد القاطع للخطين AD وBC. وبالتالي، حسب تعريف التوازي - م || قبل الميلاد تم أيضًا اشتقاق خاصية مشابهة للخطين BC وCD. لقد تم إثبات النظرية.

حساب مساحة الشكل

مساحة هذا الرقم وجدت من خلال عدة طرقواحدة من أبسطها: ضرب الارتفاع والقاعدة التي يرسم عليها.

الدليل: ارسم عمودي BE وCF من الرؤوس B وC. ∆ABE و∆DCF متساويان، حيث أن AB = CD وBE = CF. ABCD يساوي حجم المستطيل EBCF، لأنه يتكون من أرقام متناسبة: S ABE وS EBCD، بالإضافة إلى S DCF وS EBCD. ويترتب على ذلك أن مساحة هذا الشكل الهندسي هي نفس مساحة المستطيل:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

لتحديد الصيغة العامة لمنطقة متوازي الأضلاع، دعونا نشير إلى الارتفاع hb، والجانب - ب. على التوالى:

طرق أخرى للعثور على المنطقة

حسابات المساحة من خلال جوانب متوازي الأضلاع والزاويةوالتي يشكلونها هي الطريقة الثانية المعروفة.

Spr-ma - المنطقة؛

a و b هما جانباها

α هي الزاوية بين القطعتين a و b.

هذه الطريقة تعتمد عمليا على الأولى، لكن في حالة أنها غير معروفة. دائمًا ما يتم قطع المثلث القائم الذي يتم العثور على معلماته بواسطة الهويات المثلثية، أي. تحويل العلاقة، نحصل على . وفي معادلة الطريقة الأولى نستبدل الارتفاع بهذا الناتج ونحصل على ما يثبت صحة هذه الصيغة.

من خلال قطري متوازي الأضلاع والزاوية،التي يقومون بإنشائها عندما يتقاطعون، يمكنك أيضًا العثور على المنطقة.

البرهان: يتقاطع AC وBD ليشكلا أربعة مثلثات: ABE وBEC وCDE وAED. مجموعهم يساوي مساحة هذا الشكل الرباعي.

يمكن العثور على مساحة كل من هذه ∆ بالتعبير حيث a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. منذ ذلك الحين، تستخدم الحسابات قيمة جيبية واحدة. إنه . بما أن AE+CE=AC= d 1 وBE+DE=BD= d 2، يتم تقليل صيغة المساحة إلى:

التطبيق في الجبر المتجه

لقد وجدت ميزات الأجزاء المكونة لهذا الشكل الرباعي تطبيقًا في الجبر المتجه، أي إضافة متجهين. تنص قاعدة متوازي الأضلاع على ذلك إذا أعطيت ناقلاتولاعلى خط واحد، فإن مجموعها سيكون مساوياً لقطر هذا الشكل، الذي تتوافق قواعده مع هذه المتجهات.

البرهان: من بداية مختارة اعتباطيا - أي: من بداية مختارة. - بناء ناقلات و . بعد ذلك، نقوم ببناء متوازي الأضلاع OASV، حيث تكون القطع OA وOB جوانب. وبالتالي، فإن نظام التشغيل يقع على المتجه أو المجموع.

صيغ لحساب معلمات متوازي الأضلاع

يتم إعطاء الهويات وفقًا للشروط التالية:

أ و ب، α - الجانبين والزاوية بينهما؛
د 1 و د 2، γ - الأقطار وعند نقطة تقاطعها؛
ح أ و ح ب - تم تخفيض الارتفاعات إلى الجانبين أ و ب؛

معامل	معادلة
العثور على الجانبين
على طول الأقطار وجيب التمام للزاوية بينهما
على طول الأقطار والجوانب
من خلال الارتفاع والرأس المقابل
إيجاد أطوال الأقطار
على الجانبين وحجم القمة بينهما