مولد النرد - النرد على الإنترنت. مولد النرد - النرد على الانترنت النرد والاستقلال

لقد أسيء تفسير ادعاء أينشتاين بأن الله لا يلعب النرد مع الكون

قليل من عبارات أينشتاين الشهيرة تم الاستشهاد بها على نطاق واسع مثل ملاحظته بأن الله لا يلعب النرد مع الكون. من الطبيعي أن يأخذ الناس تعليقه الذكي هذا كدليل على أنه كان معارضًا دوغمائيًا لميكانيكا الكم، التي تتعامل مع العشوائية على أنها ميزة مميزةالعالم المادي. عندما تتحلل نواة عنصر مشع، فإن ذلك يحدث تلقائيًا، ولا توجد قاعدة تخبرك بالضبط متى أو لماذا سيحدث ذلك. عندما يصطدم جسيم من الضوء بمرآة نصف شفافة، فإنه إما ينعكس عنها أو يمر عبرها. يمكن أن تكون النتيجة أي شيء حتى اللحظة التي وقع فيها هذا الحدث. ولا تحتاج إلى الذهاب إلى المختبر لرؤية هذا النوع من العمليات: فالعديد من مواقع الإنترنت تعرض تدفقات من الأرقام العشوائية الناتجة عن عدادات جيجر أو أجهزة البصريات الكمومية. نظرًا لأنه لا يمكن التنبؤ بها حتى من حيث المبدأ، فإن هذه الأرقام مثالية لحل مشكلات التشفير والإحصاءات وغيرها البطولات عبر الإنترنتعلى لعبة البوكر.

أينشتاين، كما تقول الأسطورة القياسية. رفض قبول حقيقة أن بعض الأحداث غير حتمية بطبيعتها. - إنها تحدث للتو، ولا يمكن فعل أي شيء لمعرفة السبب. بقي في عزلة رائعة تقريبًا، محاطًا بأقرانه، وتشبث بكلتا يديه بالكون الميكانيكي للفيزياء الكلاسيكية، وقام بقياس الثواني ميكانيكيًا، حيث تحدد كل لحظة مسبقًا ما سيحدث في اللحظة التالية. وأصبح خط لعبة النرد مؤشرا على الجانب الآخر من حياته: مأساة الثوري الذي تحول إلى رجعي والذي أحدث ثورة في الفيزياء بنظريته النسبية، ولكن - كما قال نيلز بور دبلوماسيا - عندما واجه نظرية الكم "ذهب إلى خارج لتناول طعام الغداء."

ومع ذلك، على مر السنين، شكك العديد من المؤرخين والفلاسفة والفيزيائيين في هذا التفسير لهذه القصة. ومن خلال الغوص في بحر كل ما قاله أينشتاين بالفعل، اكتشفوا أن أحكامه حول عدم القدرة على التنبؤ كانت أكثر تطرفًا ولها نطاق أوسع من الفروق الدقيقة مما يتم تصويره عادةً. يقول دون هوارد، المؤرخ في جامعة نوتردام: "إن محاولة التنقيب عن القصة الحقيقية تصبح بمثابة مهمة. إنه لأمر مدهش عندما تذهب إلى الأرشيف وترى التناقضات مع الحكمة التقليدية". وكما أظهر هو وغيره من مؤرخي العلوم، فقد أدرك أينشتاين الطبيعة غير الحتمية لميكانيكا الكم - وهو أمر ليس مفاجئًا، لأنه هو الذي اكتشف عدم حتمية هذه الميكانيكا. ما لم يدركه قط هو أن اللاحتمية أمر أساسي في الطبيعة. كل هذا يشير إلى أن المشكلة نشأت على مستوى أعمق من الواقع، وهو ما لم تعكسه النظرية. ولم تكن انتقاداته صوفية، بل ركزت على مشاكل علمية محددة لا تزال دون حل حتى يومنا هذا.

إن السؤال عما إذا كان الكون عبارة عن آلة الساعة أو طاولة النرد يدمر أسس ما نعتقد أن الفيزياء هي: البحث عن القواعد البسيطة التي تكمن وراء التنوع المذهل للطبيعة. إذا حدث شيء ما دون أي سبب، فإنه يضع حدا للتحقيق العقلاني. يقول أندرو س. فريدمان، عالم الكونيات في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا: «إن اللاحتمية الأساسية ستكون نهاية العلم». ومع ذلك، فقد اعتقد الفلاسفة عبر التاريخ أن اللاحتمية شرط ضروري لإرادة الإنسان الحرة. إما أننا جميعًا تروس في آلية الساعة، وبالتالي فإن كل ما نقوم به محدد مسبقًا، أو أننا وكلاء لمصيرنا، وفي هذه الحالة لا يجب أن يكون الكون حتميًا على الإطلاق.

كان لهذا الانقسام عواقب حقيقية للغاية في الطريقة التي يحاسب بها المجتمع الناس على أفعالهم. يعتمد نظامنا القانوني على افتراض الإرادة الحرة؛ لكي تثبت إدانة المتهم، يجب أن يكون قد تصرف عن قصد. تحتار المحاكم دائمًا في السؤال: ماذا لو كان الإنسان بريئًا بسبب الجنون أو اندفاع الشباب أو البيئة الاجتماعية الفاسدة؟

ومع ذلك، عندما يتحدث الناس عن الانقسام، فإنهم يميلون إلى محاولة فضحه باعتباره مفهومًا خاطئًا. في الواقع، يعتقد العديد من الفلاسفة أنه من غير المجدي الحديث عما إذا كان الكون حتميًا أم غير حتمي. يمكن أن يكون كلاهما، اعتمادًا على مدى كبر أو تعقيد موضوع الدراسة: الجسيمات، الذرات، الجزيئات، الخلايا، الكائنات الحية، النفس، المجتمعات. يقول كريستيان ليست، الفيلسوف في كلية لندن للاقتصاد والعلوم السياسية: "الفرق بين الحتمية وعدم الحتمية هو اختلاف يعتمد على مستوى دراسة المشكلة. حتى لو لاحظت الحتمية على مستوى معين، فهي كذلك". متسق تمامًا مع اللاحتمية في المستويين الأعلى والأدنى." يمكن للذرات الموجودة في أدمغتنا أن تتصرف بطريقة حتمية تمامًا، بينما تسمح لنا في الوقت نفسه بحرية التصرف، حيث تعمل الذرات والأعضاء على مستويات مختلفة.

وبطريقة مماثلة، سعى أينشتاين إلى مستوى تحت الكم الحتمي، وفي الوقت نفسه لم ينكر أن المستوى الكمي احتمالي.

ما الذي اعترض عليه أينشتاين؟

إن كيفية حصول أينشتاين على لقب معارض نظرية الكم هو لغز كبير مثل ميكانيكا الكم نفسها. كان مفهوم الكم - وحدة منفصلة للطاقة - ثمرة أفكاره في عام 1905، ولمدة عقد ونصف من الزمان وقف بمفرده تقريبًا في الدفاع عنها. اقترح أينشتاين هذا. ما يعتبره الفيزيائيون اليوم السمات الرئيسية لفيزياء الكم، مثل القدرة الغريبة للضوء على العمل كجسيم وموجة في نفس الوقت، ومن خلال تفكيره في فيزياء الموجات، طور إروين شرودنغر الصيغة الأكثر قبولًا على نطاق واسع للفيزياء الكمومية. النظرية في العشرينيات. ولم يكن أينشتاين معارضًا للصدفة أيضًا. وفي عام 1916، أظهر أنه عندما تبعث الذرات فوتونات، فإن وقت واتجاه الانبعاث يكونان متغيرين عشوائيين.

يقول جان فون بلاتو من جامعة هلسنكي: "هذا يتعارض مع الصورة الشائعة لأينشتاين كمعارض للنهج الاحتمالي". لكن أينشتاين ومعاصريه واجهوا مشكلة خطيرة. الظواهر الكمومية عشوائية، لكن نظرية الكم نفسها ليست كذلك. معادلة شرودنغر حتمية بنسبة 100%. وهو يصف جسيمًا أو نظامًا من الجسيمات باستخدام ما يسمى بالدالة الموجية، والتي تستفيد من الطبيعة الموجية للجسيمات وتشرح النمط الشبيه بالموجة الذي تنتجه مجموعة من الجسيمات. تتنبأ المعادلة بما سيحدث للدالة الموجية في أي وقت بيقين مطلق. في كثير من النواحي، تعتبر هذه المعادلة أكثر حتمية من قوانين نيوتن للحركة: فهي لا تؤدي إلى ارتباكات مثل التفرد (حيث تصبح الكميات لا نهائية وبالتالي لا يمكن وصفها) أو الفوضى (حيث تصبح الحركة غير قابلة للتنبؤ).

المهم هنا هو أن حتمية معادلة شرودنغر هي حتمية الدالة الموجية، ولا يمكن ملاحظة الدالة الموجية بشكل مباشر، على عكس مواقع وسرعات الجسيمات. بدلًا من ذلك، تحدد الدالة الموجية الكميات التي يمكن ملاحظتها واحتمالية كل منها. الخيارات الممكنة. تترك النظرية أسئلة مفتوحة حول ماهية الدالة الموجية نفسها وما إذا كان ينبغي اعتبارها حرفيًا موجة حقيقية في عالمنا المادي. وعليه، يبقى السؤال التالي مطروحا: هل العشوائية المرصودة هي خاصية داخلية متكاملة للطبيعة أم مجرد واجهة لها؟ يقول الفيلسوف كريستيان ووتريتش من جامعة جنيف في سويسرا: "يُزعم أن ميكانيكا الكم غير حتمية، لكن هذا استنتاج متسرع للغاية".

اعتقد فيرنر هايزنبرج، أحد رواد نظرية الكم، أن الدالة الموجية هي ضباب يشير إلى وجود محتمل. إذا لم تتمكن من تحديد مكان وجود الجسيم بشكل واضح لا لبس فيه، فذلك لأن الجسيم لا يوجد في أي مكان على وجه الخصوص. فقط عندما تراقب جسيمًا ما، فإنه يتجسد في مكان ما في الفضاء. يمكن أن تنتشر الدالة الموجية على مساحة كبيرة من الفضاء، ولكن في اللحظة التي يتم فيها الرصد، تنهار على الفور، وتتقلص إلى نقطة ضيقة تقع في مكان واحد محدد، وفجأة يظهر جسيم هناك. ولكن حتى عندما تنظر إلى الجسيم، فتعجب! - يتوقف فجأة عن التصرف بشكل حتمي ويقفز إلى الحالة النهائية، مثل طفل يمسك كرسيًا في لعبة الكراسي الموسيقية. (اللعبة هي أن يرقص الأطفال في دائرة على أنغام الموسيقى حول الكراسي التي يكون عددها أقل من عدد اللاعبين بواحد، ويحاولون الجلوس على مقعد خالي بمجرد توقف الموسيقى).

ولا يوجد قانون يحكم هذا الانهيار. لا توجد معادلة لذلك. هذا يحدث فقط - هذا كل شيء! أصبح الانهيار عنصرًا أساسيًا في تفسير كوبنهاجن: رؤية لميكانيكا الكم سُميت على اسم المدينة التي قام فيها بور ومعهده، جنبًا إلى جنب مع هايزنبرج، بمعظم العمل الأساسي. (ومن المفارقة أن بور نفسه لم يدرك قط انهيار الدالة الموجية). تعتبر مدرسة كوبنهاغن أن العشوائية المرصودة في فيزياء الكم هي سمتها الاسمية، وغير قابلة لمزيد من التوضيح. يتفق معظم علماء الفيزياء على ذلك، وأحد أسباب ذلك هو ما يسمى بتأثير المرساة، والمعروف من علم النفس، أو تأثير المرساة: وهذا تفسير مرضٍ تمامًا، وقد ظهر أولاً. على الرغم من أن أينشتاين لم يكن معارضًا لميكانيكا الكم، إلا أنه كان بالتأكيد معارضًا لتفسير كوبنهاجن لها. لقد انطلق من فكرة أن عملية القياس تسببت في انقطاع في التطور المستمر للنظام الفيزيائي، وفي هذا السياق بدأ يعبر عن معارضته للرمي الإلهي للنرد. "وهذا هو بالضبط ما أعرب عنه أينشتاين في عام 1926، وليس بسبب الادعاء الميتافيزيقي الشامل بالحتمية باعتبارها حقيقة مطلقة. شرط ضرورييقول هوارد. "إنه نشط بشكل خاص في الجدل المحتدم حول ما إذا كان انهيار الدالة الموجية يؤدي إلى انقطاع في الاستمرارية."

تعدد الواقع.ومع ذلك، هل العالم حتميّ أم لا؟ لا تعتمد الإجابة على هذا السؤال على القوانين الأساسية للحركة فحسب، بل أيضًا على المستوى الذي نصف به النظام. خذ بعين الاعتبار خمس ذرات في غاز يتحرك بشكل حتمي (الرسم البياني العلوي). يبدأون رحلتهم من نفس الموقع تقريبًا ويتباعدون تدريجيًا. ومع ذلك، على المستوى العياني (الرسم البياني السفلي)، ليست الذرات الفردية هي التي تكون مرئية، ولكن التدفق غير المتبلور في الغاز. وبعد مرور بعض الوقت، من المحتمل أن يتم توزيع الغاز بشكل عشوائي في عدة تيارات. هذه العشوائية على المستوى الكلي هي نتيجة ثانوية لجهل المراقب بالقوانين على المستوى الجزئي؛ إنها خاصية موضوعية للطبيعة، تعكس الطريقة التي تتجمع بها الذرات. وبالمثل، اقترح أينشتاين أن البنية الداخلية الحتمية للكون تؤدي إلى الطبيعة الاحتمالية لعالم الكم.

يرى أينشتاين أن الانهيار لا يمكن أن يكون عملية حقيقية. وهذا يتطلب إجراءً فوريًا عن بعد - وهي آلية غامضة، والتي من خلالها، على سبيل المثال، ينهار الجانبان الأيمن والأيسر من الدالة الموجية في نفس النقطة الصغيرة، حتى عندما لا توجد قوة تنسق سلوكهما. ولم يكن آينشتاين وحده، بل كل الفيزيائيين في عصره، يعتقد أن مثل هذه العملية مستحيلة، بل يجب أن تحدث بسرعة أكبر من سرعة الضوء، وهو ما يتناقض بشكل واضح مع النظرية النسبية. في الواقع، ميكانيكا الكم لا تمنحك النرد فحسب، بل تمنحك أزواجًا من النرد التي تظهر دائمًا على نفس الجوانب، حتى لو قمت برمي أحدهما في فيجاس والآخر في فيجا. بدا واضحًا لأينشتاين أن حجر النرد لا بد أن يكون غشاشًا، مما يسمح له بالتأثير سرًا على نتيجة الرميات مقدمًا. لكن مدرسة كوبنهاجن تنفي أي احتمال من هذا القبيل، مما يشير إلى أن قطع الدومينو تؤثر بالفعل على بعضها البعض بشكل فوري عبر مساحات شاسعة من الفضاء. علاوة على ذلك، كان أينشتاين يشعر بالقلق إزاء القوة التي نسبها أهل كوبنهاجن إلى عملية القياس. ما هو القياس على أي حال؟ هل يمكن أن يكون هذا شيئًا لا يستطيع القيام به سوى الكائنات الذكية، أو حتى الأساتذة الدائمين فقط؟ لم يحدد هايزنبرغ وغيره من ممثلي مدرسة كوبنهاغن هذا المفهوم مطلقًا. اقترح البعض أننا نخلق الواقع من حولنا في أذهاننا من خلال مراقبته، وهي فكرة تبدو شاعرية، وربما شاعرية أكثر من اللازم. كما اعتبر أينشتاين أيضًا أنه من قمة وقاحة الكوبنهاجنيين أن يعلنوا أن ميكانيكا الكم قد اكتملت تمامًا، وأنها كانت النظرية النهائية التي لن تحل محلها نظرية أخرى أبدًا. لقد اعتبر جميع النظريات، بما في ذلك نظريته، بمثابة جسور لشيء أعظم.

في الحقيقة. ويجادل هوارد بأن أينشتاين سيكون سعيدًا بقبول اللاحتمية إذا كان لديه إجابات لجميع مشاكله التي تحتاج إلى حل - على سبيل المثال، إذا تمكن شخص ما من توضيح ماهية البعد وكيف يمكن للجسيمات أن تظل متزامنة دون إجراء بعيد المدى. من العلامات التي تشير إلى أن أينشتاين اعتبر اللاحتمية مشكلة ثانوية هو أنه طرح نفس المطالب على البدائل الحتمية لمدرسة كوبنهاجن ورفضها أيضًا. مؤرخ آخر هو آرثر فاين من جامعة واشنطن. يعتقد. يبالغ هوارد في تقدير قابلية أينشتاين لعدم الحتمية، لكنه يوافق على أن حكمه يعتمد على أساس أكثر صلابة مما اعتقدت عدة أجيال من علماء الفيزياء، بناءً على مقتطفات من ملاحظاته حول لعبة النرد.

أفكار عشوائية

يعتقد أينشتاين أنه إذا لعبت لعبة شد الحبل إلى جانب مدرسة كوبنهاجن، فستجد أن اضطراب الكم يشبه كل أنواع الاضطرابات الأخرى في الفيزياء: فهو نتاج رؤية أعمق. إن رقصة حبيبات الغبار الصغيرة في شعاع الضوء تكشف عن الحركة المعقدة للجزيئات، كما أن انبعاث الفوتونات أو التحلل الإشعاعي للنوى هي عملية مماثلة، كما يعتقد أينشتاين. ومن وجهة نظره، فإن ميكانيكا الكم هي نظرية تقييمية تعبر عن السلوك العام لوحدات بناء الطبيعة، ولكنها لا تتمتع بالدقة الكافية لالتقاط التفاصيل الفردية.

إن النظرية الأعمق والأكثر اكتمالًا من شأنها أن تشرح الحركة بالكامل - دون أي قفزات غامضة. ومن وجهة النظر هذه، فإن الدالة الموجية هي وصف جماعي، مثل العبارة التي تقول إن حجر النرد، إذا تم رميه بشكل متكرر، سوف يهبط تقريبًا بنفس العدد من المرات على كل جانب من جوانبه. إن انهيار الدالة الموجية ليس عملية فيزيائية، بل هو اكتساب للمعرفة. إذا قمت برمي حجر نرد ذي ستة جوانب وظهر لك، على سبيل المثال، أربعة، فإن نطاق الخيارات من واحد إلى ستة يتقلص، أو قد ينهار، إلى القيمة الفعلية "أربعة". فالشيطان الإلهي الذي يستطيع تتبع تفاصيل التركيب الذري الذي يؤثر على نتيجة حجر النرد (أي قياس كيفية دفع يدك ولف حجر النرد قبل أن يصل إلى الطاولة) لن يتحدث أبدًا عن الانهيار.

تم تعزيز حدس أينشتاين من خلال حدسه العمل في وقت مبكرحول التأثير الجماعي للحركة الجزيئية، الذي درسه فرع من الفيزياء يسمى الميكانيكا الإحصائية، حيث أظهر أن الفيزياء يمكن أن تكون احتمالية حتى عندما تكون الظاهرة مبنية على واقع حتمي. في عام 1935، كتب أينشتاين إلى الفيلسوف كارل بوبر: "لا أعتقد أنك على حق في تأكيدك على أنه من المستحيل استخلاص استنتاجات إحصائية بناء على نظرية حتمية. لنأخذ على سبيل المثال الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية (نظرية الغازات أو نظرية البراونية) حركة)." وكانت الاحتمالات في فهم أينشتاين حقيقية مثل تلك الموجودة في تفسير مدرسة كوبنهاجن. وهي تتجلى في القوانين الأساسية للحركة، كما أنها تعكس خصائص أخرى للعالم المحيط بها، وهي ليست مجرد نتاج للجهل البشري. واقترح أينشتاين أن يأخذ بوبر، على سبيل المثال، جسيمًا يتحرك في دائرة بسرعة ثابتة؛ يعكس احتمال العثور على جسيم في قسم معين من القوس الدائري تماثل مساره. وبالمثل، فإن احتمال سقوط حجر النرد على وجه معين هو واحد من ستة، حيث أن له ستة وجوه متساوية. يقول هوارد: "لقد فهم بشكل أفضل من معظم الناس في ذلك الوقت أن الفيزياء المهمة كانت متضمنة في تفاصيل الاحتمال الإحصائي الميكانيكي".

درس آخر من الميكانيكا الإحصائية هو أن الكميات التي نلاحظها لا توجد بالضرورة على مستوى أعمق. على سبيل المثال، للغاز درجة حرارة، لكن ليس من المنطقي الحديث عن درجة حرارة جزيء غاز واحد. وعلى سبيل القياس، أصبح أينشتاين مقتنعًا بأن نظرية الكم الفرعي كانت مطلوبة لتمثل انفصالًا جذريًا عن ميكانيكا الكم. في عام 1936 كتب: «ليس هناك شك في أن ميكانيكا الكم قد استحوذت على عنصر جميل من الحقيقة.<...>ومع ذلك، لا أعتقد أن ميكانيكا الكم ستكون نقطة البداية في البحث عن هذا الأساس، تمامًا كما، على العكس من ذلك، لا يمكن للمرء الانتقال من الديناميكا الحرارية (وبالتالي الميكانيكا الإحصائية) إلى أسس الميكانيكا." ولملء هذا المستوى الأعمق، بحث أينشتاين نحو مجال نظرية موحدة، تكون فيه الجسيمات مشتقة من هياكل لا تشبه الجسيمات على الإطلاق، باختصار، إن الحكمة التقليدية القائلة بأن أينشتاين رفض الاعتراف بالطبيعة الاحتمالية لفيزياء الكم خاطئة، فقد كان يحاول تفسير العشوائية ، وعدم التظاهر بعدم وجوده على الإطلاق.

اجعل مستواك هو الأفضل

على الرغم من فشل مشروع أينشتاين لإنشاء نظرية موحدة، إلا أن المبادئ الأساسية لنهجه البديهي تجاه العشوائية لا تزال قائمة: يمكن أن تنشأ اللاحتمية من الحتمية. يتكون المستويان الكمي ودون الكمي - أو أي أزواج أخرى من المستويات في التسلسل الهرمي للطبيعة - من أنواع مختلفة من الهياكل، لذا فهم يخضعون لأنواع مختلفة من القوانين. ومن الطبيعي أن يسمح القانون الذي يحكم أحد المستويات بعنصر العشوائية، حتى لو كانت قوانين المستوى الأدنى منظمة بالكامل. يقول الفيلسوف جيريمي باترفيلد من جامعة كامبريدج: "الفيزياء الدقيقة الحتمية لا تؤدي إلى الفيزياء الكبيرة الحتمية".

تخيل النرد على المستوى الذري. وقد يتكون المكعب من عدد كبير لا يمكن تصوره من التكوينات الذرية التي لا يمكن تمييزها تماما عن بعضها البعض بالعين المجردة. إذا قمت بتتبع أي من هذه التكوينات أثناء تدوير المكعب، فسوف يؤدي ذلك إلى نتيجة محددة - بطريقة حتمية صارمة. في بعض التكوينات، سينتهي النرد بنقطة واحدة على وجهه العلوي، وفي حالات أخرى سينتهي بنقطتين. إلخ. ولذلك، فإن الحالة العيانية الواحدة (إذا تم جعل المكعب يدور) يمكن أن تؤدي إلى عدة نتائج مجهرية محتملة (أحد الوجوه الستة يكون للأعلى). يقول ليست، الذي يدرس اقتران المستوى مع ماركوس بيفاتو، عالم الرياضيات في جامعة سيرجي بونتواز في فرنسا: "إذا وصفنا النرد على المستوى الكلي، فيمكننا أن ننظر إليه على أنه نظام عشوائي يسمح بالعشوائية الموضوعية".

على الرغم من أن المستوى الأعلى يبني على المستوى الأدنى، إلا أنه مستقل. لوصف النرد عليك أن تعمل على المستوى الذي يوجد فيه النرد على هذا النحو، وعندما تفعل ذلك، لا يمكنك إلا أن تهمل الذرات وديناميكياتها. إذا تقاطعت مستوى مع آخر، فإنك ترتكب استبدال الفئة: إن الأمر أشبه بسؤال الانتماء السياسي لشطيرة سمك السلمون (إذا استخدمنا مثال الفيلسوف ديفيد ألبرت من جامعة كولومبيا). يقول ليست: "عندما تكون لدينا ظاهرة يمكن وصفها على مستويات مختلفة، علينا أن نكون حذرين للغاية من الناحية النظرية حتى لا نخلط بين المستويات". ولهذا السبب، فإن نتيجة رمي حجر النرد لا تظهر بشكل عشوائي فحسب. انها عشوائية حقا. قد يتفاخر الشيطان الشبيه بالإله بأنه يعرف بالضبط ما سيحدث، لكنه يعرف فقط ما سيحدث للذرات. إنه لا يعرف حتى ما هو النرد لأنه يحتوي على معلومات ذات مستوى أعلى. الشيطان لا يرى الغابة أبدًا، بل الأشجار فقط. انه مثل الشخصية الرئيسيةقصة الكاتب الأرجنتيني خورخي لويس بورخيس "فونيس الذاكرة" - الرجل الذي يتذكر كل شيء، لكنه لا يفهم أي شيء. يقول بورخيس: "التفكير يعني نسيان الاختلاف، والتعميم، والتجريد". لكي يعرف الشيطان على أي جانب سيقع القالب، من الضروري شرح ما الذي يجب البحث عنه. "لن يتمكن الشيطان من فهم ما يحدث في المستوى العلوي إلا إذا تم إعطاؤه له وصف تفصيلييقول ليف: "كيف نحدد الحدود بين المستويات؟ في الواقع، بعد ذلك، من المحتمل أن يشعر الشيطان بالغيرة لأننا بشر.

منطق المستويات يعمل أيضًا في الاتجاه المعاكس تمامًا. يمكن للفيزياء الدقيقة غير الحتمية أن تؤدي إلى فيزياء ماكرو حتمية. يمكن صنع كرة البيسبول من جزيئات تظهر سلوكًا فوضويًا، لكن طيرانها يمكن التنبؤ به تمامًا؛ الفوضى الكمومية، في المتوسط. يختفي. وبالمثل، تتكون الغازات من جزيئات تخضع لحركات معقدة للغاية وغير حتمية، لكن درجة حرارتها وخصائصها الأخرى تتبع قوانين بسيطة مثل اثنين في اثنين. وبشكل أكثر تخمينًا، يشير بعض علماء الفيزياء، مثل روبرت لافلين من جامعة ستانفورد، إلى أن المستوى الأدنى لا يحدث أي فرق على الإطلاق. يمكن أن تكون لبنات البناء أي شيء، وسيظل سلوكهم الجماعي على حاله. بعد كل شيء، فإن الأنظمة المتنوعة مثل جزيئات الماء، والنجوم في المجرة، والسيارات على الطريق السريع تخضع لنفس قوانين تدفق السوائل.

أخيرا حر

عندما تفكر من حيث المستويات، فإن القلق من أن اللاحتمية ربما تمثل نهاية العلم يختفي. لا يوجد جدار عالٍ حولنا يحمي الجزء الملتزم بالقانون من الكون من بقية الكون الفوضوي وغير المفهوم. في الواقع، العالم عبارة عن طبقة من الكعكة الحتمية وعدم الحتمية. مناخ الأرض، على سبيل المثال، محكوم بقوانين نيوتن الحتمية للحركة، لكن التنبؤ بالطقس احتمالي، وفي الوقت نفسه، يمكن التنبؤ مرة أخرى بالاتجاهات المناخية الموسمية والطويلة الأجل. ينبع علم الأحياء أيضًا من الفيزياء الحتمية، لكن الكائنات الحية والأنظمة البيئية تتطلب طرقًا أخرى للوصف، مثل التطور الدارويني. يقول الفيلسوف دانييل دينيت من جامعة تافتس: "الحتمية لا تفسر كل شيء على الإطلاق. لماذا ظهرت الزرافات؟ لأنه من الذي قرر: فليكن؟".

يتخلل الناس داخل هذه الطبقة من الكعكة. لدينا شعور قوي بالإرادة الحرة. إننا كثيراً ما نتخذ قرارات غير متوقعة وحيوية في الأغلب؛ وندرك أنه كان بوسعنا أن نتصرف بشكل مختلف (وكثيراً ما نأسف لأننا لم نفعل ذلك). منذ آلاف السنين، ظل من يسمون بالليبراليين، وهم أنصار المبدأ الفلسفي للإرادة الحرة (وينبغي عدم الخلط بينه وبين الحركة السياسية!)، يزعمون أن حرية الإنسان تتطلب حرية الجسيم. يجب أن يدمر شيء ما المسار الحتمي للأحداث، مثل العشوائية الكمومية أو "الانحرافات" التي اعتقد بعض الفلاسفة القدماء أن الذرات يمكن أن تتعرض لها أثناء حركتها (تم إدخال مفهوم الانحراف العشوائي وغير المتوقع للذرة عن مسارها الأصلي في العصور القديمة). فلسفة لوكريتيوس للدفاع عن المذهب الذري لأبيقور).

المشكلة الرئيسية في هذا الخط من التفكير هو أنه يحرر الجزيئات لكنه يتركنا كعبيد. لا يهم ما إذا كان قرارك محددًا مسبقًا أثناء الانفجار الكبير أو بواسطة جسيم صغير، فهو لا يزال ليس قرارك. ولكي نكون أحرارا، فإننا نحتاج إلى عدم الحتمية ليس على مستوى الجسيمات، بل على المستوى البشري. وهذا ممكن لأن المستوى البشري ومستوى الجسيمات مستقلان عن بعضهما البعض. حتى لو كان من الممكن إرجاع كل ما تفعله إلى الخطوات الأولى، فأنت سيد أفعالك، لأنه لا أنت ولا أفعالك موجودة على مستوى المادة، ولكن فقط على المستوى الكلي للوعي. يعتقد باترفيلد أن "هذه الحتمية الكلية، المبنية على الحتمية الجزئية، ربما تضمن الإرادة الحرة". الحتمية الكلية ليست السبب وراء قراراتك. هذا هو قرارك.

من المحتمل أن يعترض بعض الناس ويقولون لك أنك مازلت دمية، وأن قوانين الطبيعة هي التي تحرك الدمية، وأن حريتك ليست أكثر من مجرد وهم. لكن كلمة "الوهم" ذاتها تذكرنا بسراب الصحراء والنساء المنشار إلى نصفين: كل هذا غير موجود في الواقع. الحتمية الكلية ليست كذلك على الإطلاق. إنه حقيقي جدًا، ولكنه ليس أساسيًا. يمكن مقارنتها بالحياة. الذرات الفردية هي مادة غير حية تماما، لكن كتلتها الضخمة يمكن أن تعيش وتتنفس. "كل ما يتعلق بالفاعلين، وحالات نواياهم، وقراراتهم واختياراتهم - لا علاقة لأي من هذه الكيانات بالأدوات المفاهيمية للفيزياء الأساسية، ولكن هذا لا يعني أن هذه الظواهر ليست حقيقية،" يلاحظ ليست. "... يعني فقط أنها جميعها ظواهر ذات مستوى أعلى بكثير."

سيكون من الخطأ التصنيفي، إن لم يكن الجهل التام، وصف القرارات البشرية بأنها آليات حركة الذرات في رأسك. بدلا من ذلك، من الضروري استخدام جميع مفاهيم علم النفس: الرغبة والفرصة والنوايا. لماذا شربت الماء ولم أشرب الخمر؟ لأنني أردت ذلك بهذه الطريقة. رغباتي تفسر أفعالي. في أغلب الأحيان، عندما نطرح السؤال "لماذا؟"، فإننا نبحث عن دوافع الفرد، وليس خلفيته الجسدية. تسمح التفسيرات النفسية بنوع من اللاحتمية التي يتحدث عنها ليست. على سبيل المثال، يقدم منظرو الألعاب نموذجًا لعملية اتخاذ القرار البشري من خلال وضع مجموعة من الخيارات وشرح الخيار الذي ستختاره إذا تصرفت بعقلانية. حريتك في اختيار خيار معين هي التي تحدد اختياراتك، حتى لو لم تستقر على هذا الخيار أبدًا.

بالطبع، لا تشرح حجج ليست الإرادة الحرة بشكل كامل. يفتح التسلسل الهرمي للمستويات مساحة للإرادة الحرة، ويفصل علم النفس عن الفيزياء ويمنحنا الفرصة للقيام بأشياء غير متوقعة. ولكن يجب علينا أن نستفيد من هذه الفرصة. على سبيل المثال، إذا اتخذنا جميع قراراتنا من خلال رمي قطعة نقود، فسيظل هذا يعتبر حتمية كلية، لكنه لا يمكن اعتباره إرادة حرة بأي معنى ذي معنى. ومن ناحية أخرى، قد تكون عملية اتخاذ القرار لدى بعض الأشخاص مرهقة للغاية بحيث لا يمكن القول بأنهم يتصرفون بحرية.

هذا النهج في التعامل مع مشكلة الحتمية يعطي معنى لتفسير نظرية الكم، التي تم اقتراحها بعد سنوات قليلة من وفاة أينشتاين في عام 1955. وكان يطلق عليها تفسير العوالم المتعددة، أو تفسير إيفريت. يجادل أنصارها بأن ميكانيكا الكم تصف مجموعة من الأكوان المتوازية - أكوان متعددة - تتصرف بشكل عام بشكل حتمي، ولكنها تبدو غير حتمية بالنسبة لنا لأننا لا نستطيع رؤية سوى كون واحد فقط. على سبيل المثال، يمكن للذرة أن تبعث فوتونًا إلى اليمين أو إلى اليسار؛ نظرية الكم تترك نتيجة هذا الحدث مفتوحة. وفقا لتفسير العوالم المتعددة، لوحظت هذه الصورة لأن نفس الوضع بالضبط ينشأ في عدد لا يحصى من الأكوان المتوازية: في بعضها، يطير الفوتون بشكل حتمي إلى اليسار، وفي الباقي - إلى اليمين. وبدون أن نتمكن من معرفة الكون الذي نعيش فيه بالضبط، لا يمكننا التنبؤ بما سيحدث، لذلك يبدو هذا الوضع غير قابل للتفسير من الداخل. يوضح عالم الكونيات ماكس تيجمارك من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، وهو من أنصار هذا الرأي: "لا توجد عشوائية حقيقية في الفضاء، لكن الأحداث يمكن أن تبدو عشوائية في نظر الراصد. فالعشوائية تعكس عدم قدرتك على تحديد المكان". أنت."

وهذا مثل القول بأنه يمكن بناء النرد أو الدماغ من أي عدد لا حصر له من التكوينات الذرية. قد يكون هذا التكوين في حد ذاته حتميًا، لكن بما أننا لا نستطيع معرفة أيهما يتوافق مع نردنا أو دماغنا، فإننا مضطرون إلى افتراض أن النتيجة غير حتمية. هكذا، الأكوان الموازية- هذه ليست فكرة غريبة تطفو في خيال مريض. إن أجسادنا وأدمغتنا عبارة عن أكوان متعددة صغيرة، وتنوع الإمكانيات هو الذي يوفر لنا الحرية.

كتبه المصمم تايلر سيجمان، على جاماسوترا. أنا أسميها بمودة مقالة "الشعر في أنف الأورك"، لكنها تقوم بعمل جيد جدًا في تحديد أساسيات الاحتمالات في الألعاب.

موضوع هذا الاسبوع

حتى الآن، كل ما تحدثنا عنه تقريبًا كان حتميًا، وفي الأسبوع الماضي ألقينا نظرة فاحصة على الميكانيكا المتعدية وقمنا بتحليلها بقدر ما أستطيع شرحه. لكن حتى الآن لم ننتبه لجانب كبير في العديد من الألعاب، ألا وهو الجوانب غير الحتمية، بمعنى آخر - العشوائية. إن فهم طبيعة العشوائية مهم جدًا لمصممي الألعاب لأننا نقوم بإنشاء أنظمة تؤثر على تجربة اللاعب في لعبة معينة، لذلك نحتاج إلى معرفة كيفية عمل تلك الأنظمة. إذا كان هناك عشوائية في النظام، عليك أن تفهم طبيعةهذه العشوائية وكيفية تغييرها للحصول على النتائج التي نحتاجها.

حجر النرد

لنبدأ بشيء بسيط: رمي النرد. عندما يفكر معظم الناس في النرد، فإنهم يفكرون في حجر النرد ذو الستة جوانب المعروف باسم d6. لكن معظم اللاعبين شاهدوا العديد من أحجار النرد الأخرى: رباعية الجوانب (d4)، مثمنة (d8)، اثنا عشر وجهًا (d12)، عشرين وجهًا (d20)... وإذا كنت حقيقيأيها المهووس، قد يكون لديك نرد ذو 30 وجهًا أو 100 جانب في مكان ما. إذا لم تكن على دراية بهذا المصطلح، فإن الحرف "d" يرمز إلى die، والرقم الذي يليه يشير إلى عدد أضلاعه. لو قبل"د" هو رقم، يعني كميةالنرد عند الرمي. على سبيل المثال، في لعبة المونوبولي، تقوم بتدوير 2d6.

لذلك، في في هذه الحالةعبارة "النرد" هي رمز. هناك عدد كبير من مولدات الأرقام العشوائية الأخرى التي ليست على شكل كتلة بلاستيكية ولكنها تؤدي نفس الوظيفة المتمثلة في توليد رقم عشوائي من 1 إلى n. يمكن أيضًا اعتبار العملة العادية بمثابة نرد ثنائي السطوح d2. رأيت تصميمين لنرد ذي سبعة جوانب: كان أحدهما يبدو كذلك حجر النردوالثاني كان أشبه بقلم رصاص خشبي ذي سبعة جوانب. يشبه دريديل رباعي السطوح (المعروف أيضًا باسم تيتوتوم) عظم رباعي السطوح. إن ساحة لعب السهم الدوار في لعبة "Chutes & Ladders"، حيث يمكن أن تكون النتيجة من 1 إلى 6، تتوافق مع نرد سداسي الجوانب. يمكن لمولد الأرقام العشوائية في الكمبيوتر إنشاء أي رقم من 1 إلى 19 إذا حدد المصمم مثل هذا الأمر، على الرغم من أن الكمبيوتر لا يحتوي على نرد ذو 19 وجهًا (بشكل عام، سأتحدث أكثر عن احتمالية ظهور الأرقام على الكمبيوتر في التاليأسبوع). على الرغم من أن هذه العناصر تبدو مختلفة، إلا أنها في الواقع هي نفسها: لديك فرصة متساوية للحصول على واحدة من عدة نتائج.

يحتوي النرد على بعض الخصائص المثيرة للاهتمام التي نحتاج إلى معرفتها. أولاً، احتمال رمي أي من الوجهين هو نفسه (أفترض أنك تدحرج حجر نرد عادي، وليس حجرًا ذو شكل هندسي غير منتظم). لذلك إذا كنت تريد أن تعرف متوسط ​​القيمةرمي (المعروف أيضًا بين المهتمين بموضوع الاحتمال بـ “القيمة الرياضية المتوقعة”)، اجمع قيم جميع الأطراف واقسم هذا المجموع على كميةوجوه. متوسط ​​لفة النرد القياسي ذو الستة جوانب هو 1+2+3+4+5+6 = 21، مقسومًا على عدد الجوانب (6) والمتوسط ​​هو 21/6 = 3.5. هذه حالة خاصة لأننا نفترض أن جميع النتائج متساوية في الاحتمال.

ماذا لو كان لديك نرد خاص؟ على سبيل المثال، رأيت لعبة مع مسدس حجر النردمع ملصقات خاصة على الجوانب: 1، 1، 1، 2، 2، 3، لذا فهي تتصرف مثل قالب غريب ثلاثي الجوانب من المرجح أن يلقي 1 بدلاً من 2، و2 بدلاً من 3. ما هو متوسط ​​اللفة لـ هذا العظم؟ إذن، 1+1+1+2+2+3 = 10، مقسومًا على 6، يساوي 5/3 أو 1.66 تقريبًا. لذا، إذا كان لديك هذا النرد المميز وقام اللاعبون برمي ثلاثة أحجار نرد ثم جمعوا النتائج، فأنت تعلم أن إجمالي عدد رمياتهم سيكون حوالي 5، ويمكنك موازنة اللعبة بناءً على هذا الافتراض.

النرد والاستقلال

وكما قلت من قبل، فإننا ننطلق من افتراض أن احتمالات سقوط كل جانب متساوية. هذا لا يعتمد على عدد النرد الذي تدحرجه. كل رمية النرد يغض النظروهذا يعني أن اللفات السابقة لا تؤثر على نتائج اللفات اللاحقة. مع ما يكفي من الاختبارات سوف تفعل ذلك بالتأكيد يلاحظ"سلسلة" من الأرقام، مثل رمي أرقام أعلى أو أقل في الغالب، أو ميزات أخرى، وسنتحدث عن ذلك لاحقًا، لكن هذا لا يعني أن النرد "ساخن" أو "بارد". إذا قمت برمي حجر نرد قياسي ذي ستة جوانب وحصلت على الرقم 6 مرتين على التوالي، فإن احتمال أن تؤدي الرمية التالية إلى الرقم 6 هو أيضًا 1/6. الاحتمال لا يزيد لأن المكعب "ساخن". لا يتناقص الاحتمال لأن الرقم 6 قد ظهر بالفعل مرتين على التوالي، مما يعني أن الجانب الآخر سيظهر الآن. (بالطبع، إذا رميت حجر النرد عشرين مرة وحصلت على 6 في كل مرة، فإن احتمال أن تحصل على 6 في المرة الحادية والعشرين يكون مرتفعًا جدًا... لأن هذا ربما يعني أن لديك حجر النرد الخطأ!) ولكن إذا إذا كان لديك حجر النرد الصحيح، فإن كل جانب لديه نفس احتمالية السقوط، بغض النظر عن نتائج الرميات الأخرى. يمكنك أيضًا أن تتخيل أننا في كل مرة نغير فيها النرد، فإذا تم رمي الرقم 6 مرتين على التوالي، قم بإزالة النرد "الساخن" من اللعبة واستبدله بنرد جديد سداسي الجوانب. أعتذر إذا كان أي منكم على علم بهذا الأمر بالفعل، لكني كنت بحاجة إلى توضيح هذا الأمر قبل المضي قدمًا.

كيفية جعل النرد يتدحرج بشكل عشوائي أكثر أو أقل

دعونا نتحدث عن كيفية الحصول على نتائج مختلفة على أحجار النرد المختلفة. سواء قمت برمي حجر النرد مرة واحدة فقط أو عدة مرات، ستشعر باللعبة بشكل أكثر عشوائية إذا كان للنرد جوانب أكثر. كلما زاد عدد مرات رمي ​​النرد، أو كلما زاد عدد النرد، كلما تحركت النتائج نحو المتوسط. على سبيل المثال، إذا رميت 1d6+4 (أي حجر نرد قياسي ذي ستة جوانب مرة واحدة وأضفت 4 إلى النتيجة)، فسيكون المتوسط ​​رقمًا بين 5 و10. وإذا رميت 5d2، فسيكون المتوسط ​​أيضًا رقمًا بين 5 و10. 5 و 10. ولكن عند رمي حجر النرد السداسي، فإن احتمال الحصول على الأرقام 5 أو 8 أو 10 هو نفسه. ستكون نتيجة التدحرج 5d2 هي الأرقام 7 و 8 بشكل أساسي، وفي كثير من الأحيان قيم أخرى. نفس السلسلة، وحتى نفس القيمة المتوسطة (7.5 في كلتا الحالتين)، ولكن طبيعة العشوائية مختلفة.

انتظر دقيقة. ألم أقل أن النرد لا يسخن ولا يبرد؟ الآن أقول أنه إذا قمت برمي الكثير من النرد، فإن نتائج الرميات تميل إلى أن تكون أقرب إلى المتوسط؟ لماذا؟

دعني أشرح. إذا استقالت واحدالنرد، فإن احتمال سقوط كل جانب هو نفسه. هذا يعني أنه إذا قمت برمي عدد كبير من النرد، فسيظهر كل جانب على مدار فترة من الوقت بنفس عدد المرات تقريبًا. كلما زاد عدد النرد الذي رميته، كلما اقتربت النتيجة الإجمالية من المتوسط. وهذا ليس لأن الرقم المرسوم "يجبر" رقمًا آخر لم يتم سحبه بعد. ولكن لأن سلسلة صغيرة من طرح الرقم 6 (أو 20، أو رقم آخر) لن يكون لها في النهاية ذو اهمية قصوى، إذا رميت النرد عشرة آلاف مرة أخرى وتوصلت في الغالب إلى القيمة المتوسطة... فقد تحصل على عدد قليل من الأرقام ذات القيمة العالية الآن، ولكن ربما في وقت لاحق بضعة أرقام ذات قيمة منخفضة وبمرور الوقت ستقترب من القيمة المتوسطة . ليس لأن اللفات السابقة تؤثر على النرد (على محمل الجد، النرد مصنوع من بلاستيك، ليس لديها العقل للتفكير، "أوه، لقد مر وقت طويل منذ أن رميت 2")، ولكن لأن هذا ما يحدث عادةً عندما تقوم برمي الكثير من النرد. ستكون سلسلة صغيرة من الأرقام المتكررة غير مرئية تقريبًا في عدد كبير من النتائج.

وبالتالي، فإن إجراء العمليات الحسابية لرمية نرد عشوائية واحدة هو أمر بسيط إلى حد ما، على الأقل فيما يتعلق بحساب متوسط ​​قيمة اللفة. هناك أيضًا طرق لحساب "مدى عشوائية" شيء ما، وهي طريقة للقول أن نتائج التدحرج 1d6+4 ستكون "أكثر عشوائية" من 5d2، بالنسبة إلى 5d2، سيكون توزيع اللفات أكثر توازنًا، وعادةً ما تقوم بالحساب الانحراف المعياري، وكلما كانت القيمة أكبر، كلما كانت النتائج أكثر عشوائية، لكن هذا يتطلب حسابات أكثر مما أود تقديمه اليوم (سأشرح هذا الموضوع لاحقًا). الشيء الوحيد الذي أطلب منك معرفته هو أنه، كقاعدة عامة، كلما قل عدد أحجار النرد التي يتم رميها، زادت العشوائية. إضافة أخرى حول هذا الموضوع: كلما زاد عدد جوانب النرد، زادت العشوائية، حيث أن لديك المزيد من الخيارات.

كيفية حساب الاحتمالية باستخدام العد

ربما تتساءل: كيف يمكننا حساب الاحتمالية الدقيقة للحصول على نتيجة معينة؟ هذا في الواقع مهم جدًا للعديد من الألعاب، لأنه إذا قمت برمي حجر النرد، فمن المحتمل أن يكون هناك نوع من النتيجة المثالية في البداية. الجواب هو أننا بحاجة إلى حساب قيمتين. أولاً، احسب الحد الأقصى لعدد النتائج عند رمي حجر النرد (بغض النظر عن النتيجة). ثم احسب عدد النتائج الإيجابية. قسمة القيمة الثانية على الأولى سيعطيك الاحتمال المطلوب. للحصول على النسبة المئوية، اضرب النتيجة في 100.

أمثلة:

وهنا مثال بسيط جدا. تريد أن يقوم الرقم 4 أو أعلى بدحرجة النرد ذي الجوانب الستة مرة واحدة. الحد الأقصى لعدد النتائج هو 6 (1، 2، 3، 4، 5، 6). ومن بين هذه النتائج، هناك 3 نتائج (4، 5، 6) مواتية. هذا يعني أنه لحساب الاحتمال، نقسم 3 على 6 ونحصل على 0.5 أو 50%.

إليك مثالًا أكثر تعقيدًا بعض الشيء. تريد رقمًا زوجيًا عند تدوير 2d6. الحد الأقصى لعدد النتائج هو 36 (6 لكل نرد، وبما أن إحدى النردات لا تؤثر على الأخرى، فإننا نضرب 6 نتائج في 6 ونحصل على 36). تكمن صعوبة هذا النوع من الأسئلة في سهولة العد مرتين. على سبيل المثال، يوجد في الواقع خياران للرقم 3 في لفة 2d6: 1+2 و2+1. تبدو متشابهة، لكن الاختلاف هو الرقم الذي يتم عرضه على النرد الأول والرقم الذي يتم عرضه على القالب الثاني. يمكنك أيضًا أن تتخيل أن النرد ألوان مختلفة، على سبيل المثال، في هذه الحالة يكون أحد النردين باللون الأحمر والآخر باللون الأزرق. ثم قم بحساب عدد الخيارات للحصول على رقم زوجي: 2 (1+1)، 4 (1+3)، 4 (2+2)، 4 (3+1)، 6 (1+5)، 6 (2) +4)، 6 (3+3)، 6 (4+2)، 6 (5+1)، 8 (2+6)، 8 (3+5)، 8 (4+4)، 8 (5+) 3)، 8 (6+2)، 10 (4+6)، 10 (5+5)، 10 (6+4)، 12 (6+6). وتبين أن هناك 18 خياراً للحصول على نتيجة إيجابية من أصل 36، كما في الحالة السابقة فإن الاحتمال سيكون 0.5 أو 50%. ربما غير متوقع، ولكنه دقيق للغاية.

محاكاة مونت كارلو

ماذا لو كان لديك الكثير من النرد لإجراء هذه العملية الحسابية؟ على سبيل المثال، تريد أن تعرف ما هو احتمال الحصول على إجمالي 15 أو أكثر عند تدوير 8d6. هناك الكثير من النتائج الفردية المختلفة لثمانية أحجار نرد وسيستغرق عدها يدويًا وقتًا طويلاً جدًا. حتى لو وجدنا حلاً جيدًا لتجميع سلاسل مختلفة من رميات النرد، فسيستغرق العد وقتًا طويلاً جدًا. في هذه الحالة، أسهل طريقة لحساب الاحتمالية ليست العد يدويًا، بل استخدام الكمبيوتر. هناك طريقتان لحساب الاحتمالية على الكمبيوتر.

يمكن أن تعطيك الطريقة الأولى إجابة دقيقة، ولكنها تتضمن القليل من البرمجة أو البرمجة النصية. بشكل أساسي، سوف ينظر الكمبيوتر في كل احتمال، ويقيم ويحصي العدد الإجمالي للتكرارات وعدد التكرارات التي تطابق النتيجة المطلوبة، ثم يقدم الإجابات. قد يبدو الرمز الخاص بك كما يلي:

عدد مرات الفوز = 0، إجمالي عدد = 0؛

ل(int i=1; i<=6; i++) {

لـ (int j=1; j<=6; j++) {

ل(كثافة العمليات ك = 1؛ ك<=6; k++) {

... // أدخل المزيد من الحلقات هنا

إذا (i+j+k+… >= 15) (

احتمال التعويم = عدد مرات الفوز/العدد الإجمالي؛

إذا كنت لا تعرف الكثير عن البرمجة وتريد فقط إجابة تقريبية وليست دقيقة، فيمكنك محاكاة هذا الموقف في برنامج Excel، حيث تقوم بتدوير 8d6 بضعة آلاف من المرات وتحصل على الإجابة. لتدوير 1d6 في Excel، استخدم الصيغة التالية:

الطابق(RAND()*6)+1

هناك اسم للموقف عندما لا تعرف الإجابة وحاول عدة مرات - محاكاة مونت كارلو، وهذا حل رائع يمكنك الرجوع إليه عندما تحاول حساب الاحتمال وهو أمر معقد للغاية. الشيء العظيم هو أننا في هذه الحالة لا نحتاج إلى فهم كيفية عمل الرياضيات، ونحن نعلم أن الإجابة ستكون "جيدة جدًا" لأنه، كما نعلم بالفعل، كلما زاد عدد اللفات، كلما اقتربت النتيجة من النتيجة. متوسط.

كيفية الجمع بين التجارب المستقلة

إذا سألت عن تجارب متعددة متكررة ولكن مستقلة، فإن نتيجة إحدى اللفات لا تؤثر على نتائج اللفات الأخرى. هناك تفسير آخر أبسط لهذا الوضع.

كيفية التمييز بين شيء تابع ومستقل؟ في الأساس، إذا كان بإمكانك عزل كل رمية نرد (أو سلسلة من الرميات) كحدث منفصل، فهو مستقل. على سبيل المثال، إذا أردنا إجمالي 15 عند رمي 8d6، فلا يمكن تقسيم هذه الحالة إلى عدة لفات نرد مستقلة. نظرًا لأنك تحسب مجموع قيم كل أحجار النرد للنتيجة، فإن النتيجة التي تظهر على حجر نرد واحد تؤثر على النتائج التي يجب أن تظهر على حجر النرد الآخر، لأنه فقط من خلال جمع كل القيم يمكنك الحصول على النتيجة المطلوبة.

فيما يلي مثال على الرميات المستقلة: أنت تلعب لعبة النرد، وتقوم برمي النرد ذي الجوانب الستة عدة مرات. للبقاء في اللعبة، يجب أن تحصل على رقم 2 أو أعلى في أول رمية لك. للفة الثانية - 3 أو أعلى. الثالثة تتطلب 4 أو أعلى، والرابع يتطلب 5 أو أعلى، والخامس يتطلب 6. إذا نجحت جميع اللفات الخمس، فستفوز. في هذه الحالة، جميع الرميات مستقلة. نعم، إذا لم تنجح رمية واحدة، فسوف يؤثر ذلك على نتيجة المباراة بأكملها، لكن رمية واحدة لا تؤثر على رمية أخرى. على سبيل المثال، إذا كانت رمية النرد الثانية ناجحة جدًا، فهذا لا يؤثر على احتمالية نجاح الرميات التالية بنفس القدر. لذلك، يمكننا أن نفكر في احتمال رمية كل حجر نرد على حدة.

إذا كان لديك احتمالات منفصلة ومستقلة وتريد أن تعرف ما هو هذا الاحتمال الجميعالأحداث التي ستحدث، عليك تحديد كل احتمال على حدة وضربها.طريقة أخرى: إذا استخدمت أداة الربط "و" لوصف عدة شروط (على سبيل المثال، ما هو احتمال وقوع حدث عشوائي ما) وبعض الأحداث العشوائية المستقلة الأخرى؟)، وحساب الاحتمالات الفردية وضربها.

لا يهم ما هو رأيك أبداًلا تضيف الاحتمالات المستقلة. هذا خطأ شائع. لفهم سبب خطأ ذلك، تخيل موقفًا تقوم فيه برمي عملة معدنية بنسبة 50/50 وتريد أن تعرف ما هو احتمال ظهور الصورة مرتين على التوالي. كل جانب لديه فرصة بنسبة 50% للهبوط، لذلك إذا قمت بجمع هذين الاحتمالين معًا، فستحصل على فرصة بنسبة 100% للحصول على صورة، لكننا نعلم أن هذا ليس صحيحًا لأنه كان من الممكن أن تظهر الصورة مرتين على التوالي. إذا قمت بدلاً من ذلك بضرب الاحتمالين، فستحصل على 50%*50% = 25%، وهي الإجابة الصحيحة لحساب احتمال الحصول على صور مرتين على التوالي.

مثال

دعنا نعود إلى لعبة النرد ذات الجوانب الستة، حيث تحتاج أولاً إلى الحصول على رقم أعلى من 2، ثم أعلى من 3، وهكذا. إلى 6. ما هي احتمالات أن تكون جميع النتائج في سلسلة معينة من 5 رميات مواتية؟

كما هو مذكور أعلاه، هذه تجارب مستقلة ولذا فإننا نحسب احتمالية كل لفة فردية ثم نضربها. احتمال أن تكون نتيجة اللفة الأولى مواتية هو 5/6. الثاني - 4/6. الثالث - 3/6. الرابع - 2/6، الخامس - 1/6. اضرب كل هذه النتائج وستحصل على حوالي 1.5%... لذا، الفوز في هذه اللعبة أمر نادر جدًا، لذا إذا أضفت هذا العنصر إلى لعبتك، فستحتاج إلى جائزة كبرى كبيرة إلى حد ما.

النفي

إليك نصيحة أخرى مفيدة: في بعض الأحيان يكون من الصعب حساب احتمالية وقوع حدث ما، ولكن من الأسهل تحديد احتمالات وقوع هذا الحدث. لن يأتي.

على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا لعبة أخرى وقمت برمي 6d6، وإذا مرة على الاقلإذا حصلت على 6، فستفوز. ما هو احتمال الفوز؟

في هذه الحالة، تحتاج إلى النظر في العديد من الخيارات. وربما يظهر رقم واحد وهو 6 أي. سيظهر أحد النردات الرقم 6، وسيظهر الأرقام الأخرى من 1 إلى 5، وهناك 6 احتمالات سيظهر فيها النرد الرقم 6. ثم يمكنك الحصول على الرقم 6 على نردتين، أو على ثلاثة، أو أكثر، وفي كل مرة نحتاج إلى إجراء عملية حسابية منفصلة، ​​لذلك من السهل أن نشعر بالارتباك.

ولكن هناك طريقة أخرى لحل هذه المشكلة، دعونا ننظر إليها من الجانب الآخر. أنت سوف تخسرلو ليس على أيلن يرمي النرد الرقم 6. في هذه الحالة، لدينا ست تجارب مستقلة، احتمال كل منها هو 5/6 (أي رقم آخر باستثناء 6 يمكن أن يسقط على النرد). اضربهم وستحصل على حوالي 33٪. وبالتالي فإن احتمال الخسارة هو 1 في 3.

ولذلك فإن احتمال الفوز هو 67% (أو 2 إلى 3).

ومن هذا المثال يتضح ذلك إذا قمت بحساب احتمال عدم وقوع حدث ما، فستحتاج إلى طرح النتيجة من 100%.إذا كان احتمال الفوز هو 67%، فإن الاحتمال يخسر — 100% ناقص 67% أو 33%. والعكس صحيح. إذا كان من الصعب حساب احتمال واحد، ولكن من السهل حساب العكس، فاحسب العكس ثم اطرح من 100%.

نحن نجمع الشروط لاختبار واحد مستقل

لقد قلت أعلاه أنه لا ينبغي عليك أبدًا إضافة الاحتمالات عبر التجارب المستقلة. هل هناك أي حالات عندما يستطيعاجمع الاحتمالات؟ - نعم، في حالة خاصة واحدة.

إذا كنت تريد حساب احتمالية وجود عدة نتائج إيجابية غير مرتبطة في تجربة واحدة، فاجمع احتمالات كل نتيجة إيجابية. على سبيل المثال، احتمال ظهور الأرقام 4 أو 5 أو 6 في 1d6 هو كميةاحتمال الحصول على الرقم 4، واحتمال الحصول على الرقم 5، واحتمال الحصول على الرقم 6. ويمكنك أيضًا تخيل هذا الموقف على النحو التالي: إذا استخدمت أداة الربط "أو" في سؤال حول الاحتمال (على سبيل المثال ، ما هو احتمال ذلك أونتيجة مختلفة لحدث عشوائي واحد؟)، وحساب الاحتمالات الفردية وتلخيصها.

يرجى ملاحظة أنه عند جمع جميع النتائج المحتملةفي اللعبة، يجب أن يكون مجموع كل الاحتمالات مساوياً لـ 100%. إذا كان المجموع لا يساوي 100%، فقد تم إجراء العملية الحسابية الخاصة بك بشكل غير صحيح. هذه طريقة جيدة للتحقق مرة أخرى من حساباتك. على سبيل المثال، قمت بتحليل احتمالية الحصول على جميع المجموعات في لعبة البوكر، إذا قمت بجمع جميع النتائج التي تم الحصول عليها، فيجب أن تحصل على 100٪ بالضبط (أو على الأقل قيمة قريبة جدًا من 100٪، إذا كنت تستخدم الآلة الحاسبة، فقد يكون لديك خطأ تقريب صغير، ولكن إذا قمت بإضافة الأرقام الدقيقة يدويًا، فيجب أن يتم جمع كل شيء). إذا لم يتم جمع المبلغ، فهذا يعني أنك على الأرجح لم تأخذ في الاعتبار بعض المجموعات، أو قمت بحساب احتمالات بعض المجموعات بشكل غير صحيح ومن ثم تحتاج إلى التحقق مرة أخرى من حساباتك.

احتمالات غير متكافئة

حتى الآن، افترضنا أن كل جانب من جوانب القالب يتم طرحه بنفس التردد، لأن هذه هي الطريقة التي يعمل بها القالب. لكن في بعض الأحيان تواجه موقفًا تكون فيه النتائج المختلفة ممكنة مختلفإسقاط الفرص. على سبيل المثال، في إحدى توسعات لعبة الورق “الحرب النووية” هناك ساحة لعب بها سهم تعتمد عليه نتيجة إطلاق الصاروخ: في الأساس، يسبب ضررًا عاديًا، أقوى أو أضعف، ولكن في بعض الأحيان يكون الضرر مضاعفة أو ثلاث مرات، أو ينفجر صاروخ على منصة الإطلاق ويؤذيك، أو يقع حدث آخر. على عكس لوحة الأسهم في "المزلقات والسلالم" أو "لعبة الحياة"، فإن لوحة الألعاب في "الحرب النووية" لها نتائج غير متساوية. تكون بعض أقسام الملعب أكبر حجمًا ويتوقف السهم عليها كثيرًا، بينما تكون الأقسام الأخرى صغيرة جدًا ونادرًا ما يتوقف السهم عليها.

لذا، للوهلة الأولى، يبدو العظم كما يلي: 1، 1، 1، 2، 2، 3؛ لقد تحدثنا عنه بالفعل، إنه يشبه 1d3 مرجح، لذلك نحتاج إلى تقسيم كل هذه الأقسام إلى أجزاء متساوية، والعثور على أصغر وحدة قياس يكون كل شيء مضاعفًا لها ثم تمثيل الموقف على أنه d522 (أو أي وحدة أخرى)، حيث تمثل وجوه النرد المتعددة نفس الموقف، ولكن مع نتائج أكثر. وهذه إحدى طرق حل المشكلة، وهي مجدية من الناحية الفنية، ولكن هناك طريقة أسهل.

لنعد إلى حجر النرد القياسي ذي الجوانب الستة. قلنا أنه من أجل حساب متوسط ​​قيمة لفة النرد العادي، تحتاج إلى جمع القيم على جميع الأوجه وتقسيمها على عدد الأوجه، ولكن كيف بالضبطهل هناك عملية حسابية تجري؟ هناك طريقة أخرى للتعبير عن هذا. بالنسبة لحجر النرد ذو الستة جوانب، فإن احتمال رمي كل جانب هو بالضبط 1/6. الآن نضرب الخروجكل وجه على احتمالامن هذه النتيجة (في هذه الحالة 1/6 لكل جانب)، ثم نجمع القيم الناتجة. وبذلك يكون الجمع (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6) نحصل على نفس النتيجة (3.5) كما في الحساب أعلاه. في الواقع، نحن نحسب بهذه الطريقة في كل مرة: نضرب كل نتيجة في احتمال تلك النتيجة.

هل يمكننا إجراء نفس الحساب للسهم الموجود في الملعب في لعبة "الحرب النووية"؟ بالطبع نستطيع. وإذا قمنا بجمع كل النتائج التي تم العثور عليها، فسنحصل على القيمة المتوسطة. كل ما يتعين علينا القيام به هو حساب احتمالية كل نتيجة للسهم الموجود على لوحة اللعبة وضربها في النتيجة.

مثال آخر

تعتبر هذه الطريقة لحساب المتوسط ​​عن طريق ضرب كل نتيجة في احتماليتها الفردية مناسبة أيضًا إذا كانت النتائج متساوية في الاحتمال ولكن لها مزايا مختلفة، على سبيل المثال، إذا قمت برمي حجر النرد وربحت أكثر في بعض الجوانب أكثر من غيرها. على سبيل المثال، لنأخذ لعبة كازينو: تضع رهانًا وترمي 2d6. إذا وصلت إلى ثلاثة أرقام ذات قيمة منخفضة (2، 3، 4) أو أربعة أرقام ذات قيمة عالية (9، 10، 11، 12)، فسوف تفوز بمبلغ يساوي رهانك. الأرقام ذات القيمة الأدنى والأعلى هي أرقام خاصة: إذا حصلت على 2 أو 12، فستفوز ضعفيمن العرض الخاص بك. إذا ظهر أي رقم آخر (5، 6، 7، 8)، فسوف تفقد رهانك. هذه هي لعبة بسيطة جدا. ولكن ما هو احتمال الفوز؟

لنبدأ بإحصاء عدد المرات التي يمكنك الفوز فيها:

• الحد الأقصى لعدد النتائج عند تدوير 2d6 هو 36. ما هو عدد النتائج الإيجابية؟
• هناك خيار واحد لتدحرج اثنين وخيار واحد لتدحرج اثني عشر.
• هناك خياران للتداول ثلاثة وأحد عشر.
• هناك 3 خيارات لرمي أربعة و 3 خيارات لرمي عشرة.
• هناك 4 خيارات لتدوير تسعة.
• بعد تلخيص جميع الخيارات، نحصل على عدد النتائج الإيجابية 16 من أصل 36.

لذلك، في ظل الظروف العادية، سوف تفوز 16 مرة من أصل 36 مرة ممكنة... احتمال الفوز أقل بقليل من 50%.

ولكن في حالتين من هذه الـ 16 ستربح ضعف المبلغ، أي. إنه مثل الفوز مرتين! إذا لعبت هذه اللعبة 36 مرة، وراهنت بدولار واحد في كل مرة، وظهرت كل النتائج المحتملة مرة واحدة، فسوف تفوز بما مجموعه 18 دولارًا (ستفوز فعليًا 16 مرة، ولكن مرتين من تلك المرات سيتم احتسابهما كفائزين). إذا لعبت 36 مرة وربحت 18 دولارًا، ألا يعني ذلك أنها فرصة متساوية؟

خذ وقتك. إذا قمت بحساب عدد المرات التي يمكن أن تخسر فيها، فستحصل على 20، وليس 18. إذا لعبت 36 مرة، وراهنت بدولار واحد في كل مرة، فستربح إجمالي 18 دولارًا إذا قمت باختيار جميع الاختيارات الفائزة... ولكن ستخسر إجمالي مبلغ 20 دولارًا في حالة حدوث النتائج العشرين غير المواتية! ونتيجة لذلك، سوف تتخلف قليلاً عن الركب: ستخسر ما متوسطه 2 دولار صافي لكل 36 مباراة (يمكنك أيضًا القول أنك تخسر ما متوسطه 1/18 دولارًا يوميًا). الآن ترى مدى سهولة ارتكاب خطأ في هذه الحالة وحساب الاحتمال بشكل غير صحيح!

إعادة الترتيب

لقد افترضنا حتى الآن أن ترتيب الأرقام عند رمي النرد لا يهم. التدحرج 2+4 هو نفس التدحرج 4+2. في معظم الحالات، نحسب يدويًا عدد النتائج الإيجابية، لكن في بعض الأحيان تكون هذه الطريقة غير عملية ومن الأفضل استخدام صيغة رياضية.

مثال على هذا الموقف هو من لعبة النرد "Farkle". لكل جولة جديدة، تحصل على 6d6. إذا كنت محظوظًا وحصلت على جميع النتائج الممكنة 1-2-3-4-5-6 ("مستقيم")، فستحصل على مكافأة كبيرة. ما هو احتمال حدوث ذلك؟ في هذه الحالة، هناك العديد من الخيارات للحصول على هذا المزيج!

الحل هو كما يلي: يجب أن يحمل أحد النرد (وواحد فقط) الرقم 1! بكم طريقة يمكن رمي الرقم 1 على حجر نرد واحد؟ ستة، نظرًا لوجود 6 أحجار نرد ويمكن لأي واحد منهم الحصول على الرقم 1. وبناءً على ذلك، خذ نردًا واحدًا وضعه جانبًا. الآن، يجب أن يرمي أحد حجر النرد المتبقي الرقم 2. هناك خمسة خيارات لذلك. خذ قالبًا آخر وضعه جانبًا. بعد ذلك، قد تحصل أربعة من أحجار النرد المتبقية على 3، وثلاثة من أحجار النرد المتبقية قد تحصل على 4، وقد يحصل اثنان على 5، وينتهي بك الأمر بنرد واحد يجب أن يحصل على 6 (في الحالة الأخيرة، يوجد قالب واحد فقط و لا يوجد خيار). لحساب عدد النتائج المفضلة للوصول إلى خط مستقيم، نقوم بضرب جميع الخيارات المستقلة المختلفة: 6x5x4x3x2x1 = 720 - يبدو أن هناك عددًا كبيرًا من الاحتمالات لظهور هذه المجموعة.

لحساب احتمال الحصول على خط مستقيم، نحتاج إلى قسمة 720 على عدد جميع النتائج الممكنة للتدحرج 6d6. ما هو عدد جميع النتائج الممكنة؟ يمكن أن يكون لكل نرد 6 جوانب، لذلك نضرب 6x6x6x6x6x6 = 46656 (الرقم أعلى من ذلك بكثير!). اقسم 720/46656 واحصل على احتمال 1.5% تقريبًا. إذا كنت تصمم هذه اللعبة، فسيكون من المفيد لك معرفة ذلك حتى تتمكن من إنشاء نظام تسجيل وفقًا لذلك. نحن نفهم الآن لماذا ستحصل في Farkle على مثل هذه المكافأة الكبيرة إذا حصلت على خط مستقيم، لأن هذا الموقف نادر جدًا!

والنتيجة مثيرة للاهتمام أيضًا لسبب آخر. يوضح المثال مدى ندرة حدوث نتيجة مقابلة للاحتمالية في فترة قصيرة. وبطبيعة الحال، إذا كنا نرمي عدة آلاف من أحجار النرد، فسوف تظهر جوانب مختلفة من النرد في كثير من الأحيان. لكن عندما نلقي ستة نرد فقط، تقريبًا أبداًلا يحدث أن يسقط كل وجه! وبناء على ذلك، يصبح من الواضح أنه من الغباء توقع ظهور وجه آخر الآن، لم يسقط بعد “لأننا لم نطرح الرقم 6 منذ فترة طويلة، مما يعني أنه سيسقط الآن”.

اسمع، مولد الأرقام العشوائي الخاص بك معطل...

يقودنا هذا إلى مفهوم خاطئ شائع حول الاحتمالية: الافتراض بأن جميع النتائج تحدث بنفس التردد. خلال فترة قصيرة من الزمن، وهذا ليس هو الحال في الواقع. إذا رمينا النرد عدة مرات، فلن يكون تكرار سقوط كل جانب هو نفسه.

إذا كنت قد عملت من قبل على لعبة عبر الإنترنت باستخدام أي نوع من مولدات الأرقام العشوائية، فمن المرجح أنك واجهت موقفًا حيث يكتب أحد اللاعبين إلى الدعم الفني ليخبره أن مولد الأرقام العشوائي الخاص بك معطل ولا يعرض أرقامًا عشوائية. وقد توصل إلى هذا الاستنتاج لأنه قتل للتو 4 وحوش متتالية وحصل على 4 نفس المكافآت تمامًا، ويجب أن تظهر هذه المكافآت بنسبة 10% فقط من الوقت، لذلك هذا على الاغلب لالا ينبغي تجري، وهو ما يعني هذا بوضوحأن مولد الأرقام العشوائي الخاص بك معطل.

أنت تقوم بعملية حسابية رياضية. 1/10*1/10*1/10*1/10 يساوي 1 في 10000، مما يعني أنه نادر جدًا. وهذا بالضبط ما يحاول اللاعب إخبارك به. هل هناك مشكلة في هذه الحالة؟

كل هذا يتوقف على الظروف. كم عدد اللاعبين الموجودين حاليًا على الخادم الخاص بك؟ لنفترض أن لديك لعبة مشهورة إلى حد ما وأن 100000 شخص يلعبونها يوميًا. كم عدد اللاعبين الذين يمكنهم قتل أربعة وحوش على التوالي؟ كل شيء ممكن، عدة مرات في اليوم، ولكن لنفترض أن نصفهم يتاجرون فقط بعناصر مختلفة في المزادات أو يتحدثون على خوادم RP، أو يقومون بأنشطة أخرى داخل اللعبة، لذلك نصفهم فقط يصطادون الوحوش بالفعل. ما هو احتمال ذلك إلى شخص ماهل ستظهر نفس المكافأة؟ في هذه الحالة، يمكنك أن تتوقع ظهور نفس المكافأة عدة مرات يوميًا، على الأقل!

بالمناسبة، لهذا السبب يبدو الأمر كل بضعة أسابيع على الأقل شخص مايفوز باليانصيب، حتى لو كان شخصًا ما أبداًلا أنت ولا أصدقائك. إذا لعب عدد كافٍ من الأشخاص كل أسبوع، فمن المحتمل أن يكون هناك على الأقل واحدمحظوظ...ولكن إذا أنتإذا لعبت اليانصيب، فإن احتمال فوزك أقل من احتمال دعوتك للعمل في Infinity Ward.

البطاقات والإدمان

لقد ناقشنا الأحداث المستقلة، مثل رمي حجر النرد، ونعرف الآن العديد من الأدوات القوية لتحليل العشوائية في العديد من الألعاب. يعد حساب الاحتمالية أكثر تعقيدًا بعض الشيء عندما يتعلق الأمر بسحب البطاقات من المجموعة، لأن كل بطاقة نسحبها تؤثر على البطاقات المتبقية في المجموعة. إذا كان لديك مجموعة قياسية مكونة من 52 بطاقة وقمت بإخراج 10 قلوب، على سبيل المثال، وتريد معرفة احتمال أن تكون البطاقة التالية من نفس النوع، فقد تغير الاحتمال لأنك قمت بالفعل بإزالة بطاقة واحدة من نفس النوع من القلوب من سطح السفينة. كل بطاقة تقوم بإزالتها تغير احتمالية وجود البطاقة التالية في المجموعة. وبما أن الحدث السابق في هذه الحالة يؤثر على الحدث التالي، فإننا نسمي هذا الاحتمال متكل.

يرجى ملاحظة أنني عندما أقول "البطاقات" أعني أيآليات اللعبة التي توجد فيها مجموعة من العناصر وتقوم بإزالة أحد العناصر دون استبدالها، "مجموعة البطاقات" في هذه الحالة تشبه كيس الرقائق الذي تزيل منه شريحة واحدة ولا تستبدلها، أو جرة ترسم منها كرات رخامية ملونة (في الواقع لم أر مطلقًا لعبة تحتوي على جرة بها كرات رخامية ملونة مأخوذة منها، ولكن يبدو أن معلمي الاحتمالات يفضلون هذا المثال لسبب ما).

خصائص التبعية

أود أن أوضح أنه عندما يتعلق الأمر بالبطاقات، أفترض أنك تسحب البطاقات وتنظر إليها وتزيلها من المجموعة. كل من هذه الإجراءات هي خاصية مهمة.

إذا كان لدي، على سبيل المثال، مجموعة من ستة أوراق تحمل الأرقام من 1 إلى 6، وقمت بخلطها وأخرجت بطاقة واحدة ثم خلطت جميع البطاقات الستة مرة أخرى، فسيكون الأمر مشابهًا لرمي حجر نرد ذي ستة جوانب؛ نتيجة واحدة لا تؤثر على النتائج اللاحقة. فقط إذا قمت بسحب البطاقات ولم أستبدلها، فإن نتيجة سحبي لبطاقة تحمل الرقم 1 ستزيد من احتمالية أنه في المرة التالية التي أرسم فيها بطاقة ذات الرقم 6 (سيزداد الاحتمال حتى أسحب تلك البطاقة في النهاية أو حتى أخلط البطاقات).

حقيقة أننا ينظرعلى البطاقات هو المهم أيضا. إذا قمت بإزالة بطاقة من المجموعة ولم أنظر إليها، فلن يكون لدي أي معلومات إضافية ولن يتغير الاحتمال فعليًا. قد يبدو هذا غير بديهي. كيف يمكن لقلب البطاقة ببساطة أن يغير الاحتمالات بطريقة سحرية؟ لكن هذا ممكن لأنه يمكنك حساب احتمالية العناصر غير المعروفة بناءً على ما تريده فقط أنت تعرف. على سبيل المثال، إذا قمت بخلط مجموعة أوراق قياسية وكشفت عن 51 بطاقة ولم تكن أي منها ملكة الأندية، فستعرف على وجه اليقين بنسبة 100% أن البطاقة المتبقية هي ملكة الأندية. إذا قمت بخلط مجموعة أوراق قياسية وسحبت 51 بطاقة، بالرغم منعليها، فإن احتمال أن تكون البطاقة المتبقية هي ملكة الأندية سيظل 1/52. عند فتح كل بطاقة، تحصل على المزيد من المعلومات.

يتبع حساب احتمال الأحداث التابعة نفس المبادئ المتبعة في الأحداث المستقلة، إلا أنها أكثر تعقيدًا بعض الشيء لأن الاحتمالات تتغير عندما تكشف عن البطاقات. لذلك تحتاج إلى مضاعفة العديد من القيم المختلفة بدلاً من مضاعفة نفس القيمة. ما يعنيه هذا حقًا هو أننا بحاجة إلى دمج كل الحسابات التي قمنا بها في مجموعة واحدة.

مثال

يمكنك خلط مجموعة بطاقات قياسية مكونة من 52 بطاقة وسحب ورقتين. ما هو احتمال أن ترسم زوجًا؟ هناك عدة طرق لحساب هذا الاحتمال، ولكن ربما أبسطها هي كما يلي: ما هو احتمال أنك إذا أخرجت بطاقة واحدة، فلن تتمكن من إخراج زوج؟ هذا الاحتمال هو صفر، لذلك لا يهم البطاقة الأولى التي تسحبها، طالما أنها تطابق البطاقة الثانية. بغض النظر عن البطاقة التي نسحبها أولاً، لا تزال لدينا فرصة لسحب زوج، لذا فإن احتمال أن نتمكن من رسم زوج بعد سحب البطاقة الأولى هو 100%.

ما هو احتمال أن تتطابق البطاقة الثانية مع الأولى؟ هناك 51 بطاقة متبقية في المجموعة و3 منها تتطابق مع البطاقة الأولى (في الواقع سيكون هناك 4 من أصل 52، لكنك قمت بالفعل بإزالة إحدى البطاقات المطابقة عندما أخرجت البطاقة الأولى!)، وبالتالي فإن الاحتمال هو 1 /17. (لذلك في المرة القادمة التي يقول فيها الشخص الذي يجلس على الطاولة مقابلك وهو يلعب لعبة تكساس هولديم: "رائع، زوج آخر؟ أشعر بأنني محظوظ اليوم،" ستعرف أن هناك فرصة جيدة جدًا لأنه يخادع.)

ماذا لو أضفنا جوكرين والآن لدينا 54 بطاقة في المجموعة ونريد أن نعرف ما هو احتمال سحب الزوج؟ قد تكون البطاقة الأولى عبارة عن جوكر ومن ثم ستحتوي المجموعة فقط واحدبطاقة، وليس ثلاثة، والتي سوف تتطابق. كيفية العثور على الاحتمال في هذه الحالة؟ سنقوم بتقسيم الاحتمالات وضرب كل احتمال.

يمكن أن تكون بطاقتنا الأولى عبارة عن بطاقة جوكر أو بطاقة أخرى. احتمال سحب الجوكر هو 2/54، واحتمال سحب بطاقة أخرى هو 52/54.

إذا كانت البطاقة الأولى جوكر (2/54)، فإن احتمال تطابق البطاقة الثانية مع الأولى هو 1/53. ضرب القيم (يمكننا ضربها لأن هذه أحداث منفصلة ونريدها كلاهماالأحداث التي وقعت) ونحصل على 1/1431 - أقل من عُشر بالمائة.

إذا قمت بسحب بطاقة أخرى أولاً (52/54)، فإن احتمال مطابقة البطاقة الثانية هو 3/53. نضرب القيم ونحصل على 78/1431 (أكثر بقليل من 5.5٪).

ماذا نفعل بهاتين النتيجتين؟ إنهما لا يتقاطعان ونريد أن نعرف الاحتمال الجميعمنهم، لذلك نحن نجمع القيم! وحصلنا على النتيجة النهائية 79/1431 (لا تزال حوالي 5.5%).

إذا أردنا التأكد من دقة الإجابة، يمكننا حساب احتمالية جميع النتائج المحتملة الأخرى: رسم جوكر وعدم مطابقة البطاقة الثانية، أو سحب بطاقة أخرى وعدم مطابقة البطاقة الثانية، وإضافتها مع كل احتمالية الفوز، سنحصل على 100% بالضبط. لن أقوم بالحسابات هنا، ولكن يمكنك تجربة الحسابات للتحقق مرة أخرى.

مفارقة مونتي هول

يقودنا هذا إلى مفارقة مشهورة غالبًا ما تربك الكثير من الناس - مفارقة مونتي هول. تمت تسمية المفارقة على اسم مقدم البرنامج التلفزيوني "Let's Make a Deal" مونتي هول. إذا لم تشاهد هذا العرض من قبل، فهو عكس البرنامج التلفزيوني "السعر مناسب". في "السعر مناسب"، يكون المضيف (المضيف هو بوب باركر، والآن أصبح... درو كاري؟ على أية حال...) هو صديقك. هو يريدحتى تتمكن من الفوز بالمال أو الجوائز الرائعة. يحاول أن يمنحك كل فرصة للفوز، طالما يمكنك تخمين القيمة الفعلية للعناصر التي اشتراها الرعاة.

تصرف مونتي هول بشكل مختلف. لقد كان مثل التوأم الشرير لبوب باركر. كان هدفه أن يجعلك تبدو كالأحمق على شاشة التلفزيون الوطني. إذا كنت في العرض، فقد كان خصمك، ولعبت ضده، وكانت الاحتمالات لصالحه. ربما أكون قاسيًا جدًا، ولكن عندما تبدو فرصة اختيارك كمتسابق متناسبة بشكل مباشر مع ما إذا كنت ترتدي بدلة سخيفة، فقد توصلت إلى هذا النوع من الاستنتاجات.

ولكن أحد أشهر الميمات في العرض كان هذا: كان هناك ثلاثة أبواب أمامك، وكانت تسمى الباب رقم 1، والباب رقم 2، والباب رقم 3. يمكنك اختيار باب واحد... مجانًا! خلف أحد هذه الأبواب كانت هناك جائزة رائعة، على سبيل المثال، سيارة جديدة. لم تكن هناك جوائز خلف الأبواب الأخرى، ولم يكن لهذين البابين أي قيمة. كان هدفهم إذلالكم، وبالتالي لا يعني ذلك أنه لم يكن هناك شيء خلفهم على الإطلاق، كان هناك شيء خلفهم يبدو غبيًا، كما لو كان هناك عنزة خلفهم أو أنبوب ضخم من معجون الأسنان أو شيء من هذا القبيل... شيء، ما هو بالضبط حدث لاسيارة ركاب جديدة.

لقد كنت تختار أحد الأبواب وكان مونتي على وشك فتحه ليعلمك إذا فزت أم لا... لكن انتظر، قبل أن نعرف، دعونا نلقي نظرة على واحدة من أولئكالباب لك لم يتم اختياره. بما أن مونتي يعرف الباب الذي توجد الجائزة خلفه، ولا يوجد سوى جائزة واحدة و اثنينالأبواب التي لم تخترها، مهما كان الأمر، يمكنه دائمًا فتح باب ليس وراءه جائزة. "هل تختار الباب رقم 3؟ ثم دعونا نفتح الباب رقم 1 لنظهر أنه لا توجد جائزة خلفه." والآن، من باب الكرم، يعرض عليك فرصة استبدال الباب رقم 3 الذي اخترته بما يوجد خلف الباب رقم 2. عند هذه النقطة يطرح سؤال الاحتمال: هل القدرة على اختيار باب آخر تزيد من احتمالية دخولك؟ الفوز أم النقصان فيه أم يبقى كما هو؟ كيف تفكر؟

الإجابة الصحيحة: القدرة على اختيار باب آخر يزيداحتمالية الفوز من 1/3 إلى 2/3. هذا غير منطقي. إذا لم تكن قد واجهت هذه المفارقة من قبل، فمن المحتمل أنك تفكر: مهلا، هل قمنا بتغيير الاحتمال بطريقة سحرية عن طريق فتح باب واحد؟ ولكن كما رأينا بالفعل في المثال مع البطاقات أعلاه، هذا بالضبطماذا يحدث عندما نحصل على مزيد من المعلومات. من الواضح أن احتمالية الفوز عند اختيارك لأول مرة هي 1/3، وأعتقد أن الجميع سيوافقون على ذلك. عندما يخرج باب واحد لا يغير احتمال الفوز للإختيار الأول على الإطلاق، الاحتمال لا يزال 1/3، لكن هذا يعني أن احتمال ذلك آخرالباب الآن 2/3 صحيح.

دعونا ننظر إلى هذا المثال من منظور مختلف. اخترت الباب. احتمال الفوز هو 1/3. أقترح عليك التغيير اثنينأبواب أخرى، وهو ما يقترح مونتي هول فعله بالفعل. وبالطبع يفتح أحد الأبواب ليظهر أنه لا توجد جائزة خلفه، لكنه دائماًيمكن القيام بذلك، لذلك لا يغير أي شيء حقًا. بالطبع سوف ترغب في اختيار باب مختلف!

إذا لم تكن واضحًا تمامًا بشأن هذه المشكلة وتحتاج إلى تفسير أكثر إقناعًا، فانقر على هذا الرابط ليتم نقلك إلى تطبيق Flash صغير رائع يسمح لك باستكشاف هذه المفارقة بمزيد من التفاصيل. يمكنك اللعب بدءًا بحوالي 10 أبواب ثم الانتقال تدريجيًا إلى لعبة ذات ثلاثة أبواب؛ يوجد أيضًا جهاز محاكاة حيث يمكنك تحديد أي عدد من الأبواب من 3 إلى 50 ولعب أو تشغيل عدة آلاف من عمليات المحاكاة ومعرفة عدد المرات التي ستفوز فيها إذا لعبت.

ملاحظة من مدرس الرياضيات العالي وأخصائي توازن الألعاب مكسيم سولداتوف، والتي، بالطبع، لم يكن لدى شرايبر، ولكن بدونها يصعب فهم هذا التحول السحري:

اخترت بابًا، واحدًا من ثلاثة، احتمال "الفوز" هو 1/3. الآن لديك استراتيجيتان: التغيير بعد فتح الباب الخطأ، الاختيار أم لا. إذا لم تغير اختيارك فسيبقى الاحتمال 1/3، حيث أن الاختيار يحدث فقط في المرحلة الأولى، وعليك أن تخمن على الفور، ولكن إذا قمت بالتغيير، فيمكنك الفوز إذا اخترت الخطأ أولاً الباب (ثم يفتحون بابًا خاطئًا آخر، ستبقى مخلصًا، غيرت رأيك وأخذتها)
احتمال اختيار الباب الخطأ في البداية هو 2/3، لذا يتبين أنه بتغيير قرارك فإنك تزيد احتمالية الفوز مرتين

ومرة أخرى عن مفارقة مونتي هول

أما بالنسبة للعرض نفسه، فإن مونتي هول كان يعلم ذلك لأنه حتى لو لم يكن منافسوه جيدين في الرياضيات، هويفهم ذلك جيدا. وإليك ما فعله لتغيير اللعبة قليلاً. إذا اخترت بابًا خلفه جائزة، فإن احتمالها هو 1/3، فهي كذلك دائماًعرضت عليك الفرصة لاختيار باب آخر. بعد كل شيء، اخترت سيارة ركاب ثم ستستبدلها بماعز وستبدو غبيًا جدًا، وهذا بالضبط ما يحتاجه لأنه رجل شرير نوعًا ما. ولكن إذا اخترت الباب الذي خلفه لن تكون هناك جائزة، فقط في النصففي مثل هذه الحالات، سيطالبك باختيار باب آخر، وفي حالات أخرى، سيُظهر لك ببساطة عنزتك الجديدة وستغادر المكان. دعونا نحلل هذه اللعبة الجديدة التي يستطيع مونتي هول المشاركة فيها يختارنقدم لك الفرصة لاختيار باب آخر أم لا.

لنفترض أنه يتبع هذه الخوارزمية: إذا اخترت بابًا به جائزة، فإنه يعرض عليك دائمًا الفرصة لاختيار باب آخر، وإلا فهناك احتمال 50/50 أنه سيعرض عليك اختيار باب آخر أو يعطيك عنزة. ما هي احتمالية فوزك؟

في أحد الخيارات الثلاثة، تقوم فورًا باختيار الباب الذي توجد خلفه الجائزة، ويدعوك المقدم لاختيار باب آخر.

من بين الخيارين المتبقيين من بين الثلاثة (تختار في البداية بابًا بدون جائزة)، في نصف الحالات، سيعرض عليك مقدم العرض اختيار باب آخر، وفي النصف الآخر من الحالات - لا. نصف 2/3 هو 1/3، أي. في حالة واحدة من أصل ثلاثة ستحصل على عنزة، وفي حالة واحدة من أصل ثلاثة تختار الباب الخطأ وسيطلب منك المضيف اختيار باب آخر وفي حالة واحدة من أصل ثلاثة تختار الباب الأيمنوسيطلب منك اختيار باب آخر.

إذا عرض المقدم اختيار باب آخر، فنحن نعلم بالفعل أن حالة واحدة من أصل ثلاث حالات عندما يعطينا عنزة ونغادر لم تحدث. هذه معلومات مفيدة لأنها تعني أن فرصنا في الفوز قد تغيرت. في حالتين من أصل ثلاث، عندما تتاح لنا فرصة الاختيار، في حالة واحدة يعني أننا خمننا بشكل صحيح، وفي الحالة الأخرى أننا خمننا بشكل غير صحيح، فإذا أتيحت لنا فرصة الاختيار على الإطلاق، فهذا يعني أن احتمال فوزنا هو 50/50، ولا يوجد رياضيالفوائد، تبقى مع اختيارك أو اختر باب آخر.

مثل لعبة البوكر، أصبحت الآن لعبة نفسية، وليست لعبة رياضية. لقد أعطاك مونتي خياراً لأنه يعتقد أنك أحمق لا يعرف أن اختيار الباب الآخر هو القرار "الصحيح"، وأنك ستتمسك باختيارك بعناد لأن الوضع نفسياً هو عندما تختار الباب. السيارة، ثم فقدتها، أصعب؟ أم أنه يظن أنك ذكي وتختار بابًا آخر، ويقدم لك هذه الفرصة لأنه يعلم أنك خمنت بشكل صحيح في المقام الأول وأنك ستقع في الشرك؟ أو ربما يكون لطيفًا مع نفسه على نحو غير معهود ويدفعك إلى القيام بشيء يخدم مصلحتك الشخصية لأنه لم يتنازل عن سيارة منذ فترة ويخبره منتجوه أن الجمهور يشعر بالملل وأنه من الأفضل أن يتخلى عن سيارة جائزة كبيرة قريبا حتى لا تنخفض التقييمات؟

بهذه الطريقة، يتمكن مونتي من تقديم خيارات (أحيانًا) مع الحفاظ على احتمالية الفوز الإجمالية عند 1/3. تذكر أن احتمال خسارتك المباشرة هو 1/3. احتمالية تخمينك بشكل صحيح على الفور هي 1/3، وستفوز بنسبة 50% من هذه المرات (1/3 × 1/2 = 1/6). احتمالية تخمينك بشكل خاطئ في البداية ثم الحصول على فرصة لاختيار باب آخر هي 1/3، وستفوز بنسبة 50% من تلك المرات (أيضًا 1/6). اجمع احتمالين مستقلين للفوز وستحصل على احتمال 1/3، لذا سواء التزمت باختيارك أو اخترت بابًا آخر، فإن احتمال فوزك الإجمالي طوال اللعبة هو 1/3... لا يصبح الاحتمال أكبر مما لو كنت ستخمن الباب وسيظهر لك المقدم ما خلف هذا الباب، دون أن تتاح لك الفرصة لاختيار باب آخر! لذا فإن الهدف من تقديم خيار اختيار باب مختلف ليس تغيير الاحتمالية، بل جعل عملية اتخاذ القرار أكثر متعة للمشاهدة على شاشة التلفزيون.

بالمناسبة، هذا هو أحد الأسباب التي تجعل لعبة البوكر مثيرة للاهتمام للغاية: في معظم التنسيقات، بين الجولات عند إجراء الرهانات (على سبيل المثال، التقليب، المنعطف والنهر في Texas Hold'em)، يتم الكشف عن البطاقات تدريجيًا، وإذا كان لديك احتمال واحد للفوز في بداية اللعبة، فبعد كل جولة من المراهنة، عندما يتم الكشف عن المزيد من البطاقات، يتغير هذا الاحتمال.

مفارقة الصبي والفتاة

وهذا يقودنا إلى مفارقة أخرى شهيرة عادة ما تحير الجميع، وهي مفارقة الصبي والفتاة. الشيء الوحيد الذي أكتب عنه اليوم والذي لا يرتبط بشكل مباشر بالألعاب (على الرغم من أنني أعتقد أن هذا يعني أنني يجب أن أشجعك على إنشاء آليات ألعاب ذات صلة). إنه لغز أكثر، ولكنه مثير للاهتمام، ولحله، عليك أن تفهم الاحتمال الشرطي، والذي تحدثنا عنه أعلاه.

المشكلة: لدي صديق لديه طفلين، مرة على الأقلالطفلة فتاة. ما هو احتمال أن يكون الطفل الثاني نفسبنت؟ لنفترض أنه في أي عائلة هناك فرصة بنسبة 50/50 لإنجاب فتاة أو ولد، وهذا ينطبق على كل طفل (في الواقع، بعض الرجال لديهم عدد أكبر من الحيوانات المنوية التي تحتوي على كروموسوم X أو كروموسوم Y، وبالتالي يتغير الاحتمال قليلاً إذا علمت أن أحد الأطفال بنت فإن احتمال إنجاب بنت أعلى قليلاً، بالإضافة إلى أن هناك شروط أخرى مثلاً الخنوثة، لكن لحل هذه المشكلة لن نأخذ ذلك في الاعتبار ونفترض أن إن ولادة طفل هي حدث مستقل واحتمال إنجاب ولد أو بنت هو نفسه).

نظرًا لأننا نتحدث عن فرصة 1/2، فمن البديهي أننا نتوقع أن تكون الإجابة على الأرجح 1/2 أو 1/4، أو أي رقم مستدير آخر يكون من مضاعفات الرقم اثنين. لكن الجواب هو: 1/3 . أنتظر لماذا؟

تكمن الصعوبة هنا في أن المعلومات المتوفرة لدينا تقلل من عدد الاحتمالات. لنفترض أن الوالدين من عشاق شارع سمسم، وبغض النظر عما إذا كان الطفل ولدًا ذكرًا أو أنثى، فقد أطلقا على طفليهما اسم A وB. في ظل الظروف العادية، هناك أربعة احتمالات متساوية في الاحتمال: A وB صبيان، A وB ب فتاتان، أ صبي و ب فتاة، أ فتاة و ب صبي. منذ أن عرفنا ذلك مرة على الأقلإذا كانت الطفلة فتاة، فيمكننا استبعاد احتمال أن يكون A وB ولدين، لذلك يتبقى لدينا ثلاثة احتمالات (لا تزال متساوية الاحتمال). إذا كانت جميع الاحتمالات متساوية في احتمالها وكان هناك ثلاثة منها، فإننا نعلم أن احتمال كل منها هو 1/3. فقط في أحد هذه الخيارات الثلاثة يوجد كلا من الأطفال البنات، لذا فإن الإجابة هي 1/3.

ومرة أخرى عن مفارقة الصبي والفتاة

يصبح حل المشكلة غير منطقي أكثر. تخيل أنني أخبرتك أن صديقي لديه طفلين وطفل واحد - الفتاة التي ولدت يوم الثلاثاء. لنفترض أنه في ظل الظروف العادية، يكون احتمال ولادة طفل في أحد أيام الأسبوع السبعة هو نفسه. ما هو احتمال أن يكون الطفل الثاني فتاة أيضًا؟ قد تعتقد أن الإجابة ستظل 1/3؛ ما أهمية يوم الثلاثاء؟ ولكن حتى في هذه الحالة، فإن الحدس يخذلنا. إجابة: 13/27 ، وهذا ليس غير بديهي فحسب، بل إنه غريب جدًا. ماذا جرى في هذه الحالة?

في الواقع يوم الثلاثاء يغير الاحتمال لأننا لا نعرف أيّولد الطفل يوم الثلاثاء أو ربما طفلانولد يوم الثلاثاء. في هذه الحالة، نستخدم نفس المنطق المذكور أعلاه، ونحسب جميع المجموعات الممكنة عندما يكون طفل واحد على الأقل فتاة ولدت يوم الثلاثاء. كما في المثال السابق، لنفترض أن أسماء الأطفال هي A وB، تبدو المجموعات كما يلي:

• "أ" هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء، و "ب" صبي (في هذه الحالة هناك 7 احتمالات، واحد لكل يوم من أيام الأسبوع الذي يمكن أن يولد فيه صبي).
• B هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء، A هو صبي (أيضًا 7 احتمالات).
• "أ" هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء، "ب" هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء آخريوم من أيام الأسبوع (6 احتمالات).
• B هي فتاة ولدت يوم الثلاثاء، A هي فتاة لم تولد يوم الثلاثاء (أيضًا 6 احتمالات).
• A و B فتاتان ولدتا يوم الثلاثاء (احتمال واحد، عليك الانتباه لذلك حتى لا تحسب مرتين).

نجمع ونحصل على 27 مجموعة مختلفة ومتساوية من مواليد الأطفال والأيام مع احتمال واحد على الأقل لولادة فتاة يوم الثلاثاء. ومن بين هذه الاحتمالات، هناك 13 احتمالًا عند ولادة فتاتين. يبدو أيضًا غير منطقي تمامًا، ويبدو أن هذه المهمة تم إنشاؤها فقط لتسبب الصداع. إذا كنت لا تزال في حيرة من هذا المثال، فإن عالم نظريات الألعاب Jesper Juhl لديه شرح جيد لهذه المشكلة على موقعه على الإنترنت.

إذا كنت تعمل حاليًا على لعبة ما...

إذا كانت هناك عشوائية في اللعبة التي تصممها، فهذا هو الوقت المناسب لتحليلها. حدد بعض العناصر التي تريد تحليلها. اسأل نفسك أولاً ما هو احتمال وجود عنصر معين وفقًا لتوقعاتك، وما الذي تعتقد أنه يجب أن يكون في سياق اللعبة. على سبيل المثال، إذا كنت تصنع لعبة تقمص أدوار وتتساءل عن الاحتمالية التي يجب أن يكون بها اللاعب قادرًا على هزيمة وحش في المعركة، فاسأل نفسك ما هي نسبة الفوز التي تناسبك. عادةً، عند لعب ألعاب تقمص الأدوار على وحدة التحكم، يشعر اللاعبون بالانزعاج الشديد عندما يخسرون، لذا فمن الأفضل ألا يخسروا كثيرًا... ربما بنسبة 10% من الوقت أو أقل؟ إذا كنت مصممًا لألعاب تقمص الأدوار، فمن المحتمل أنك تعرف أفضل مني، لكن عليك أن تكون لديك فكرة أساسية عما يجب أن يكون عليه الاحتمال.

ثم اسأل نفسك إذا كان هذا شيئًا متكل(مثل البطاقات) أو مستقل(مثل النرد). تحليل جميع النتائج المحتملة واحتمالاتها. تأكد من أن مجموع كل الاحتمالات هو 100%. وأخيرًا، بالطبع، قارن نتائجك بنتائج توقعاتك. هل يتم رمي النرد أو سحب البطاقة بالطريقة التي قصدتها أم أنك ترى أنك بحاجة إلى ضبط القيم. وبالطبع إذا كنت سوف تجدما الذي يحتاج إلى تعديل، يمكنك استخدام نفس الحسابات لتحديد مقدار الشيء الذي يحتاج إلى تعديل!

الواجب المنزلي

سوف تساعدك "واجباتك المنزلية" هذا الأسبوع على صقل مهاراتك الاحتمالية. فيما يلي لعبتي نرد ولعبة ورق ستحللهما باستخدام الاحتمالات، بالإضافة إلى آلية لعب غريبة قمت بتطويرها ذات مرة والتي ستختبر طريقة مونت كارلو.

اللعبة رقم 1 - عظام التنين

هذه هي لعبة النرد التي ابتكرتها أنا وزملائي ذات مرة (بفضل جيب هافينز وجيسي كينج!) والتي تذهل عقول الناس على وجه التحديد باحتمالاتها. هذه لعبة كازينو بسيطة تسمى "Dragon Dice" وهي عبارة عن مسابقة نرد قمار بين اللاعب والمنزل. لقد تم إعطاؤك قالب 1d6 عادي. الهدف من اللعبة هو الحصول على رقم أعلى من رقم المنزل. يُمنح توم 1d6 غير قياسي - مثل ما لديك، ولكن بدلاً من 1 على جانب واحد توجد صورة تنين (وبالتالي، يحتوي الكازينو على قالب تنين - 2-3-4-5-6). إذا حصل المنزل على التنين، فإنه يفوز تلقائيًا وتخسر. إذا حصلتما على نفس الرقم، فهذا يعني التعادل وستقومان برمي النرد مرة أخرى. الشخص الذي يحصل على أكبر عدد يفوز.

وبطبيعة الحال، كل شيء لا يسير بالكامل لصالح اللاعب، لأن الكازينو يتمتع بميزة تتمثل في Dragon’s Edge. ولكن هل هذا صحيح حقا؟ عليك أن تحسب هذا. ولكن قبل ذلك، تحقق من حدسك. لنفترض أن المكاسب هي 2 إلى 1. لذا إذا فزت، فستحتفظ برهانك وستحصل على ضعف رهانك. على سبيل المثال، إذا راهنت بدولار واحد وربحت، فستحتفظ بهذا الدولار وتحصل على دولارين آخرين في الأعلى بإجمالي 3 دولارات. إذا خسرت، فستخسر رهانك فقط. هل ستلعب؟ لذا، هل تشعر بشكل حدسي أن الاحتمال أكبر من 2 إلى 1، أم أنك لا تزال تعتقد أنه أقل؟ بمعنى آخر، في المتوسط ​​خلال 3 مباريات، هل تتوقع الفوز أكثر من مرة، أو أقل، أو مرة واحدة؟

بمجرد أن تفهم حدسك، استخدم الرياضيات. هناك 36 موضعًا ممكنًا فقط لكلا النردين، لذا يمكنك عدهم جميعًا دون أي مشكلة. إذا لم تكن متأكدًا من عرض 2 مقابل 1، ففكر في ما يلي: لنفترض أنك لعبت اللعبة 36 مرة (تراهن بدولار واحد في كل مرة). مقابل كل فوز تحصل على دولارين، مقابل كل خسارة تخسر دولارًا واحدًا، والتعادل لا يغير شيئًا. احسب جميع أرباحك وخسائرك المحتملة وقرر ما إذا كنت ستخسر أو تكسب بعض الدولارات. ثم اسأل نفسك عن مدى صحة حدسك. ومن ثم أدرك كم أنا شرير.

ونعم، إذا كنت قد فكرت بالفعل في هذا السؤال - فأنا أربكك عمدًا من خلال تحريف الآليات الفعلية لألعاب النرد، لكنني متأكد من أنه يمكنك التغلب على هذه العقبة بقليل من التفكير. حاول حل هذه المشكلة بنفسك. سأقوم بنشر جميع الإجابات هنا الأسبوع المقبل.

اللعبة رقم 2 - رمي الحظ

هذه لعبة نرد قمار تسمى "Roll for Luck" (أيضًا "Birdcage" لأنه في بعض الأحيان لا يتم رمي النرد، ولكن يتم وضعها في قفص سلكي كبير، يذكرنا بالقفص من "Bingo"). إنها لعبة بسيطة تتلخص بشكل أساسي في ما يلي: راهن، على سبيل المثال، بدولار واحد على رقم من 1 إلى 6. ثم قم بالرمي على 3d6. مقابل كل حجر نرد يصل إلى رقمك، تحصل على دولار واحد (وتحتفظ برهانك الأصلي). إذا لم يظهر رقمك على أي من أحجار النرد، فسيحصل الكازينو على دولارك ولن تحصل أنت على شيء. لذا، إذا راهنت على 1 وحصلت على 1 على الجانبين ثلاث مرات، فستحصل على 3 دولارات.

بشكل حدسي، يبدو أن هذه اللعبة لديها فرص متساوية. كل حجر نرد له فرصة فردية للفوز بنسبة 1 من 6، لذا عندما تجمع الثلاثة، فإن فرصتك للفوز هي 3 من 6. ومع ذلك، بالطبع، تذكر أنك تقوم بإضافة ثلاثة أحجار نرد منفصلة، ​​ولا يُسمح لك إلا بإضافة لهم إذا كنا نتحدث عن مجموعات فائزة منفصلة من نفس النرد. شيء سوف تحتاج إلى مضاعفة.

بمجرد حساب جميع النتائج المحتملة (ربما يكون القيام بذلك أسهل باستخدام برنامج Excel بدلاً من القيام بذلك يدويًا، نظرًا لوجود 216 منها)، تظل اللعبة تبدو غريبة حتى للوهلة الأولى. ولكن في الواقع، لا يزال لدى الكازينو فرصة أفضل للفوز، فكم أكثر من ذلك؟ على وجه التحديد، ما هو متوسط ​​المبلغ الذي تتوقع خسارته في كل جولة من اللعب؟ كل ما عليك فعله هو جمع المكاسب والخسائر لجميع النتائج البالغ عددها 216 ثم قسمتها على 216، وهو ما يجب أن يكون سهلاً جدًا... ولكن كما ترون، هناك بعض الفخاخ التي يمكنك الوقوع فيها، ولهذا السبب أنا أقول لك: إذا كنت تعتقد أن هذه اللعبة لديها فرصة متساوية للفوز، فأنت مخطئ.

اللعبة رقم 3 - لعبة البوكر ذات 5 أوراق

إذا كنت قد استعدت بالفعل للألعاب السابقة، فلنتحقق مما نعرفه عن الاحتمال الشرطي باستخدام لعبة الورق هذه كمثال. على وجه التحديد، دعونا نتخيل لعبة البوكر مع مجموعة من 52 ورقة. لنتخيل أيضًا 5 بطاقات، حيث يحصل كل لاعب على 5 بطاقات فقط. لا يمكنك التخلص من بطاقة، ولا يمكنك رسم بطاقة جديدة، ولا توجد مجموعة مشتركة - تحصل على 5 بطاقات فقط.

رويال فلاش هو 10-J-Q-K-A في يد واحدة، وهناك أربعة في المجموع، لذلك هناك أربع طرق ممكنة للحصول على رويال فلاش. احسب احتمالية حصولك على مجموعة واحدة من هذا القبيل.

يجب أن أحذرك من شيء واحد: تذكر أنه يمكنك سحب هذه البطاقات الخمس بأي ترتيب. أي أنه يمكنك أولاً رسم الآس أو العشرة، لا يهم. لذلك عند حساب ذلك، ضع في اعتبارك أن هناك في الواقع أكثر من أربع طرق للحصول على رويال فلاش، على افتراض أنه تم توزيع البطاقات بالترتيب!

اللعبة رقم 4 - يانصيب صندوق النقد الدولي

المشكلة الرابعة لا يمكن حلها بهذه السهولة باستخدام الطرق التي تحدثنا عنها اليوم، ولكن يمكنك محاكاة الوضع بسهولة باستخدام البرمجة أو برنامج Excel. في مثال هذه المشكلة يمكنك حل طريقة مونت كارلو.

لقد ذكرت سابقًا لعبة "Chron X"، التي عملت عليها ذات مرة، وكانت هناك بطاقة واحدة مثيرة جدًا للاهتمام - يانصيب صندوق النقد الدولي. وإليك كيفية عملها: لقد استخدمتها في إحدى الألعاب. بعد انتهاء الجولة، تم إعادة توزيع البطاقات وكان هناك احتمال بنسبة 10% لخروج البطاقة من اللعب وأن اللاعب العشوائي سيحصل على 5 وحدات من كل نوع من الموارد التي كان رمزها موجودًا على تلك البطاقة. تم إدخال البطاقة إلى اللعبة بدون شريحة واحدة، ولكن في كل مرة ظلت في اللعب في بداية الجولة التالية، كانت تحصل على شريحة واحدة. لذلك كان هناك احتمال بنسبة 10% أنه إذا قمت بتشغيلها، ستنتهي الجولة، وستغادر البطاقة اللعبة، ولن يحصل أحد على أي شيء. إذا لم يحدث هذا (فرصة 90٪)، فهناك فرصة 10٪ (في الواقع 9٪، لأنها 10٪ من 90٪) ستترك اللعبة في الجولة التالية وسيحصل شخص ما على 5 وحدات من الموارد. إذا تركت البطاقة اللعبة بعد جولة واحدة (10% من 81% المتاحة، وبالتالي فإن الاحتمال هو 8.1%)، سيحصل شخص ما على 10 وحدات، وجولة أخرى - 15، وأخرى - 20، وهكذا. سؤال: ما هي القيمة العامة المتوقعة لعدد الموارد التي ستحصل عليها من هذه البطاقة عندما تترك اللعبة أخيرًا؟

عادةً ما نحاول حل هذه المشكلة عن طريق إيجاد احتمال كل نتيجة وضربها في عدد جميع النتائج. إذن هناك احتمال 10% أن تحصل على 0 (0.1*0 = 0). 9% أنك سوف تحصل على 5 وحدات من الموارد (9%*5 = 0.45 موارد). 8.1% مما تحصل عليه هو 10 (8.1%*10 = 0.81 إجمالي الموارد، القيمة المتوقعة). وما إلى ذلك وهلم جرا. وبعد ذلك سوف نلخص كل شيء.

والآن أصبحت المشكلة واضحة لك: هناك دائمًا احتمال أن تكون البطاقة لاسوف تترك اللعبة حتى تتمكن من البقاء في اللعبة للأبد، لعدد لا نهائي من الجولات، لذلك من الممكن حسابها كل احتمالغير موجود. الأساليب التي تعلمناها اليوم لا تسمح لنا بحساب العودية اللانهائية، لذلك سيتعين علينا إنشاؤها بشكل مصطنع.

إذا كنت جيدًا في البرمجة، فاكتب برنامجًا يحاكي هذه الخريطة. يجب أن يكون لديك حلقة زمنية تنقل المتغير إلى موضع البداية وهو الصفر، وتظهر رقمًا عشوائيًا مع وجود فرصة 10% لخروج المتغير من الحلقة. وإلا فإنه يضيف 5 إلى المتغير وتتكرر الدورة. عندما تخرج الحلقة أخيرًا، قم بزيادة إجمالي عدد مرات التشغيل التجريبية بمقدار 1 وإجمالي عدد الموارد (بالمقدار الذي يعتمد على المكان الذي سينتهي فيه المتغير). ثم قم بضبط المتغير وابدأ من جديد. قم بتشغيل البرنامج عدة آلاف من المرات. أخيرًا، قم بتقسيم إجمالي عدد الموارد على إجمالي عدد مرات التشغيل - وستكون هذه هي قيمة مونت كارلو المتوقعة. قم بتشغيل البرنامج عدة مرات للتأكد من أن الأرقام التي تحصل عليها هي نفسها تقريبًا؛ إذا كان التشتت لا يزال كبيرًا، قم بزيادة عدد التكرارات في الحلقة الخارجية حتى تبدأ في الحصول على التطابقات. يمكنك التأكد من أن الأرقام التي ستحصل عليها في النهاية ستكون صحيحة تقريبًا.

إذا لم تكن على دراية بالبرمجة (وحتى لو كنت كذلك)، فإليك تمرين قصير لتدريب مهاراتك في برنامج Excel. إذا كنت مصمم ألعاب، فإن مهارات Excel ليست بالأمر السيئ أبدًا.

الآن ستجد الدالتين IF وRAND مفيدة جدًا. لا يتطلب RAND قيمًا، بل يقوم فقط بإخراج رقم عشري عشوائي بين 0 و1. عادةً ما نقوم بدمجه مع FLOOR والإيجابيات والسلبيات لمحاكاة رمي النرد، وهو ما ذكرته سابقًا. ومع ذلك، في هذه الحالة، نترك فقط فرصة بنسبة 10% لمغادرة البطاقة اللعبة، لذلك يمكننا فقط التحقق لمعرفة ما إذا كانت قيمة RAND أقل من 0.1 ولا داعي للقلق بشأنها بعد الآن.

إذا كان له ثلاثة معانٍ. بالترتيب: الشرط الذي يكون صحيحا أو خطأ، ثم القيمة التي تعاد إذا كان الشرط صحيحا، والقيمة التي ترجع إذا كان الشرط خطأ. لذا فإن الدالة التالية سترجع 5% من الوقت، و0 في 90% أخرى من الوقت:
=IF(RAND())<0.1,5,0)

هناك العديد من الطرق لتعيين هذا الأمر، ولكنني سأستخدم هذه الصيغة للخلية التي تمثل الجولة الأولى، لنفترض أنها الخلية A1:

إذا (راند ()<0.1,0,-1)

أستخدم هنا متغيرًا سلبيًا يعني "هذه البطاقة لم تترك اللعبة ولم تتخلى عن أي موارد بعد". لذا، إذا انتهت الجولة الأولى وخرجت البطاقة من اللعب، فإن A1 يساوي 0؛ وإلا فهو -1.

بالنسبة للخلية التالية التي تمثل الجولة الثانية:

إذا(A1>-1، A1، إذا(RAND()<0.1,5,-1))

لذا، إذا انتهت الجولة الأولى وغادرت البطاقة اللعبة على الفور، فإن A1 يساوي 0 (عدد الموارد) وستقوم هذه الخلية ببساطة بنسخ هذه القيمة. بخلاف ذلك، A1 هي -1 (لم تخرج البطاقة من اللعبة بعد)، وتستمر هذه الخلية في التحرك بشكل عشوائي: في 10% من الوقت ستعيد 5 وحدات من الموارد، وفي بقية الوقت ستظل قيمتها مساوية لـ -1. إذا طبقنا هذه الصيغة على خلايا إضافية، فسنحصل على جولات إضافية، وأيًا كانت الخلية التي تنتهي بها ستعطيك النتيجة النهائية (أو -1 إذا لم تترك البطاقة اللعبة مطلقًا بعد كل الجولات التي لعبتها).

خذ هذا الصف من الخلايا، الذي يمثل الجولة الوحيدة بهذه البطاقة، وانسخ والصق عدة مئات (أو آلاف) من الصفوف. قد لا نكون قادرين على القيام بذلك بلا نهايةاختبار لبرنامج Excel (يوجد عدد محدود من الخلايا في الجدول)، ولكن على الأقل يمكننا تغطية معظم الحالات. ثم حدد خلية واحدة ستضع فيها متوسط ​​نتائج جميع الجولات (يوفر برنامج Excel وظيفة AVERAGE() لهذا الغرض).

في نظام التشغيل Windows، يمكنك على الأقل الضغط على F9 لإعادة حساب كافة الأرقام العشوائية. كما كان من قبل، قم بذلك عدة مرات ومعرفة ما إذا كانت القيم التي حصلت عليها هي نفسها. إذا كان الفارق كبيرًا جدًا، قم بمضاعفة عدد مرات التشغيل وحاول مرة أخرى.

مشاكل لم تحل

إذا كنت حاصلاً على درجة علمية في الاحتمالات وكانت المشكلات المذكورة أعلاه تبدو سهلة للغاية، فإليك مشكلتان كنت أخدش رأسي بهما لسنوات، ولكن للأسف، لست جيدًا بما يكفي في الرياضيات لحلهما. إذا كنت تعرف الحل، يرجى نشره هنا في التعليقات، وسأكون سعيدًا بقراءته.

المشكلة غير المحلولة رقم 1: اليانصيبصندوق النقد الدولي

المشكلة الأولى التي لم يتم حلها هي الواجب المنزلي السابق. يمكنني بسهولة تطبيق طريقة مونت كارلو (باستخدام C++ أو Excel) وأن أكون واثقًا من الإجابة على السؤال "كم عدد الموارد التي سيحصل عليها اللاعب"، لكنني لا أعرف بالضبط كيفية تقديم إجابة دقيقة يمكن إثباتها رياضيًا (إنها سلسلة لا نهاية لها). إذا كنت تعرف الإجابة، ضعها هنا... بعد اختبارها مع مونت كارلو طبعاً.

المشكلة غير المحلولة رقم 2: تسلسل الأرقام

هذه المشكلة (ومرة أخرى تتجاوز نطاق المشكلات التي تم حلها في هذه المدونة) قدمها لي صديق لاعب منذ أكثر من 10 سنوات. لقد لاحظ شيئًا مثيرًا للاهتمام أثناء لعب لعبة البلاك جاك في فيغاس: عندما قام بسحب أوراق من حذاء مكون من 8 أوراق لعب، رأى عشرةشخصيات متتالية (قطعة، أو بطاقة وجه - 10، جوكر، ملك أو ملكة، لذا يوجد 16 إجمالاً في مجموعة قياسية مكونة من 52 بطاقة، لذا يوجد 128 في حذاء مكون من 416 بطاقة). ما هو احتمال أن يكون في هذا الحذاء على الأقلتسلسل واحد من عشرة او اكثرالأرقام؟ لنفترض أنه تم خلطها بشكل عشوائي، وبترتيب عشوائي. (أو، إذا كنت تفضل ذلك، ما هو احتمال ذلك لم يتم العثور على أي مكانسلسلة من عشرة أرقام أو أكثر؟)

يمكننا تبسيط المهمة. هنا سلسلة من 416 جزءًا. كل جزء هو 0 أو 1. هناك 128 واحدًا و288 صفرًا متناثرة بشكل عشوائي خلال التسلسل. ما عدد الطرق المتاحة لخلط 128 من الآحاد مع 288 صفرًا بشكل عشوائي، وكم مرة بهذه الطرق ستكون هناك مجموعة واحدة على الأقل مكونة من عشرة آحاد أو أكثر؟

في كل مرة بدأت في حل هذه المشكلة، بدا الأمر سهلاً وواضحًا بالنسبة لي، ولكن بمجرد الخوض في التفاصيل، انهارت فجأة وبدت مستحيلة بالنسبة لي. لذلك لا تتعجل في سرد ​​الإجابة: اجلس، وفكر مليًا، وادرس ظروف المشكلة، وحاول توصيل أرقام حقيقية، لأن جميع الأشخاص الذين تحدثت إليهم حول هذه المشكلة (بما في ذلك العديد من طلاب الدراسات العليا الذين يعملون في هذا المجال) ) كان رد فعله هو نفسه تقريبًا: "إنه أمر واضح تمامًا... أوه، لا، انتظر، إنه ليس واضحًا على الإطلاق." هذه هي الحالة ذاتها التي ليس لدي طريقة لحساب جميع الخيارات فيها. يمكنني بالتأكيد أن أفرض المشكلة من خلال خوارزمية حاسوبية، لكني سأكون أكثر فضولًا لمعرفة الطريقة الرياضية لحل هذه المشكلة.

ترجمة - Y. Tkachenko، I. Mikheeva

لقد استخدم البشر النرد منذ آلاف السنين.

في القرن الحادي والعشرين، تتيح التقنيات الجديدة إمكانية رمي النرد في أي وقت مناسب، وفي مكان مناسب، إذا كان لديك إمكانية الوصول إلى الإنترنت. النرد معك دائمًا في المنزل أو على الطريق.

يسمح لك مولد النرد بالتدحرج عبر الإنترنت من 1 إلى 4 نرد.

رمي النرد على الانترنت بصراحة

عند استخدام النرد الحقيقي، يمكن استخدام خفة اليد أو النرد المصنوع خصيصًا مع ميزة على جانب واحد. على سبيل المثال، يمكنك تدوير المكعب على أحد المحاور، ومن ثم سيتغير توزيع الاحتمال. الميزة الخاصة لمكعباتنا الافتراضية هي استخدام برنامج مولد الأرقام العشوائية الزائفة. وهذا يسمح لنا بضمان حدوث عشوائي حقيقي لهذه النتيجة أو تلك.

وإذا قمت بوضع إشارة مرجعية على هذه الصفحة، فلن يضيع النرد عبر الإنترنت في أي مكان وسيكون دائمًا في متناول اليد في الوقت المناسب!

لقد تكيف بعض الأشخاص مع استخدام النرد عبر الإنترنت لقراءة الطالع أو عمل التنبؤات والأبراج.

استمتع، أتمنى لك يومًا سعيدًا ونتمنى لك حظًا سعيدًا!

النوع الأكثر شيوعًا هو على شكل مكعب، بأرقام من واحد إلى ستة على كل جانب. اللاعب، الذي يرميه على سطح مستو، يرى النتيجة على الحافة العلوية. العظام هي بوق حقيقي للصدفة، الحظ الجيد أو السيئ.

حادثة.
المكعبات (العظام) موجودة منذ زمن طويل، لكنها اكتسبت الشكل التقليدي ذي الجوانب الستة حوالي عام 2600 قبل الميلاد. ه. أحب الإغريق القدماء لعب النرد، وفي أساطيرهم يُذكر البطل بالاميديس، الذي اتهمه أوديسيوس ظلما بالخيانة، كمخترعهم. وفقًا للأسطورة، فقد اخترع هذه اللعبة للترفيه عن الجنود الذين كانوا يحاصرون طروادة، والتي تم الاستيلاء عليها بفضل حصان خشبي ضخم. كان الرومان في عهد يوليوس قيصر يستمتعون أيضًا بمجموعة متنوعة من ألعاب النرد. في اللاتينية، كان يسمى المكعب مسندًا، وهو ما يعني "معطى".

المحظورات.
في العصور الوسطى، حوالي القرن الثاني عشر، أصبح النرد شائعًا جدًا في أوروبا: كان النرد، الذي يمكن اصطحابه معك في كل مكان، شائعًا لدى كل من الجنود والفلاحين. ويقال أن هناك أكثر من ستمائة لعبة مختلفة! يصبح إنتاج النرد مهنة منفصلة. الملك لويس التاسع (1214-1270)، العائد من الحملة الصليبية، لم يوافق على المقامرة وأمر بحظر إنتاج النرد في جميع أنحاء المملكة. أكثر من اللعبة نفسها، كانت السلطات غير راضية عن الاضطرابات المرتبطة بها - ثم لعبوا بشكل رئيسي في الحانات، وغالبًا ما انتهت الألعاب بمعارك وطعنات. لكن لم تمنع أي محظورات النرد من البقاء على قيد الحياة مع الزمن والبقاء على قيد الحياة حتى يومنا هذا.

النرد مشحونة!
يتم تحديد نتيجة رمية النرد دائمًا عن طريق الصدفة، لكن يحاول بعض الغشاشين تغيير ذلك. من خلال حفر ثقب في قالب وصب الرصاص أو الزئبق فيه، يمكنك التأكد من أن الرمي يعطي نفس النتيجة في كل مرة. يسمى هذا المكعب "مشحونًا". مصنوعة من مواد مختلفة، سواء كانت ذهبية أو حجرية أو كريستالية أو عظمية، يمكن أن يكون للنرد أشكال مختلفة. تم العثور على نرد صغير على شكل هرم (رباعي السطوح) في مقابر الفراعنة المصريين الذين بنوا الأهرامات العظيمة! في أوقات مختلفة، تم صنع النرد بـ 8، 10، 12، 20 وحتى 100 جانب. عادة ما يتم تمييزها بالأرقام، ولكن في مكانها يمكن أن تكون هناك أحرف أو صور، مما يتيح مجالا للخيال.

كيفية رمي النرد.
لا يأتي النرد بأشكال مختلفة فحسب، بل لديهم أيضًا طرق لعب مختلفة. تتطلب قواعد بعض الألعاب منك الرمي بطريقة معينة، عادة لتجنب اللفة المحسوبة أو لمنع النرد من الاستقرار في وضع مائل. في بعض الأحيان تأتي مع زجاج خاص لتجنب الغش أو السقوط من طاولة الألعاب. في لعبة الكريب الإنجليزية، يجب أن تصطدم أحجار النرد الثلاثة بطاولة اللعبة أو الحائط لمنع الغشاشين من التظاهر بالرمي بمجرد تحريك النرد دون تدويره.

العشوائية والاحتمالية.
يعطي النرد دائمًا نتيجة عشوائية لا يمكن التنبؤ بها. من خلال نرد واحد، يتمتع اللاعب بفرصة الحصول على 1 تمامًا مثل 6 - وكل ذلك يتم تحديده عن طريق الصدفة. على العكس من ذلك، مع وجود نردتين، ينخفض ​​مستوى العشوائية، حيث أن اللاعب لديه المزيد من المعلومات حول النتيجة: على سبيل المثال، مع نردتين، يمكن الحصول على الرقم 7 بعدة طرق - عن طريق رمي 1 و 6 و 5 و 2 أو 4 و 3... لكن احتمال الحصول على الرقم 2 هو احتمال واحد فقط: رمي 1 مرتين، وبالتالي فإن احتمال الحصول على 7 أعلى من احتمال الحصول على 2! وهذا ما يسمى نظرية الاحتمالات. ترتبط العديد من الألعاب بهذا المبدأ، وخاصة الألعاب مقابل المال.

حول استخدام النرد.
يمكن أن يكون النرد لعبة قائمة بذاتها، دون عناصر أخرى. الشيء الوحيد الذي لا وجود له عمليًا هو الألعاب لمكعب واحد. تتطلب القواعد اثنين على الأقل (على سبيل المثال، كريب). للعب لعبة البوكر بالنرد، يجب أن يكون لديك خمسة أحجار نرد وقلم وورقة. الهدف هو إكمال مجموعات مشابهة لتلك الموجودة في لعبة الورق التي تحمل نفس الاسم، وتسجيل النقاط الخاصة بها في جدول خاص. بالإضافة إلى ذلك، يعد المكعب جزءًا شائعًا جدًا في ألعاب الطاولة، حيث يسمح لك بتحريك الرقائق أو تحديد نتيجة معارك اللعبة.

تم صب القالب.
في 49 قبل الميلاد. ه. غزا الشاب يوليوس قيصر بلاد الغال وعاد إلى بومبي. لكن سلطته كانت مصدر قلق لأعضاء مجلس الشيوخ الذين قرروا حل جيشه قبل عودته. الإمبراطور المستقبلي، بعد أن وصل إلى حدود الجمهورية، يقرر انتهاك الأمر من خلال عبوره بجيشه. قبل عبور نهر الروبيكون (النهر الذي كان يمثل الحدود)، قال لجنوده "Alea jacta est" ("لقد ألقي النرد"). لقد أصبح هذا القول شعارًا، معناه أنه، كما هو الحال في اللعبة، بعد اتخاذ بعض القرارات، لم يعد من الممكن التراجع.

طريقة التأليف الموسيقي مع نص صوتي فضفاض؛ كوسيلة مستقلة لتأليف الموسيقى ظهرت في القرن العشرين. أ. يعني رفض الملحن الكامل أو الجزئي للسيطرة الصارمة على النص الموسيقي، أو حتى إلغاء فئة الملحن المؤلف بالمعنى التقليدي. يكمن ابتكار A. في الارتباط بين المكونات الثابتة للنص الموسيقي مع العشوائية والتنقل التعسفي للمادة الموسيقية. يمكن أن يشير مفهوم A. إلى الترتيب العام لأجزاء المقال (النموذج) وبنية نسيجه. وفقا لE. دينيسوف،التفاعل بين ثبات وحركة القماش والشكل يعطي 4 أنواع رئيسية من التركيب، ثلاثة منها - الثاني والثالث والرابع - غير متجانسة: 1. نسيج ثابت - شكل ثابت (تكوين تقليدي معتاد، opus Perfectum et absolutum؛ مثل، لـ على سبيل المثال، السيمفونية السادسة لتشايكوفسكي)؛ 2. نسيج مستقر - شكل متحرك؛ وفقًا لـ V. Lutoslavsky، “A. الأشكال" (ب. بوليز، السوناتا الثالثة للبيانو، 1957)؛ 3. النسيج المحمول - شكل مستقر. أو، بحسب لوتوسلاوسكي، "أ. القوام" (ليوتوسلافسكي، سلسلة الرباعية، 1964، الحركة الرئيسية)؛ 4. النسيج المحمول - شكل متحرك؛ أو "أ. قفص"(أثناء الارتجال الجماعي للعديد من فناني الأداء). هذه هي النقاط العقدية للطريقة A.، والتي يوجد حولها العديد من الأنواع المحددة وحالات الهياكل، ودرجات مختلفة من الانغماس في A.؛ بالإضافة إلى ذلك، فإن عمليات الأيض ("التحويرات") هي أيضًا طبيعية - وهي الانتقال من نوع أو نوع إلى آخر، وكذلك من أو إلى نص ثابت.

أصبح A. منتشرًا على نطاق واسع منذ الخمسينيات من القرن الماضي، حيث ظهر (مع سونوريكا)،على وجه الخصوص، رد فعل على الاستعباد الشديد للبنية الموسيقية في التسلسل متعدد المعلمات (انظر: اثنا عشر صوتا).وفي الوقت نفسه، فإن مبدأ حرية البناء بطريقة أو بأخرى له جذور قديمة. في الأساس، الموسيقى الشعبية عبارة عن تدفق صوتي، وليست تأليفًا منظمًا بشكل فريد. ومن هنا عدم الاستقرار والطبيعة "غير التأليفية" للموسيقى الشعبية والتنوع والاختلاف والارتجال فيها. يعد عدم التحديد والارتجال في الشكل من سمات الموسيقى التقليدية في الهند وشعوب الشرق الأقصى وأفريقيا. لذلك، يعتمد ممثلو A. بنشاط ووعي على المبادئ الأساسية للموسيقى الشرقية والشعبية. عناصر A. موجودة أيضًا في الموسيقى الكلاسيكية الأوروبية. على سبيل المثال، من بين كلاسيكيات فيينا، التي ألغت مبدأ الجهير العام وجعلت النص الموسيقي مستقرًا تمامًا (السيمفونيات والرباعية التي كتبها آي هايدن)، كان هناك تباين حاد في "الإيقاع" في شكل كونشيرتو فعال - وهو موهوب منفرد، جزء منه لم يكن من تأليف الملحن، ولكن ترك لتقدير المؤدي (العنصر أ. الشكل). هناك طرق فكاهية معروفة لتأليف مقطوعات بسيطة (دقيقة) من خلال الجمع بين المقطوعات الموسيقية على العزف على النرد (Würfelspiel) في زمن هايدن وموزارت (أطروحة كتبها آي إف كيرنبيرجر "في أي وقت ملحن جاهز للبولونيز و دقائق." برلين، 1757).

في القرن 20th بدأ مبدأ "المشروع الفردي" في النموذج يشير إلى مقبولية النسخ النصية للعمل (أي أ.). في عام 1907 قام الملحن الأمريكي تشارلز آيفز بتأليف مقطوعة البيانو الخماسية "Hallwe"en (= "All Hallows’ Eve")، والتي يجب عزف نصها بشكل مختلف أربع مرات متتالية عند أداءه في حفلة موسيقية. قفصتم تأليفه عام 1951 «موسيقى التغيرات» للبيانو، والتي لحن نصها «التلاعب بالحوادث» (كلمات الملحن)، مستخدمًا لذلك «كتاب التغيرات» الصيني. كلاسيكي

المثال الكلاسيكي لـ A. هو "Piano Piece XI" لـ K. ستوكهاوزن، 1957. على ورقة تقريبًا. 0.5 متر مربع توجد 19 قطعة موسيقية بترتيب عشوائي. يبدأ عازف البيانو بأي منها ويعزفها بأي ترتيب، بعد نظرة خاطفة. في نهاية المقطع السابق يتم كتابته بالإيقاع وبأي حجم يتم تشغيل المقطع التالي. عندما يعتقد عازف البيانو أنه قد عزف بالفعل جميع الأجزاء بهذه الطريقة، فيجب عزفها مرة أخرى بنفس الترتيب العشوائي، ولكن بصوت أكثر سطوعًا. بعد الجولة الثانية تنتهي المسرحية. للحصول على تأثير أكبر، يوصى بتكرار العمل الموسيقي في حفل موسيقي واحد - سيتم تقديم المستمع بتكوين آخر من نفس المادة. الطريقة أ تستخدم على نطاق واسع من قبل الملحنين الحديثين (بوليز، ستوكهاوزن،لوتوسلافسكي، أ. فولكونسكي، دينيسوف، شنيتكيوإلخ.).

الشرط الأساسي لـ A. في القرن العشرين. ظهرت قوانين جديدة انسجاموما نتج عن ذلك من اتجاهات للبحث عن أشكال جديدة تتوافق مع الحالة الجديدة للمادة الموسيقية وخصائصها الطليعة.لم يكن من الممكن تصور الملمس العلوي على الإطلاق قبل التحرر التنافر,تطور الموسيقى الكفارية (انظر: اثنا عشر صوتا).يرى أحد مؤيدي "المحدودة والخاضعة للرقابة" أ. لوتوسلافسكي قيمة لا شك فيها: "أ. فتحت لي آفاقًا جديدة وغير متوقعة. أولاً، هناك ثروة هائلة من الإيقاع، لا يمكن تحقيقها بمساعدة تقنيات أخرى. يدعي دينيسوف، الذي يبرر "إدخال عناصر عشوائية في الموسيقى"، أنه "يمنحنا حرية أكبر في التعامل مع المادة الموسيقية ويسمح لنا بالحصول على مؤثرات صوتية جديدة".<...>لكن أفكار التنقل لا يمكن أن تعطي نتائج جيدة إلا إذا<... >إذا كانت الميول التدميرية الكامنة في الحراك لا تدمر البناء الضروري لوجود أي شكل من أشكال الفن.

تتداخل بعض الأساليب وأشكال الموسيقى الأخرى مع A. أولًا هذا: 1. ارتجال -أداء العمل المؤلف أثناء اللعبة؛ 2. موسيقى رسومية,والتي يرتجلها المؤدي وفقًا للصور المرئية للرسم الموضوع أمامه (على سبيل المثال، I. Brown, Folio, 1952)، وترجمتها إلى صور صوتية، أو وفقًا لرسومات موسيقية مبهجة أنشأها الملحن من مقطوعات موسيقية نص موسيقي على قطعة من الورق (S. Bussotti، "Passion for the Garden"، 1966)؛ 3. يحدث- العمل المرتجل (بهذا المعنى العفوي). (ترقية)بمشاركة الموسيقى بمؤامرة تعسفية (شبه) (على سبيل المثال، حدوث "نسخة طبق الأصل" لفرقة "مادريجال" في موسم 1970/71 لـ أ. فولكونسكي)؛ 4. الأشكال المفتوحة للموسيقى - أي تلك التي لا يكون نصها ثابتًا بشكل ثابت، ولكن يتم الحصول عليها دائمًا في عملية الأداء. هذه هي أنواع التركيبات التي لم يتم إغلاقها بشكل أساسي وتسمح بالاستمرار اللانهائي (على سبيل المثال، مع كل أداء جديد)، باللغة الإنجليزية. أعمال جارية. بالنسبة لـ P. Boulez، كان أحد الحوافز التي حولته إلى الشكل المفتوح هو عمل J. جويس("يوليسيس") وإس. مالارمي ("لو ليفر"). مثال على التكوين المفتوح هو "النماذج المتاحة II" لإيرل براون لـ 98 أداة واثنين من الموصلات (1962). يشير براون نفسه إلى ارتباط شكله المفتوح بـ "الهواتف المحمولة" في الفنون البصرية (انظر: الفن الحركي)،على وجه الخصوص بقلم أ. كالدر ("قطعة كالدر" لقارعي الطبول الأربعة وكالدر موبايل، 1965). وأخيرًا، فإن فعل "Gesamtkunst" يتخلله مبادئ بديلة (انظر: جيسامتكونستويرك). 5. الوسائط المتعددة، خصوصيتها هي المزامنة المنشآتعدة فنون (على سبيل المثال: حفل موسيقي + معرض للرسم والنحت + أمسية شعرية في أي مجموعة من الفنون وغيرها). وهكذا، فإن جوهر الفن هو التوفيق بين النظام الفني الراسخ تقليديًا والإنزيم المنعش المتمثل في عدم القدرة على التنبؤ، والصدفة - وهي ميل يميز الفن. الثقافة الفنية في القرن العشرين.بشكل عام و جماليات غير كلاسيكية.

مضاءة: دينيسوف إي.في.العناصر المستقرة والمتحركة للشكل الموسيقي وتفاعلها // المشكلات النظرية للأشكال والأنواع الموسيقية. م، 1971؛ كوهوتيك ج.تقنية التأليف في موسيقى القرن العشرين. م، 1976؛ لوتوسلافسكي ف.المقالات، تكون-

الشعر الرمادي والذكريات. م.، 1995؛ بوليز P. Alea // Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. لام، ماينز، 1958؛ بوليز ر. Zu meiner III Sonate // المرجع نفسه، III. 1960; شيفر ب.نوا موزيكا (1958). كراكوف، 1969؛ شيفر ب. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). كراكوف، 1975؛ ستوكهاوزن ك. Musik und Grafik (1960) // Texte، Bd.l، Köln، 1963؛ Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. دارمشتات، 1967.