صيغ لإيجاد الوسيط. مساحة المثلث حساب على الانترنت
متوسط المثلث- هذا هو الجزء الذي يربط قمة المثلث بمنتصف الضلع المقابل لهذا المثلث.
خصائص متوسطات المثلث
1. يقسم الوسيط المثلث إلى مثلثين متساويين في المساحة.
2. يتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة، مما يقسم كل منها بنسبة 2:1، اعتباراً من الرأس. تسمى هذه النقطة مركز ثقل المثلث (النقطه الوسطى).
3. يتم تقسيم المثلث بأكمله حسب متوسطاته إلى ستة مثلثات متساوية.
طول الوسيط المرسوم على الجانب: (إثبات عن طريق بناء متوازي الأضلاع واستخدام المساواة في متوازي الأضلاع مرتين مجموع مربعات الجوانب ومجموع مربعات الأقطار )
T1.تتقاطع المتوسطات الثلاثة للمثلث عند نقطة واحدة M، والتي تقسم كل منها بنسبة 2:1، من رؤوس المثلث. نظرا: ∆ ABC,سس 1، أأ 1، ب 1 - الوسيطات
∆اي بي سي. اثبت: و
D-vo: لتكن M نقطة تقاطع المتوسطين CC 1، AA 1 للمثلث ABC. لنضع علامة على A 2 - منتصف المقطع AM وC 2 - منتصف المقطع CM. ثم A 2 C 2 هو الخط الأوسط للمثلث مقياس الدعم الكلي.وسائل، أ2ج2|| تكييف
و أ 2 ج 2 = 0.5*AC. مع 1 أ 1 - الخط الأوسط للمثلث ABC . لذلك أ 1 مع 1 || ايه سي و أ 1 مع 1 = 0.5*تيار متردد.
رباعي الزوايا أ2ج1أ1ج2- متوازي الأضلاع، حيث أن ضلعيه المتقابلين هما A 1 مع 1 و أ2ج2متساوية ومتوازية. لذلك، أ 2 م =ماجستير 1 و ج2م=مولودية 1 . وهذا يعني أن النقاط أ2و متقسيم الوسيط أأ 2إلى ثلاثة أجزاء متساوية أي AM = 2MA 2. نفس CM = 2MC 1 . إذن، النقطة M عند تقاطع متوسطين أأ 2و سي سي 2المثلث ABC يقسم كل واحد منهم بنسبة 2:1، عد من رؤوس المثلث. لقد ثبت بطريقة مشابهة تمامًا أن نقطة تقاطع المتوسطين AA 1 وBB 1 تقسم كل منهما بنسبة 2:1، بدءًا من رؤوس المثلث.
على الوسيط AA 1، تكون هذه النقطة هي النقطة M، وبالتالي فهي نقطة موهناك نقطة تقاطع المتوسطين AA 1 و BB 1.
هكذا، ن
T2.أثبت أن القطع التي تربط النقطه الوسطى مع رؤوس المثلث تقسمها إلى ثلاثة أجزاء متساوية. نظرا: ∆ABC، 
- وسطها.
يثبت: إس أم بي =إس بي إم سي =اس ام سي .دليل. في،لديهم واحد مشترك. 
لأن قواعدهم متساوية 
والارتفاع المرسوم من قمة الرأس م،لديهم واحد مشترك. ثم
وبطريقة مماثلة ثبت ذلك S AMB = S AMC .هكذا، S AMB = S AMC = S CMB.ن
منصفات المثلث النظريات المتعلقة بمنصفات المثلثات. صيغ لإيجاد المنصفات
زاوية منصف- شعاع يبدأ من رأس الزاوية ويقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين.
منصف الزاوية هو موضع النقاط الموجودة داخل الزاوية والتي تكون متساوية البعد عن جوانب الزاوية.
ملكيات
1. نظرية المنصف: منصف الزاوية الداخلية للمثلث يقسم الضلع المقابل بنسبة مساوية لنسبة الضلعين المتجاورين
2. تتقاطع منصفات الزوايا الداخلية للمثلث عند نقطة واحدة - المركز - مركز الدائرة المدرجة في هذا المثلث.
3. إذا كان منصفان متساويان في مثلث، فإن المثلث متساوي الساقين (نظرية شتاينر ليموس).
حساب طول المنصف
ل ج - طول المنصف المرسوم على الجانب ج،
أ، ب، ج - أضلاع المثلث المقابل للرؤوس A، B، C، على التوالي،
p هو نصف محيط المثلث،
a l , b l - أطوال الأجزاء التي يقسم إليها المنصف l c الجانب c,
α,β,γ - الزوايا الداخلية للمثلث عند القمم أ، ب، جعلى التوالى،
h c هو ارتفاع المثلث، مخفضًا إلى الجانب c.
طريقة المنطقة.
خصائص الطريقة.وكما يوحي الاسم، فإن الهدف الرئيسي لهذه الطريقة هو المساحة. بالنسبة لعدد من الأشكال، على سبيل المثال، بالنسبة للمثلث، يتم التعبير عن المنطقة بكل بساطة من خلال مجموعات مختلفة من عناصر الشكل (المثلث). ولذلك، فإن الأسلوب الفعال للغاية هو مقارنة التعبيرات المختلفة لمساحة شكل معين. وفي هذه الحالة تنشأ معادلة تحتوي على العناصر المعلومة والمرغوبة في الشكل، وبحلها نحدد المجهول. هذا هو المكان الذي تتجلى فيه السمة الرئيسية لطريقة المساحة - فهي "تصنع" مشكلة جبرية من مشكلة هندسية، وتختصر كل شيء إلى حل معادلة (وأحيانًا نظام من المعادلات).
1) طريقة المقارنة: ترتبط بعدد كبير من الصيغ S ذات الأرقام نفسها
2) طريقة العلاقة S: بناءً على مشاكل دعم التتبع:
نظرية سيفا
دع النقاط A، B، C" تقع على الخطوط BC، CA، AB للمثلث. الخطوط AA، BB، CC" تتقاطع عند نقطة واحدة إذا وفقط إذا 
دليل.
دعونا نشير إلى نقطة تقاطع الأجزاء و . دعونا نخفض الخطوط المتعامدة من النقطتين C و A على الخط BB 1 حتى تتقاطع معه عند النقطتين K و L على التوالي (انظر الشكل).
وبما أن المثلثات لها جانب مشترك، فإن مساحاتها مرتبطة بالارتفاعات المرسومة على هذا الجانب، أي. آل و سي كيه:
المساواة الأخيرة صحيحة، لأن المثلثات القائمة ومتشابهة في الزاوية الحادة.
وبالمثل نحصل 
و 
دعونا نضرب هذه المساواة الثلاثة:
Q.E.D.
تعليق. يُطلق على القطعة (أو استمرار القطعة) التي تربط قمة المثلث بنقطة تقع على الجانب الآخر أو استمرارها اسم سيفيانا.
نظرية (عكس نظرية سيفا). دع النقاط A، B، C تقع على الجوانب BC، CA وAB للمثلث ABC، على التوالي. لتتحقق العلاقة 
ثم تتقاطع القطع AA، BB، CC في نقطة واحدة.
نظرية مينيلوس
نظرية مينيلوس. ليتقاطع خط مع المثلث ABC، مع C 1 نقطة تقاطعه مع الضلع AB، و A 1 نقطة تقاطعه مع الضلع BC، و B 1 نقطة تقاطعه مع امتداد الضلع AC. ثم
دليل
. لنرسم خطًا موازيًا للخط AB مرورًا بالنقطة C. نشير بالرمز K إلى نقطة تقاطعه مع الخط B 1 C 1 .
المثلثان AC 1 B 1 وCKB 1 متشابهان (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1، ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). لذلك، 
المثلثان BC 1 A 1 وCKA 1 متشابهان أيضًا (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C، ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). وسائل،
من كل مساواة نعبر عن CK:
أين 
Q.E.D.
النظرية (النظرية العكسية لمينلاوس).دعونا نعطي المثلث ABC. دع النقطة C 1 تقع على الجانب AB، والنقطة A 1 على الجانب BC، والنقطة B 1 على امتداد الجانب AC، وتبقى العلاقة التالية ثابتة:
ثم تقع النقاط A 1 و B 1 و C 1 على نفس الخط.
للعثور على الوسيط باستخدام أضلاع المثلث، لا تحتاج إلى تذكر صيغة إضافية. يكفي معرفة خوارزمية الحل.
أولا، دعونا ننظر إلى المشكلة بشكل عام.
بالنظر إلى مثلث أضلاعه أ، ب، ج. أوجد طول الوسيط المرسوم على الجانب ب.
AB=أ، AC=ب، BC=ج.
على الشعاع BF نرسم القطعة FD, FD=BF.
دعونا نربط النقطة D بالنقطتين A وC.
الرباعي ABCD هو متوازي أضلاع (حسب السمة)، حيث أن قطريه عند نقطة التقاطع مقسمة إلى نصفين.
خاصية أقطار متوازي الأضلاع: مجموع مربعات أقطار متوازي الأضلاع يساوي مجموع مربعات أضلاعه.
ومن ثم: AC²+BD²=2(AB²+BC²)، وهو ما يعني b²+BD²=2(a²+c²)،
دينار²=2(أ²+ج²)-ب². من خلال البناء، BF هو نصف BD، وبالتالي
هذه هي صيغة إيجاد متوسط المثلث بناءً على أضلاعه. وعادة ما يتم كتابته مثل هذا:
دعنا ننتقل إلى النظر في مهمة محددة.
أضلاع المثلث هي 13 سم، 14 سم، 15 سم أوجد متوسط المثلث المرسوم على ضلعه متوسط الطول.
وبتطبيق المنطق نفسه نحصل على:
AC²+BD²=2(AB²+BC²).
14²+BD²=2(13²+15²)
الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.
جمع واستخدام المعلومات الشخصية
تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.
قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.
فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.
ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:
- عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.
كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:
- تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
- من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
- قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
- إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.
الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة
نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.
الاستثناءات:
- إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
- في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.
حماية المعلومات الشخصية
نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.
احترام خصوصيتك على مستوى الشركة
للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.
الوسيط هو القطعة الممتدة من رأس المثلث إلى منتصف الضلع المقابل، أي أنه يقسمها إلى نصفين عند نقطة التقاطع. النقطة التي يتقاطع عندها الوسيط مع الجانب المقابل للرأس الذي يخرج منه تسمى القاعدة. يمر كل وسيط في المثلث بنقطة واحدة تسمى نقطة التقاطع. يمكن التعبير عن صيغة طوله بعدة طرق.
صيغ للتعبير عن طول الوسيط
- في كثير من الأحيان، في المسائل الهندسية، يتعين على الطلاب التعامل مع قطعة مثل متوسط المثلث. يتم التعبير عن صيغة طوله من حيث الجوانب:
حيث a وb وc هي الجوانب. علاوة على ذلك، c هو الجانب الذي يقع عليه الوسيط. هذه هي الطريقة التي تبدو بها الصيغة الأبسط. في بعض الأحيان تكون متوسطات المثلث مطلوبة لإجراء العمليات الحسابية المساعدة. هناك صيغ أخرى.
- إذا تم أثناء الحساب معرفة جانبين للمثلث وزاوية معينة α تقع بينهما، فسيتم التعبير عن طول متوسط المثلث، الذي تم تخفيضه إلى الجانب الثالث، على النحو التالي.
الخصائص الأساسية
- جميع المتوسطات لها نقطة تقاطع مشتركة واحدة O ويتم تقسيمها عليها بنسبة اثنين إلى واحد، إذا تم حسابها من قمة الرأس. وتسمى هذه النقطة مركز ثقل المثلث.
- يقسم الوسيط المثلث إلى قسمين آخرين مساحتهما متساوية. تسمى هذه المثلثات بمساحة متساوية.
- إذا قمت برسم جميع المتوسطات، فسيتم تقسيم المثلث إلى 6 أرقام متساوية، والتي ستكون أيضًا مثلثات.
- إذا كانت أضلاع المثلث الثلاثة متساوية، فإن كل متوسط سيكون أيضًا ارتفاعًا ومنصفًا، أي عموديًا على الجانب الذي يرسم عليه، وينصف الزاوية التي يخرج منها.
- في المثلث المتساوي الساقين، الوسيط المرسوم من الرأس المقابل للضلع الذي لا يساوي أي ضلع آخر سيكون أيضًا الارتفاع والمنصف. المتوسطات المسقطة من القمم الأخرى متساوية. وهذا أيضًا شرط ضروري وكافي لتساوي الساقين.
- إذا كان المثلث هو قاعدة الهرم العادي، فإن الارتفاع الذي انخفض إلى هذه القاعدة يتم إسقاطه إلى نقطة تقاطع جميع المتوسطات.
- في المثلث القائم، الوسيط المرسوم على الضلع الأطول يساوي نصف طوله.
- دع O تكون نقطة تقاطع متوسطات المثلث. ستكون الصيغة أدناه صحيحة لأي نقطة M.
- متوسط المثلث له خاصية أخرى. فيما يلي صيغة مربع طوله من خلال مربعات الجوانب.
خصائص الجوانب التي يرسم عليها الوسيط
- إذا قمت بتوصيل أي نقطتين من نقاط تقاطع المتوسطات مع الجوانب التي تم إسقاطها عليها، فسيكون الجزء الناتج هو خط الوسط للمثلث ويكون نصف جانب المثلث الذي لا توجد به نقاط مشتركة.
- تقع قواعد الارتفاعات والمتوسطات في المثلث، وكذلك نقاط منتصف القطع التي تربط رؤوس المثلث بنقطة تقاطع الارتفاعات، على نفس الدائرة.
في الختام، من المنطقي أن نقول إن أحد أهم القطع هو متوسط المثلث. ويمكن استخدام صيغته لإيجاد أطوال أضلاعه الأخرى.
ملكيات
- تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة تسمى المركز، وتنقسم عند هذه النقطة إلى قسمين بنسبة 2:1، تحسب من الرأس.
- يقسم المثلث على ثلاثة متوسطات إلى ستة مثلثات متساوية.
- الجانب الأكبر من المثلث يتوافق مع الوسيط الأصغر.
- يمكن تكوين مثلث من المتجهات التي تشكل المتوسطات.
- في ظل التحولات التقاربية، يصبح الوسيط هو الوسيط.
- متوسط المثلث يقسمه إلى قسمين متساويين.
الصيغ
- صيغة الوسيط من حيث الجوانب (مشتقة من خلال نظرية ستيوارت أو عن طريق التوسع إلى متوازي الأضلاع واستخدام المساواة في متوازي الأضلاع لمجموع مربعات الجوانب ومجموع مربعات الأقطار):
- الصيغة الجانبية من خلال الوسيطات:
إذا كان الوسيطان متعامدين، فإن مجموع مربعي الضلعين اللذين تم حذفهما هو 5 أضعاف مربع الجانب الثالث.
قاعدة ذاكري
قرد متوسط,
من لديه عين ثاقبة
سوف يقفز مباشرة إلى المنتصف
الجوانب ضد القمة،
اين هي الان؟
ملحوظات
أنظر أيضا
روابط
مؤسسة ويكيميديا. 2010.
انظر ما هو "متوسط المثلث" في القواميس الأخرى:
الوسيط: متوسط المثلث في علم القياس، وهو الجزء الذي يربط قمة المثلث بمنتصف الضلع المقابل في الإحصاء، والوسيط هو قيمة السكان التي تقسم سلسلة البيانات المرتبة إلى نصف الوسيط (الإحصائيات) ... . .. ويكيبيديا
الوسيط: متوسط المثلث في علم القياس، قطعة تربط قمة المثلث بمنتصف الجانب المقابل الوسيط (الإحصائيات) 0.5 الوسيط الكمي (الأثر) الخط الأوسط للتتبع المرسوم بين اليمين واليسار ... ويكيبيديا
المثلث ومتوسطاته. وسط المثلث هو قطعة داخل مثلث تصل رأس المثلث بمنتصف الضلع المقابل له، بالإضافة إلى خط مستقيم يحتوي على هذه القطعة. المحتويات 1 الخصائص 2 الصيغ ... ويكيبيديا
الخط الذي يصل رأس المثلث بمنتصف قاعدته. قاموس كامل للكلمات الأجنبية التي دخلت حيز الاستخدام في اللغة الروسية. بوبوف م. ، 1907. الوسيط (متوسط المتوسط) 1) جيول. القطعة التي تربط رأس المثلث بـ ... ... قاموس الكلمات الأجنبية للغة الروسية
الوسيط (من المتوسط اللاتيني) في الهندسة، هو قطعة تربط أحد رؤوس المثلث بمنتصف الضلع المقابل. تتقاطع ثلاثة مثلثات من نوع M عند نقطة واحدة، والتي تسمى أحيانًا "مركز ثقل" المثلث، لذا... الموسوعة السوفيتية الكبرى
خط مستقيم للمثلث (أو جزئه داخل المثلث) يصل رأس المثلث بمنتصف الضلع المقابل. ثلاثة مثلثات تتقاطع عند نقطة واحدة تسمى مركز ثقل المثلث أو النقطه الوسطى أو... ... الموسوعة الرياضية
- (من الوسط اللاتيني) قطعة تربط رأس المثلث بمنتصف الضلع المقابل ... القاموس الموسوعي الكبير
الوسيط والوسيط والنساء. (الوسطى اللاتيني، مضاء. الأوسط). 1. خط مستقيم مرسوم من رأس المثلث إلى منتصف الضلع المقابل (حصيرة). 2. في الإحصاء، لسلسلة من البيانات العديدة، كمية لها خاصية عدد البيانات، ... ... قاموسأوشاكوفا
ميديان، س، أنثى. وفي الرياضيات: القطعة المستقيمة التي تصل رأس المثلث بمنتصف الضلع المقابل له. قاموس أوزيغوف التوضيحي. إس.آي. أوزيجوف ، إن يو. شفيدوفا. 1949 1992… قاموس أوزيجوف التوضيحي
MEDIAN (من اللاتينية mediana middle)، قطعة تصل رأس المثلث بمنتصف الضلع المقابل... القاموس الموسوعي
