مفهوم برابری، علامت مساوی، تعاریف مرتبط. مفهوم برابری، علامت مساوی، تعاریف مرتبط با نحوه حل یک معادله

این مقاله اطلاعاتی را گرد هم می آورد که ایده برابری را در زمینه ریاضیات شکل می دهد. در اینجا خواهیم فهمید که برابری از دیدگاه ریاضی چیست و چیستند. اجازه دهید در مورد نوشتن مساوات و علامت مساوی نیز صحبت کنیم. در نهایت، ویژگی‌های اصلی برابری‌ها را فهرست می‌کنیم و مثال‌هایی را برای وضوح بیان می‌کنیم.

پیمایش صفحه.

برابری چیست؟

مفهوم برابری به طور جدایی ناپذیری با مقایسه پیوند خورده است - مقایسه ویژگی ها و ویژگی ها به منظور شناسایی ویژگی های مشابه. و مقایسه نیز به نوبه خود مستلزم وجود دو شیء یا شیء است که یکی با دیگری مقایسه می شود. البته مگر اینکه شما یک شی را با خودش مقایسه کنید و بعد این را می توان یک مورد خاص از مقایسه دو شی در نظر گرفت: خود شی و «نسخه دقیق» آن.

از استدلال فوق روشن می شود که برابری بدون حضور حداقل دو شی وجود ندارد، در غیر این صورت ما به سادگی چیزی برای مقایسه نخواهیم داشت. واضح است که می توانید سه، چهار یا چند شی را برای مقایسه بگیرید. اما طبیعتاً به مقایسه همه جفت‌های ممکن ساخته شده از این اشیاء ختم می‌شود. به عبارت دیگر، به مقایسه دو شی می رسد. پس مساوات مستلزم دو شیء است.

ماهیت مفهوم برابری در کلی ترین معنای آن به وضوح با کلمه "یکسان" منتقل می شود. اگر دو شیء یکسان را بگیریم، می توانیم در مورد آنها بگوییم که آنها هستند برابر. به عنوان مثال، دو مربع مساوی و . اشیاء مختلف، به نوبه خود، نامیده می شوند نابرابر.

مفهوم برابری می تواند هم در مورد اشیاء به عنوان یک کل و هم در مورد خصوصیات و ویژگی های فردی آنها اعمال شود. اشیاء زمانی که از همه جهات ذاتی با هم برابر باشند به طور کلی برابر هستند. در مثال قبلی، ما در مورد برابری اشیاء به طور کلی صحبت کردیم - هر دو شی مربع هستند، اندازه آنها یکسان، یک رنگ و به طور کلی کاملاً یکسان هستند. از سوی دیگر، اشیاء ممکن است به طور کلی نابرابر باشند، اما ممکن است برخی از ویژگی های برابر داشته باشند. به عنوان مثال، چنین اشیایی و . بدیهی است که آنها از نظر شکل برابر هستند - هر دو دایره هستند. و از نظر رنگ و اندازه نابرابر هستند، یکی آبی و دیگری قرمز، یکی کوچک و دیگری بزرگ است.

از مثال قبلی، ما برای خود متذکر می شویم که باید از قبل بدانیم که دقیقاً از چه چیزی در مورد برابری صحبت می کنیم.

تمام استدلال های فوق در مورد برابری ها در ریاضیات صدق می کند، فقط در اینجا برابری به اشیاء ریاضی اشاره دارد. یعنی هنگام مطالعه ریاضیات، در مورد برابری اعداد، برابری مقادیر بیان، برابری هر کمیت، به عنوان مثال، طول، مساحت، دما، بهره‌وری نیروی کار و غیره صحبت خواهیم کرد.

نوشتن برابری، =

وقت آن است که به قوانین مربوط به نوشتن برابری نگاه کنیم. برای این منظور استفاده می شود =(به آن علامت مساوی نیز می گویند) که به شکل = است، یعنی نشان دهنده دو خط یکسان است که به صورت افقی یکی بالای دیگری قرار گرفته اند. علامت برابر = به طور کلی پذیرفته شده در نظر گرفته می شود.

هنگام نوشتن مساوات، اشیاء مساوی بنویسید و بین آنها علامت مساوی قرار دهید. به عنوان مثال، نوشتن اعداد مساوی 4 و 4 مانند 4 = 4 به نظر می رسد و می تواند به عنوان "چهار برابر با چهار" خوانده شود. مثال دیگر: تساوی مساحت S ABC مثلث ABC به هفت متر مربع به صورت S ABC = 7 m 2 نوشته می شود. با قیاس می توان مثال های دیگری از تساوی نوشتاری آورد.

شایان ذکر است که در ریاضیات، نمادهای در نظر گرفته شده از برابری ها اغلب به عنوان تعریف برابری استفاده می شود.

تعریف.

رکوردهایی که از علامت مساوی برای جدا کردن دو شیء ریاضی (دو عدد، عبارت و غیره) استفاده می کنند، نامیده می شوند. برابری ها.

اگر می خواهید نابرابری دو شی را به صورت نوشتاری مشخص کنید، از آن استفاده کنید علامت مساوی نیست≠. می بینیم که نشان دهنده یک علامت مساوی خط خورده است. به عنوان مثال، ورودی 1+2≠7 را در نظر می گیریم. می توان اینگونه خواند: «مجموع یک و دو برابر هفت نیست». مثال دیگر |AB|≠5 سانتی متر است - طول قطعه AB برابر با پنج سانتی متر نیست.

برابری درست و نادرست

برابری های نوشته شده ممکن است با معنای مفهوم برابری مطابقت داشته باشد یا با آن در تضاد باشد. بسته به این، برابری ها به دو دسته تقسیم می شوند برابری های واقعیو برابری های کاذب. بیایید این را با مثال ها درک کنیم.

تساوی 5=5 را بنویسیم. اعداد 5 و 5 بدون شک مساوی هستند، بنابراین 5=5 یک برابری واقعی است. اما برابری 5=2 نادرست است، زیرا اعداد 5 و 2 مساوی نیستند.

خواص مساوات

از نحوه معرفی مفهوم برابری، نتایج مشخصه آن - خصوصیات برابری - به طور طبیعی به دنبال دارد. سه مورد اصلی وجود دارد ویژگی های برابری ها:

• خاصیت بازتابی که بیان می کند یک شی با خودش برابر است.
• خاصیت تقارن، که بیان می کند که اگر جسم اول با دومی برابر باشد، دومی برابر با اولی است.
• و در نهایت خاصیت متعدی که بیان می کند که اگر شیء اول مساوی دومی و دومی برابر سومی باشد اولی برابر با سومی است.

بیایید ویژگی های صوتی را در زبان ریاضیات با استفاده از حروف بنویسیم:

• a=a ;
• اگر a=b پس b=a ;
• اگر a=b و b=c آنگاه a=c.

به طور جداگانه، شایان ذکر است که ویژگی های دوم و سوم برابری ها - ویژگی های تقارن و گذر - در این واقعیت است که آنها به ما اجازه می دهند در مورد برابری سه یا چند شی از طریق برابری زوجی آنها صحبت کنیم.

برابری های دو، سه گانه و غیره

همراه با نمادهای معمول برای برابری ها که نمونه هایی از آنها را در پاراگراف های قبلی آوردیم، به اصطلاح برابری های مضاعف, برابری های سه گانهو به همین ترتیب، به عنوان نماینده، زنجیره ای از برابری. برای مثال علامت 1+1+1=2+1=3 یک برابری دوگانه است و |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| - نمونه ای از برابری چهارگانه.

استفاده از دوبل، سه تایی و ... برای برابری ها، نوشتن برابری سه، چهار و غیره راحت است. بر این اساس اشیاء این رکوردها ذاتاً برابری هر دو شیء را نشان می‌دهند که زنجیره اصلی برابری‌ها را تشکیل می‌دهند. برای مثال، تساوی دوگانه فوق 1+1+1=2+1=3 اساساً به معنای برابری 1+1+1=2+1 و 2+1=3 و 1+1+1=3 است و در به دلیل خاصیت تقارن تساوی ها و 2+1=1+1+1 و 3=2+1 و 3=1+1+1.

در قالب چنین زنجیره ای از برابری ها، فرموله کردن یک راه حل گام به گام برای مثال ها و مسائل راحت است، در حالی که راه حل مختصر به نظر می رسد و مراحل میانی تبدیل عبارت اصلی قابل مشاهده است.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• مورو ام.آی.. ریاضیات. کتاب درسی برای 1 کلاس شروع مدرسه در 2 ساعت. قسمت 1. (نیمه اول سال) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - ویرایش 6. - م.: آموزش و پرورش، 1385. - 112 ص: بیمار.+افزودن. (2 جدا l. ill.). - شابک 5-09-014951-8.
• ریاضیات: کتاب درسی برای کلاس پنجم آموزش عمومی موسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - چاپ بیست و یکم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ill. شابک 5-346-00699-0.

برابری با کمیت ها.

پس از اینکه کودک با کارت های کمیت از 1 تا 20 آشنا شد، می توانید مرحله دوم را به مرحله اول آموزش اضافه کنید - برابری با کمیت ها.

برابری چیست؟ این یک عملیات حسابی و نتیجه آن است.

این مرحله از یادگیری را با مبحث "افزودن" آغاز می کنید.

اضافه شدن.

با نشان دادن دو مجموعه از کارت های کمیت، معادلات جمع را اضافه می کنید.

آموزش این عمل بسیار آسان است. در واقع فرزند شما چندین هفته است که برای این کار آماده است. از این گذشته، هر بار که یک کارت جدید به او نشان می دهید، می بیند که یک نقطه اضافی روی آن ظاهر شده است.

نوزاد هنوز نمی‌داند اسمش چیست، اما از قبل درباره چیست و چگونه کار می‌کند ایده دارد.

شما قبلاً مطالبی برای نمونه های اضافی در پشت هر کارت دارید.

فناوری برای نشان دادن برابری ها چیزی شبیه این به نظر می رسد: شما می خواهید به کودک برابری بدهید: 1 +2 = 3. چگونه می توانید آن را نشان دهید؟

قبل از شروع درس، سه کارت را به صورت رو به پایین روی پای خود قرار دهید، یکی روی دیگری. مثلاً، کارت بالایی را با یک بند انگشت بردارید "یک"،سپس آن را کنار بگذارید و بگویید "به علاوه"،یک کارت با دو دومینو نشان دهید، بگویید "دو"،بعد از کلمه آن را کنار بگذارید "اراده"،یک کارت با سه دومینو نشان دهید و بگویید "سه".

یک روز شما سه کلاس را با برابری برگزار می کنید و در هر درس سه برابری متفاوت را نشان می دهید. در مجموع، نوزاد در روز 9 برابری مختلف می بیند.

کودک بدون هیچ توضیحی معنی کلمه را می فهمد "به علاوه"،او خود معنای آن را از سیاق استنباط می کند. با انجام اقدامات، معنای واقعی جمع را سریعتر از هر توضیحی نشان می دهید. هنگام صحبت در مورد برابری ها، همیشه به همان شیوه ارائه و با استفاده از اصطلاحات یکسان پایبند باشید. با گفتن "یک بعلاوه دو برابر سه"بعدا حرف نزن "دو به یکی اضافه می شود، سه است."وقتی حقایق را به کودک می آموزید، خودش نتیجه گیری می کند و قوانین را یاد می گیرد. اگر شرایط را تغییر دهید، کودک دلایل زیادی دارد که فکر کند قوانین نیز تغییر کرده اند.

تمام کارت های مورد نیاز برای یک برابری خاص را از قبل آماده کنید. فکر نکنید که فرزندتان ساکت می‌نشیند و شما را تماشا می‌کند که در پشته‌ای از کارت‌ها جستجو می‌کنید و کارت‌هایی را که نیاز دارید انتخاب می‌کنید. او به سادگی فرار می کند و درست می گوید، زیرا ارزش زمان او کمتر از وقت شما نیست.

سعی کنید برابری هایی ایجاد نکنید که وجه اشتراک دارند و به کودک اجازه می دهد آنها را از قبل پیش بینی کند (این برابری ها می توانند بعداً استفاده شوند). در اینجا نمونه ای از این برابری ها آورده شده است:

استفاده از این موارد بسیار بهتر است:

1 +2 = 3 5+6=11 4 + 8 = 12

کودک باید جوهر ریاضی را ببیند؛ مهارت ها و مفاهیم ریاضی را در او پرورش می دهد. پس از حدود دو هفته، کودک در مورد اینکه جمع چیست، کشف می کند: بالاخره در این مدت شما 126 معادله مختلف را برای جمع به او نشان دادید.

معاینه.

بررسی در این مرحله حل مثال است.

یک مثال چه تفاوتی با یک برابری دارد؟
برابری عملی است که نتیجه آن به کودک نشان داده می شود.

یک مثال عملی است که باید انجام شود. در مورد ما، شما دو پاسخ را به کودک نشان می دهید و او پاسخ صحیح را انتخاب می کند، یعنی. مثال را حل می کند

می توانید یک مثال بعد از یک درس معمولی با سه معادله جمع ارسال کنید. شما مثال را به همان شکلی که قبلا برابری را نشان دادید نشان می دهید. یعنی کارت هایی را که در دست دارید دوباره مرتب می کنید و هر کدام را با صدای بلند می گویید. به عنوان مثال، "بیست به علاوه ده، سی یا چهل و پنج است؟" و دو کارت به کودک نشان دهید که یکی از آنها پاسخ صحیح را دارد.

کارت های حاوی پاسخ باید در فاصله یکسانی از چشمان کودک قرار گیرند و هیچ گونه اقدام تحریک کننده نباید مجاز باشد.

هنگامی که کودک مناسب را انتخاب می کنید، با شور و نشاط خود را ابراز می کنید، او را می بوسید و تمجید می کنید.

اگر پاسخ اشتباهی را انتخاب کنید، بدون ابراز ناامیدی، کارتی را که پاسخ صحیح دارد به سمت نوزاد فشار می دهید و این سوال را می پرسید: "سی می شود، اینطور نیست؟" به چنین سؤالی معمولاً کودک پاسخ مثبت می دهد. حتما فرزندتان را به خاطر این پاسخ صحیح تحسین کنید.

خوب، اگر فرزند شما از ده مثال، حداقل شش مورد را به درستی حل کند، قطعاً وقت آن رسیده است که به سراغ معادلات تفریق بروید!

اگر فکر نمی کنید لازم است فرزندتان را بررسی کنید (و درست است!)، پس از 10-14 روز، همچنان به معادلات تفریق بروید!

تفریق را در نظر بگیرید.

شما جمع را متوقف می کنید و به طور کامل به تفریق می روید. سه درس روزانه با سه برابری متفاوت در هر یک برگزار کنید.

معادلات تفریق را به صورت زیر بیان کنید: "دوازده منهای هفت، پنج است."

در همان زمان، شما همچنان به نشان دادن کارت های کمیت (دو مجموعه، هر کدام پنج کارت) نیز سه بار در روز ادامه می دهید. در مجموع، روزانه 9 درس بسیار کوتاه خواهید داشت. بنابراین شما بیش از دو هفته کار نمی کنید.

معاینه

آزمایش، درست مانند مورد جمع، می تواند شامل حل مثال ها با انتخاب یک پاسخ از دو باشد.

ضرب را در نظر بگیرید.

ضرب چیزی جز جمع مکرر نیست، بنابراین این عمل برای فرزند شما کشف بزرگی نخواهد بود. همانطور که به مطالعه کارت های کمیت ادامه می دهید (هر کدام دو مجموعه از پنج کارت)، این فرصت را دارید که معادلات ضرب را ایجاد کنید.

برابری های ضرب را به صورت زیر بیان کنید: "دو ضرب در سه برابر است با شش."

کودک کلمه را درک خواهد کرد "تکثیر کردن"به همان سرعتی که قبلاً این کلمه را فهمید "به علاوه"و "منهای".

شما هنوز سه درس در روز تدریس می کنید که هر کدام شامل سه معادله ضرب متفاوت است. این کار بیش از دو هفته طول نمی کشد.

به اجتناب از برابری های قابل پیش بینی ادامه دهید. به عنوان مثال، مانند:

لازم است دائماً کودک خود را در حالت تعجب و انتظار چیز جدید نگه دارید. سوال اصلی برای او باید این باشد: "بعدش چی؟"و در هر درس باید پاسخ جدیدی برای آن دریافت کند.

معاینه

شما مثال ها را مانند مبحث "جمع" و "تفریق" حل می کنید. اگر فرزندتان بازی های علامت زدن جعبه ها با کارت های کمیت را دوست داشت، می توانید به بازی آنها ادامه دهید، بنابراین مقادیر جدید و بزرگتر را تکرار کنید.

با پیروی از طرحی که پیشنهاد داده‌ایم، تا این زمان می‌توانید اولین مرحله یادگیری ریاضیات را تکمیل کنید - مقادیر را در 100 مطالعه کنید. اکنون زمان آن است که با کارتی که کودکان بیشتر دوست دارند آشنا شوید.

بیایید مفهوم صفر را در نظر بگیریم.

آنها می گویند که ریاضیدانان پانصد سال است که ایده صفر را مطالعه می کنند. خواه این درست باشد یا نه، کودکان که به سختی ایده کمیت را یاد گرفته اند، بلافاصله معنای غیبت کامل آن را درک می کنند. آنها به سادگی صفر را دوست دارند و سفر شما به دنیای اعداد ناقص خواهد بود اگر کارتی را به کودک خود نشان ندهید که اصلاً هیچ نقطه ای روی آن نباشد (یعنی یک کارت کاملاً خالی خواهد بود).

برای اینکه آشنایی فرزندتان با صفر سرگرم کننده و جالب باشد، می توانید نمایش کارت را با یک معما همراه کنید:

در خانه هفت بچه سنجاب وجود دارد، در بشقاب هفت قارچ عسلی وجود دارد. همه قارچ ها سنجاب ها را خوردند. چه چیزی در بشقاب باقی مانده است؟

هنگام تلفظ آخرین عبارت، کارت "صفر" را نشان می دهیم.

تقریبا هر روز از آن استفاده خواهید کرد. برای عملیات جمع، تفریق و ضرب مفید خواهد بود.

می توانید یک هفته با کارت "صفر" کار کنید. کودک به سرعت به این موضوع تسلط پیدا می کند. مانند قبل، در طول روز سه کلاس برگزار می کنید. در هر درس، سه برابری مختلف برای جمع، تفریق و ضرب با صفر به فرزند خود نشان می دهید. در مجموع، روزانه 9 برابری دریافت خواهید کرد.

معاینه

حل مثال با صفر از یک الگوی آشنا پیروی می کند.

تقسیم را در نظر بگیرید.

هنگامی که تمام کارت های کمیت را از 0 تا 100 تکمیل کردید، تمام مواد لازم برای نمونه های تقسیم با مقادیر را دارید.

تکنولوژی نمایش برابری ها برای این موضوع یکسان است. هر روز سه کلاس برگزار می کنید. در هر درس سه برابری متفاوت را به فرزندتان نشان می دهید. اگر گذر این مواد از دو هفته بیشتر نشود خوب است.

معاینه

این آزمون شامل حل مثال ها با انتخاب یک پاسخ از دو می باشد.

وقتی تمام کمیت ها را طی کردید و با چهار قانون حساب آشنا شدید، می توانید به هر طریق ممکن مطالعات خود را متنوع و پیچیده کنید. ابتدا، برابری ها را در جایی که یک عمل حسابی استفاده می شود نشان دهید: فقط جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم.

سپس - برابری هایی که در آن جمع و تفریق یا ضرب و تقسیم با هم ترکیب می شوند:

20 + 8-10=18 9-2 + 26 = 33 47+11-50 = 8

برای اینکه در کارت ها گیج نشوید، می توانید نحوه برگزاری کلاس ها را تغییر دهید. اکنون لازم نیست هر کارت سوزن بافندگی را نشان دهید، فقط می توانید پاسخ را نشان دهید و فقط خود اعمال را تلفظ کنید. در نتیجه کلاس های شما کوتاه تر می شود. شما به سادگی به کودک بگویید: «بیست و دو تقسیم بر یازده، تقسیم بر دو برابر یک»- و کارت "یک" را به او نشان دهید.

در این مبحث می توانید از برابری هایی استفاده کنید که بین آنها نوعی الگو وجود دارد.

مثلا:

2*2*3= 12 2*2*6=24 2*2*8=32

هنگام ترکیب چهار عمل حسابی در یک تساوی، به یاد داشته باشید که ضرب و تقسیم باید در ابتدای تساوی قرار گیرند:

از نشان دادن برابری ها نترسید که مثلاً بیش از صد مورد از آنها وجود دارد.

نتیجه میانی در

42 * 3 - 36 = 90,

که در آن نتیجه متوسط ​​126 است (42 * 3 = 126)

کودک شما با آنها عالی خواهد شد!

این آزمون شامل حل مثال ها با انتخاب یک پاسخ از دو می باشد. می‌توانید با نشان دادن همه کارت‌های برابری و دو کارت برای انتخاب پاسخ، مثالی را نشان دهید، یا به سادگی کل برابری را بگویید و تنها دو کارت برای پاسخ به فرزندتان نشان دهید.

یاد آوردن! هر چه بیشتر مطالعه کنید، سریعتر باید موضوعات جدید را معرفی کنید. به محض اینکه متوجه اولین نشانه های بی توجهی یا بی حوصلگی کودک شدید، به موضوع جدیدی بروید. پس از مدتی می توانید به مبحث قبلی (اما برای آشنایی با برابری هایی که هنوز نشان داده نشده است) بازگردید.

دنباله ها

دنباله ها همان برابری ها هستند. تجربه والدین با این موضوع نشان داده است که کودکان دنباله ها را بسیار جالب می دانند.

سکانس های بعلاوه در حال افزایش توالی هستند. دنباله های با منهای در حال کاهش هستند.

هر چه سکانس ها متنوع تر باشد، برای کودک جالب تر است.

در اینجا چند نمونه از سکانس ها آورده شده است:

3,6,9,12,15,18,2 (+3)

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 (+4)

5,10,15,20,25,30,35 (+5)

100,90,80,70,60,50,40 (-10)

72, 70, 68, 66, 64, 62, 60 (-2)

95,80,65,50,35,20,5 (-15)

فن آورینشان دادن دنباله ها می تواند مانند این باشد. شما سه سکانس برای پلاس آماده کرده اید.

موضوع درس را به کودک اعلام کنید ، کارت های سکانس اول را یکی پس از دیگری روی زمین قرار دهید و آنها را صدا کنید.

با فرزندتان به گوشه دیگری از اتاق بروید و سکانس دوم را به همین ترتیب بچینید.

در گوشه سوم اتاق، سکانس سوم را در حالی که صداگذاری می کنید، قرار می دهید.

دنباله ها همچنین می توانند یکی زیر دیگری قرار گیرند و بین آنها فاصله ایجاد شود.

سعی کنید همیشه رو به جلو حرکت کنید و از ساده به پیچیده حرکت کنید. فعالیت ها را تغییر دهید: گاهی اوقات آنچه را که نشان می دهید با صدای بلند بگویید و گاهی اوقات کارت ها را بی صدا نشان دهید. در هر صورت، کودک این سکانس را در مقابل خود می بیند.

برای هر سکانس، باید حداقل از شش کارت، گاهی اوقات بیشتر، استفاده کنید تا تشخیص اصل توالی برای کودک آسان تر شود.

به محض دیدن برق در چشمان کودک، سعی کنید یک مثال به سه دنباله اضافه کنید (یعنی دانش او را آزمایش کنید).

مثالی مانند این را نشان می‌دهید: ابتدا کل دنباله را همانطور که معمولاً انجام می‌دهید، دراز می‌کنید و در پایان دو کارت را برمی‌دارید (یک کارت کارت بعدی است و دیگری تصادفی است) و می‌پرسید. کودک: "بعدی کدام است؟"

در ابتدا، کارت ها را به ترتیب یکی پس از دیگری قرار دهید، سپس می توانید فرم های چیدمان را تغییر دهید: کارت ها را در یک دایره، در اطراف محیط اتاق و غیره قرار دهید.

همانطور که بهتر و بهتر می شوید، از استفاده از ضرب و تقسیم در دنباله های خود نترسید.

نمونه هایی از دنباله ها:

4; 6; 8; 10; 12; 14 - در این دنباله، هر عدد بعدی 2 افزایش می یابد.

2 4; 7; 14; 17; 34 - در این دنباله ضرب و جمع متناوب (x 2; + 3)؛

2 4; 8; 16; 32; 64 - در این دنباله، هر عدد بعدی 2 برابر افزایش می یابد.

22; 18; 14; 10; 6; 2 - در این دنباله، هر عدد بعدی 4 کاهش می یابد.

84; 42; 40; 20; 18; 9 - در این ترتیب تقسیم و تفریق متناوب (: 2; - 2);

علائم "بیشتر از"، "کمتر از"

این کارت ها در 110 کارت اعداد و علائم (جزء دوم روش ANASTA) قرار دارند.

دروس برای آشنایی کودک با مفاهیم "کمتر و زیاد" بسیار کوتاه خواهد بود. تنها کاری که باید انجام دهید این است که سه کارت را نشان دهید.

فناوری نمایش

روی زمین بنشینید و هر کارت را جلوی کودک بگذارید تا بتواند هر سه کارت را یکجا ببیند. شما هر کارت را نام ببرید.

می تونی اینجوری بگی: "شش بیشتر از سه است"یا "شش بیشتر از سه است."

در هر درس، سه نسخه مختلف از نابرابری‌ها را به فرزندتان نشان می‌دهید

کارت های "بیشتر" - "کمتر". نابرابری در روز

بنابراین شما 9 متفاوت را نشان می دهید

مانند قبل، هر نابرابری را فقط یک بار نشان می دهید.

بعد از چند روز می توانید یک نمونه به سه نمایش اضافه کنید. در حال حاضر است معاینه،و اینگونه می شود:

کارت هایی را که از قبل آماده شده اند روی زمین قرار دهید، به عنوان مثال، یک کارت با شماره "68" و یک کارت با علامت "بیشتر". از کودک خود بپرسید: "شصت و هشت از چه عددی بزرگتر است؟"یا "شصت و هشت بالای پنجاه است یا نود و پنج؟" از کودک خود دعوت کنید تا کارت مورد نیاز خود را از بین دو کارت انتخاب کند. شما (یا خود او) کارت صحیحی را که کودک نشان داده است بعد از علامت "بیشتر" قرار دهید.

می توانید دو کارت با مقادیر را جلوی کودک بگذارید و به او فرصت دهید تا علامت مناسب را انتخاب کند، یعنی > یا<.

برابری ها و نابرابری ها

آموزش برابری ها و نابرابری ها به آسانی مفاهیم «بیشتر» و «کمتر» است.

شما به شش کارت نماد حسابی نیاز دارید. شما همچنین آنها را به عنوان بخشی از 110 کارت اعداد و علائم (جزء دوم روش ANASTA) خواهید یافت.

فناوری نمایش

شما تصمیم گرفتید دو نابرابری و یک برابری زیر را به فرزندتان نشان دهید:

8-6<10 −7 11-3= 9 −1 55-12^50 −13

آنها را به صورت متوالی روی زمین قرار می دهید تا کودک بتواند هر یک از آنها را یکباره ببیند. در همان زمان همه چیز را می گویید، مثلا: "هشت منهای شش برابر با ده منهای هفت نیست."

به همین ترتیب، برابری و نابرابری باقیمانده را هنگام چیدمان تلفظ می کنید.

در مرحله اولیه آموزش این مبحث، تمام کارت ها چیده می شوند.

سپس فقط می توانید کارت های "برابر" و "غیر برابر" را نشان دهید.

یک روز به فرزندتان این فرصت را می دهید که دانش خود را نشان دهد. کارت‌هایی را با مقادیر قرار می‌دهید و از او می‌خواهید انتخاب کند که کدام کارت باید با کدام علامت قرار گیرد: «برابر» یا «مساوی».

قبل از شروع یادگیری جبر با فرزندتان، باید او را با مفهوم متغیری که با یک حرف نمایش داده می شود آشنا کنید.

حرف x معمولاً در ریاضیات استفاده می شود، اما از آنجایی که به راحتی می توان آن را با علامت ضرب اشتباه گرفت، توصیه می شود از y استفاده کنید.

ابتدا یک کارت با پنج مهره دومینو، سپس یک علامت مثبت (+) و به دنبال آن یک علامت y، سپس یک علامت مساوی و در نهایت یک کارت با هفت مهره دومینو قرار می دهید. سپس شما این سوال را مطرح می کنید: "منظورت اینجا چیست؟"

و شما خودتان به آن پاسخ دهید: "در این معادله به معنای دو است."

معاینه:

پس از حدود یک تا یک هفته و نیم کلاس در این مرحله، می توانید به فرزند خود فرصت انتخاب پاسخ دهید.

مرحله چهارم تساوی با اعداد و کمیت ها

وقتی از اعداد 1 تا 20 عبور کردید، زمان آن فرا رسیده است که بین اعداد و کمیت ها "پل ایجاد کنید". خیلی راه ها برای انجام دادن این وجود دارد. یکی از ساده ترین آنها استفاده از برابری ها و نابرابری ها، روابط "بیشتر" و "کمتر" است که با استفاده از کارت هایی با اعداد و دومینو نشان داده شده است.

تکنولوژی نمایش

یک کارت با شماره 12 بردارید، آن را روی زمین قرار دهید، سپس علامت "بزرگتر از" را در کنار آن و سپس کارتی با عدد 10 قرار دهید، در حالی که می گویید: "12 بیش از ده است."

نابرابری ها (برابری ها) ممکن است به شکل زیر باشند:

هر روز (برابری ها) شامل سه درس و هر درس شامل سه نامساوی در کمیت ها و اعداد است. تعداد کل برابری های روزانه 9 عدد خواهد بود. در همان زمان، با استفاده از دو مجموعه پنج کارتی، همچنین سه بار در روز، به مطالعه اعداد ادامه می دهید.

معاینه.

می‌توانید به فرزندتان این فرصت را بدهید که کارت‌های «بیش از»، «کمتر از»، «برابر» را انتخاب کند یا نمونه‌ای را به‌گونه‌ای ایجاد کنید که کودک بتواند خودش آن را تمام کند. به عنوان مثال، یک کارت شماره 7، سپس یک علامت "بزرگتر از" قرار می دهیم و به کودک فرصت می دهیم تا مثال را تکمیل کند، یعنی یک کارت شماره، مثلاً 9 یا یک کارت شماره، مثلاً 5، انتخاب کند.

پس از اینکه کودک ارتباط بین کمیت ها و اعداد را درک کرد، می توانید با استفاده از کارت هایی با اعداد و مقادیر شروع به حل برابری کنید.

تساوی با اعداد و مقادیر.

با استفاده از کارت هایی با اعداد و مقادیر، موضوعات آشنا را مرور می کنید: جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، دنباله ها، برابری ها و نامساوی ها، کسرها، معادلات، برابری ها در دو یا چند عملیات.

اگر به طرح تدریس تقریبی ریاضیات (ص 20) دقت کنید، متوجه می شوید که دروس پایانی ندارد. مثال های خود را برای توسعه شمارش ذهنی کودک بیاورید، مقادیر را با اشیاء واقعی (آجیل، قاشق برای مهمانان، تکه های موز خرد شده، نان و غیره) مرتبط کنید - در یک کلام، جرات کنید، ایجاد کنید، اختراع کنید، امتحان کنید! و شما موفق خواهید شد!

کلاس: 3

ارائه برای درس

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

نوع درس:کشف دانش جدید

فن آوری:فناوری برای توسعه تفکر انتقادی از طریق خواندن و نوشتن، فناوری بازی.

اهداف:گسترش دانش دانش آموزان در مورد برابری ها و نابرابری ها، معرفی مفهوم برابری ها و نابرابری های درست و نادرست.

وظیفه آموزشی:فعالیت های مشترک و مستقل دانش آموزان را برای مطالعه مطالب جدید سازماندهی کنید.

اهداف درس:

1. موضوع:
   • نشانه های برابری و نابرابری را معرفی کنید. گسترش درک دانش آموزان از برابری ها و نابرابری ها؛
   • مفهوم برابری و نابرابری درست و نادرست را معرفی کنید.
   • توسعه مهارت در یافتن مقدار یک عبارت حاوی یک متغیر؛
   • شکل گیری مهارت های محاسباتی
2. فرا موضوع:
   1. شناختی:
      • توسعه توجه، حافظه، تفکر را تقویت کنید.
      • توسعه توانایی استخراج اطلاعات، هدایت سیستم دانش خود و تشخیص نیاز به دانش جدید؛
      • تسلط بر تکنیک های انتخاب و نظام مند کردن مطالب، توانایی جمع آوری و مقایسه و تبدیل اطلاعات (به نمودار، جدول).
   2. نظارتی:
      • توسعه ادراک بصری؛
      • ادامه کار بر روی شکل گیری خودکنترلی و عزت نفس در بین دانش آموزان؛
   3. ارتباطی:
      • تعامل کودکان را به صورت جفت مشاهده کنید و تنظیمات لازم را انجام دهید.
      • کمک های متقابل را تقویت کند.
3. شخصی:
   • افزایش انگیزه یادگیری دانش آموزان با استفاده از تابلوی مدرسه تعاملی تابلو ستاره در کلاس درس.
   • بهبود مهارت در کار با Star Board.

تجهیزات:

• کتاب درسی "ریاضیات" کلاس سوم، قسمت 2 (L.G. Peterson);
• شخصی برگه جزوه ;
• کارت هایی برای کار به صورت جفت؛
• ارائه برای درس نمایش داده شده در پانل Star Board.
• کامپیوتر، پروژکتور، برد ستاره.

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی.

و بنابراین، دوستان، توجه.
بالاخره زنگ به صدا درآمد
راحت بنشین
زودتر درس را شروع کنیم!

II. شمارش شفاهی

- امروز برای بازدید با شما خواهیم رفت. پس از گوش دادن به شعر، می توانید نام مهماندار را انتخاب کنید. (خواندن شعری از دانش آموز)

برای قرن ها، ریاضیات با شکوه پوشیده شده است،
مظهر همه مفاخر زمینی.
ملکه با شکوه او
جای تعجب نیست که گاوس آن را تعمید داده است.
ما ذهن انسان را می ستاییم،
آثار دستان جادویی او،
امید این قرن،
ملکه تمام علوم زمینی.

- و بنابراین، ریاضیات در انتظار ما است. پادشاهی های زیادی در پادشاهی او وجود دارد، اما امروز از یکی از آنها بازدید خواهیم کرد (اسلاید 4)

– با حل مثال ها و مرتب کردن پاسخ ها به ترتیب صعودی به نام اصالت پی خواهید برد. ( بیانیه)

7200: 90 = 80	با		280: 70 = 4	و
5400: 9 = 600	Y		3500: 70 = 50	ز
2700: 300 = 9	که در		4900: 700 = 7	آ
4800: 80 = 60	آ		1600: 40 = 40	Y
560: 8 = 70	به		1800: 600 = 3	E
4200: 6 = 700	که در		350: 70 = 5	ن

- یادمان باشد بیانیه چیست؟ ( بیانیه)

- این بیانیه چه می تواند باشد؟ (درست یا غلط)

– امروز با گزاره های ریاضی کار خواهیم کرد. این یعنی چی؟ (بیان، برابری ها، نابرابری ها، معادلات)

III. مرحله 1. چالش. آماده شدن برای یادگیری چیزهای جدید.

(اسلاید 5 به یادداشت مراجعه کنید)

- Princess Saying اولین آزمایش را به شما ارائه می دهد.

- کارت هایی پیش روی شماست. یک کارت اضافی پیدا کنید و نشان دهید (a + 6 - 45 * 2).

- چرا او اضافی است؟ (اصطلاح)

- آیا عبارت یک بیانیه کامل است؟ (نه، اینطور نیست، زیرا به نتیجه منطقی خود نرسیده است)

- برابری و نابرابری چیست؟آیا می توان آنها را گزاره نامید؟

- برابری های صحیح را نام ببرید.

- نام دیگر برابری های واقعی چیست؟ ( درست است، واقعی)

- کفار چطور؟ (کاذب)

- چه معادلاتی را نمی توان درست گفت؟ ( با متغیر)

- ریاضیات دائماً به ما می آموزد که درستی یا نادرستی گفته های خود را ثابت کنیم.

IV. هدف درس را بیان کنید.

- و امروز باید بیاموزیم که برابری و نابرابری چیست و بیاموزیم که درستی و نادرستی آنها را مشخص کنیم.

- در اینجا اظهاراتی پیش روی شماست. آنها را با دقت بخوانید. اگر فکر می کنید درست است، در ستون اول "+" و اگر نه، "-" را قرار دهید.

	قبل از خواندن	بعد از خواندن
برابری ها دو عبارتی هستند که با علامت "=" به هم متصل می شوند.
عبارات می توانند عددی یا الفبایی باشند.
اگر دو عبارت عددی باشند، برابری یک گزاره است.
برابری های عددی می توانند درست یا نادرست باشند.
6 * 3 = 18 - برابری عددی صحیح
16: 3 = 8 - تساوی عددی نادرست
دو عبارت که با یک ">" یا " به هم متصل می شوند<» - неравенство.
نابرابری های عددی گزاره هایی هستند.

تأیید جمعی با توجیه فرض شما.

V. مرحله 2. انعکاس. یادگیری چیزهای جدید.

- چگونه می توانیم بررسی کنیم که آیا فرضیات ما درست است؟

(کتاب درسی ص 74.)

- برابری چیست؟

- نابرابری چیست؟

- ما وظیفه پرنسس ساینگ را انجام دادیم و به عنوان پاداش او ما را به تعطیلات دعوت می کند.

VI. دقیقه تربیت بدنی

VII. مرحله 3. انعکاس-انعکاس

1. ص. 75.5 (نمایش داده شده) (اسلاید 8)

- کار را بخوانید، چه کاری باید انجام شود؟

8 + 12 = 20		a > b
8 + 12 + 20		الف – ب
8 + 12 > 20		a + b = c
20 = 8 + 12		a + b * c

- بر چند برابری تأکید کردید؟ بیایید بررسی کنیم.

- چند نابرابری؟

- چه چیزی به شما کمک کرد تا کار را تکمیل کنید؟ (علائم "="، ">"، "<»)

- چرا ورودی های بدون خط دار وجود داشت؟ (اصطلاحات)

2. بازی "سکوت" (اسلاید 9)

(دانش آموزان برابری ها را روی نوارهای باریک می نویسند و به معلم نشان می دهند، سپس خودشان را بررسی می کنند).

عبارت را به صورت مساوی بنویسید:

• 5 بیشتر از 3 در 2 است (5 - 3 = 2)
• 12 6 برابر بزرگتر از 2 است (12: 2 = 6)
• x کوچکتر از y در 3 است (y - x = 3)

3. حل معادلات (اسلاید 10)

- چه چیزی پیش روی ماست؟ (معادلات، برابری ها)

- آیا می توانیم درست یا غلط بودن آنها را تشخیص دهیم؟ (نه، یک متغیر وجود دارد)

- چگونه می توان یافت که در کدام مقدار از یک متغیر برابری ها درست است؟ (تصميم گرفتن)

• 1 ستون - 1 ستون
• ستون 2 - ستون 2
• 3 ستون - 3 ستون

نوت بوک ها را عوض کنید و کار دوست خود را بررسی کنید. به آن امتیاز دهید.

هشتم. خلاصه درس.

- امروز با چه مفاهیمی کار کردیم؟

- چه نوع برابری می تواند وجود داشته باشد؟ (نادرست یا درست)

- فکر می‌کنید فقط در درس‌های ریاضی است که باید بتوانیم گزاره‌های نادرست را از درست تشخیص دهیم؟ (فردی در زندگی خود با اطلاعات بسیار متفاوتی مواجه می شود و باید بتواند درست را از نادرست جدا کند).

IX ارزیابی کار دانش آموزان و تعیین نمرات.

- Queen Mathematics برای چه چیزی می تواند از ما تشکر کند؟

توجه داشته باشید. اگر معلم از تخته ستاره استفاده می کند، این اسلاید با کارت هایی که روی تخته تایپ شده است جایگزین می شود. هنگام بررسی، دانش آموزان روی تخته کار می کنند.

اجازه دهید رویداد که دراین است که توپ دوم کشیده شده سفید خواهد بود. احتمال وقوع که دررا می توان با استفاده از فرمول احتمال کل و احتمالات شرطی تعیین کرد R(اچ1 /آ)و R(اچ2 /آ) برای رویداد پیشینی شود که در، از همین رو

P(B) = P(اچ1 /A)∙P(B/اچ1 ) + P(اچ2 /A)∙P(B/اچ2 ) = 1/4∙4/5 + 3/4∙2/5 = 1/2.

2.6. وظایف

1. برابری AB = A چه زمانی ممکن است؟

پاسخ: رویداد آ- یک مورد خاص از یک رویداد که در.

2..gif" width="15" height="21 src=">+ C).

جواب: الف = ق.م.

3. ثابت کنید که = A + B و .

4. چه زمانی برابری ها ممکن است: الف) A + B = ، ب) AB = ، ج) A + B = AB؟

جواب: الف) الف محال است و ب مسلم است.

ب) الف قابل اعتماد است و ب غیرممکن است.

5. یک رویداد تصادفی پیدا کنید ایکساز برابری: https://pandia.ru/text/80/003/images/image050_0.gif" width="12" height="23 src=">.gif" width="120 height=23" height=" 23"> پس چی آ، https://pandia.ru/text/80/003/images/image128_0.gif" width="16" height="16 src="> و از طریق الف، بکو باجی.

پاسخ: D= A(B1 + B2 + B3 + B4) (C1 + C2),

8. دانش آموز 20 سوال از 25 سوال برنامه را می داند. در صورتی که دانش آموز به 3 سوال از 4 سوال مطرح شده پاسخ دهد، آزمون قبول شده تلقی می شود. احتمال قبولی دانش آموز در آزمون چقدر است؟

پاسخ: آر = 2109/2530 ≈ 0,834.

9. دو تیرانداز که احتمال اصابت به هدف برای آنها به ترتیب 0.7 و 0.8 است، هر کدام یک تیر شلیک می کنند. احتمال حداقل یک ضربه به هدف را تعیین کنید.

پاسخ: آر = 0,94.

10. احتمال اصابت به اولین هدف برای تیرانداز 2/3 است. اگر ضربه ای در شلیک اول ثبت شود، تیرانداز حق شلیک دوم به هدف دیگر را دارد. احتمال اصابت هر دو هدف با دو شلیک 0.5 است. احتمال اصابت به هدف دوم را تعیین کنید.

پاسخ: آر = 0,75.

11. یک دانش آموز فرمول مورد نیاز خود را در سه کتاب مرجع جستجو می کند. احتمال اینکه فرمول به ترتیب در فهرست اول، دوم و سوم موجود باشد 0.6 است. 0.7; 0.8. احتمال وجود فرمول را بیابید: الف) فقط در یک کتاب مرجع. ب) فقط در دو فهرست؛ ج) در هر سه فهرست.

پاسخ: الف) آر= 0.188; ب) آر= 0.452; V) آر = 0,336.

12. دانش آموزان آزمونی را در کلاس ماشین های کنترلی انجام می دهند. کار شامل سه وظیفه است. برای دریافت اعتبار کافی است دو مشکل حل شود. برای هر مشکل، پنج پاسخ مختلف رمزگذاری شده است که تنها یکی از آنها صحیح است. دانش آموز پتروف مطالب را به خوبی نمی داند و بنابراین برای هر مسئله به طور تصادفی پاسخ ها را انتخاب می کند. احتمال دریافت اعتبار چقدر است؟

پاسخ: آر = 0,104.

مسائل 13-17 نمودارهای اتصال عناصری را نشان می دهد که مداری را با یک ورودی و یک خروجی تشکیل می دهند. فرض بر این است که خرابی‌های عنصر در مجموع رویدادهای مستقلی هستند. قابلیت اطمینان شناخته شده در نظر گرفته می شود پک کعنصر ام و بر این اساس qk = (1 - پک) احتمال شکست آن است. خرابی هر عنصر منجر به قطع سیگنال در شاخه مداری می شود که این عنصر در آن قرار دارد. محاسبه قابلیت اطمینان پهر یک از طرح ها

13.

پاسخ: آر = 1 – q1 q2 q 3.

پاسخ: آر= 1 – (1 – р1р2р 3) (1 – p4p5p 6).

15.

پاسخ: آر = р1р4(1 – q2 q3).

16.

پاسخ: آر = (1 – q1 q2 ) (1 – q3 q4 ).

17.

پاسخ: آر= p5(1 – q1 q2 ) (1 – q3 q4 ) + q5 (р1р3 + р2р4 – р1р2р3р4).

18. در یک دوره زمانی معین، یک باکتری می تواند با احتمال 1/4 بمیرد، با احتمال 1/4 زنده بماند و با احتمال 1/2 به دو قسمت تقسیم شود. در بازه زمانی مشابه بعدی، برای هر باکتری، صرف نظر از منشا آن، همین اتفاق می افتد. تا پایان دوره دوم چند باکتری و با چه احتمالاتی می تواند وجود داشته باشد؟

پاسخ: 0، 1، 2، 3، 4 باکتری به ترتیب با احتمالات 32/11، 32/4، 32/5، 32/4 و 32/4 می توانند وجود داشته باشند.

19. ایوان و پیتر هر کدام به نوبت متردو تاس یکبار پرتاب می شود. برنده کسی است که برای اولین بار مجموع امتیازات هر دو تاس برابر با 8 باشد. ایوان ابتدا پرتاب می کند. احتمالات را بیابید p1و p2برنده شدن برای هر بازیکن و تعیین اینکه چند بار شانس برنده شدن ایوان بیشتر از پیتر است اگر: الف) تعداد پرتاب ها محدود نباشد و متر=1; ب) تعداد پرتاب ها محدود نیست، اما متر = 2.

پاسخ: الف) p1 = 36/67; p2 = 31/67; р1/р2 = 36/31 ≈ 1,16;

ب) p1 =362/(362 + 312) ≈ 0,574; p2 = 312/(362 + 312) ≈ 0,426; р1/р2 = 62/312 ≈ ≈ 1,35.

20. یک بمب هوایی برای تخریب یک پل کافی است. احتمال خراب شدن پل را در صورت انداختن 4 بمب بر روی آن بیابید که احتمال اصابت آن ها به ترتیب برابر با 0.3 است. 0.4; 0.5 و 0.6.

پاسخ: آر= 0,916.

21. احتمال حداقل یک ضربه به هدف با چهار شلیک 0.9919 است. احتمال اصابت به هدف را با یک شلیک پیدا کنید.

پاسخ: آر = 0,7.

22. تلویزیون های سه کارخانه به فروش می رسد. محصولات کارخانه اول شامل 20٪ از تلویزیون ها با نقص پنهان است، دوم - 10٪، سوم - 5٪. اگر فروشگاه 30 درصد تلویزیون را از کارخانه اول، 20 درصد را از دومی و 50 درصد را از سومی دریافت کرده باشد، احتمال خرید تلویزیون کار چقدر است؟

پاسخ: آر = 0,895.

23. سه گلوله به سمت هواپیما شلیک می شود. احتمال ضربه در شلیک اول 0.4، در دوم - 0.5، در سوم - 0.7 است. واضح است که سه ضربه برای شکست هواپیما کافی است. با یک ضربه هواپیما با احتمال 0.2 از کار می افتد و با دو ضربه با احتمال 0.6. احتمال غیرفعال شدن هواپیما در نتیجه سه شلیک را پیدا کنید.

پاسخ: آر = 0,458.

24. کوزه اول شامل 10 توپ است که 8 تای آن سفید است. کوزه دوم شامل 20 توپ است که 4 تای آن سفید است. از هر کوزه یک توپ به طور تصادفی کشیده می شود و سپس یک توپ به طور تصادفی از این دو توپ کشیده می شود. احتمال گرفتن توپ غیر سفید را پیدا کنید.

پاسخ: آر = 0,5.

25. کوزه اول شامل 6 گلوله سفید و 4 گلوله سیاه است، کوزه دوم شامل 3 توپ سفید و 2 گلوله سیاه است، 3 توپ به صورت تصادفی از سطل اول کشیده می شود و توپ های رنگی که اکثریت دارند در گلوله دوم می ریزند. قوطی و مخلوط کاملا. پس از این، 1 توپ به طور تصادفی از کوزه دوم کشیده می شود. احتمال سفید شدن این توپ چقدر است؟

پاسخ: آر = 349/560 ≈ 0,623.

26. برای جستجوی یک میدان نفتی در یک قلمرو معین، الف nطرف های زمین شناسی که هر کدام بدون توجه به دیگری، یک کانسار را با احتمال کشف می کنند آر. پس از پردازش و تجزیه و تحلیل رکوردهای لرزه نگاری، کل قلمرو به دو منطقه تقسیم شد. در ناحیه اول، نفت ممکن است به احتمال زیاد رخ دهد p1و در دوم - با احتمال 1 - p1. چگونه باید توزیع شود؟ nاحزاب زمین شناسی در دو منطقه به طوری که احتمال کشف نفت به حداکثر برسد؟

پاسخ: باید به منطقه اول بفرستید ک0 احزاب زمین شناسی، که در آن ک0 - نزدیکترین عدد صحیح به عدد [ n/2 + (لوگاریتم((1 – p1)/p1))/2لوگاریتم(1 – آر)]. اجازه دهید رویداد آ- نفت در یک منطقه مشخص کشف شده است. سپس

P(A) = 1 – p1(1 – آر)ک – (1 – p1) (1 –آر)n- ک، جایی که ک– تعداد طرف های زمین شناسی اعزامی به منطقه اول. بعد، تابع را در نظر بگیرید

f(ایکس) = 1 – p1(1 – آر)ایکس – (1 – p1) (1 - آر)n-ایکسو حداکثر آن را در پیدا کنید ایکسÎ.

27. در هرم 10 تفنگ وجود دارد که 4 تای آن مجهز به دوربین اپتیکال است. احتمال اصابت یک تیرانداز به هدف هنگام شلیک تفنگ با دید تلسکوپی 0.95 است. برای یک تفنگ بدون دید نوری، این احتمال 0.8 است. تیرانداز با تفنگی که به طور تصادفی گرفته شده بود به هدف اصابت کرد. چه چیزی محتمل تر است: تیرانداز از تفنگ با دید اپتیکال یا بدون آن شلیک کرده است؟

پاسخ: به احتمال زیاد تفنگ بدون دید اپتیکال بوده است (احتمال اینکه تفنگ بدون دید اپتیکال بوده باشد 24/43 و با دید اپتیکال 19/43 است).

28. سه تیرانداز هر کدام یک تیر به یک هدف شلیک می کنند. احتمال اصابت یک تیر به هدف برای هر یک از تیراندازان به ترتیب برابر است p1, p2, p3. اگر بعد از شلیک دو سوراخ در هدف وجود داشته باشد، احتمال اینکه تیرانداز دوم از دست داده باشد چقدر است؟

پاسخ: آر = [(1 – p2) p1 p3] / [(1 – p1)p2 p3 + (1 – p2) p1 p3 + (1 – p3) p1 p2].

29. در یک گروه 25 نفری که برای شرکت در آزمون تئوری احتمال آمده بودند، 10 دانش آموز ممتاز، 7 نفر آماده، 5 نفر با آمادگی رضایت بخش و 3 نفر با آمادگی ضعیف هستند. دانش آموزان ممتاز تمام 25 سؤال برنامه را می دانند، آنهایی که به خوبی آماده شده اند - 20 سؤال، آنهایی که به طور رضایت بخشی آماده شده اند - 15 سؤال، آنهایی که آمادگی ضعیف دارند فقط 10 سؤال را می دانند. یک دانش آموز به طور تصادفی به 2 سوال پرسیده شده پاسخ داد. احتمالات وقایع زیر را بیابید: اس1 = (دانش آموز عالی یا آماده است)، اس2 = (دانش آموز به طور رضایت بخشی آماده شده است) اس3 = (دانش آموز آمادگی ضعیفی دارد).

پاسخ: آر(S1) ≈ 0,8677, آر(S2) ≈ 0,1052, آر(S3) ≈ 0,0271.

30. از 18 تیرانداز، 5 نفر با احتمال 0.8 به هدف برخورد کردند. 7 – با احتمال 0.7; 4 – با احتمال 0.6; 2- با احتمال 0.5. تیراندازی که به طور تصادفی انتخاب شده بود، شلیک کرد، اما هدف را از دست داد. این تیرانداز به احتمال زیاد متعلق به کدام گروه بود؟

پاسخ: تیرانداز از گروه دوم.

§ 3. توالی آزمون های مستقل

3.1. تکرار آزمایش ها فرمول برنولی

در کاربرد عملی نظریه احتمال، فرد اغلب با مشکلاتی مواجه می شود که در آنها همان آزمایش یا آزمایش های مشابه به طور مکرر تکرار می شود.

در نتیجه هر تجربه، یک رویداد ممکن است ظاهر شود یا نباشد آو ما نه به نتیجه هر آزمایش، بلکه به نتیجه کلی، یعنی تعداد وقوع رویداد علاقه مند خواهیم بود. آدر این سری آزمایشات

به عنوان مثال، اگر چندین شلیک به یک هدف شلیک شود، ما نه به نتیجه هر شلیک، بلکه به تعداد کل ضربه ها علاقه مند خواهیم شد. در چنین مشکلاتی، شما باید بتوانید احتمال وقوع هر تعداد از یک رویداد را بیابید آ. اگر آزمایش ها مستقل باشند، می توان این مشکلات را به سادگی حل کرد. اگر نتیجه هر آزمایش به نتیجه آزمایش های دیگر بستگی نداشته باشد، آزمایش ها مستقل هستند. به عنوان مثال، چندین پرتاب متوالی سکه آزمایش‌های مستقلی را تشکیل می‌دهند. اگر احتمال وقوع یک رویداد وجود داشته باشد آدر هر آزمایش بدون تغییر است، یعنی شرایط آزمایش ها یکسان است، سپس یک قضیه خاص در مورد تکرار آزمایش ها در این مورد اعمال می شود. اگر احتمال وقوع یک رویداد وجود داشته باشد آاز آزمایشی به آزمایش دیگر تغییر می کند، یعنی شرایط آزمایش متفاوت است، سپس قضیه کلی در این مورد اعمال می شود. آزمایش ها (آزمایش هایی) که در آنها احتمال وقوع یک رویداد وجود دارد آبدون تغییر باقی می ماند، به نام تست برنولی. در هر آزمون برنولی، دو و تنها دو نتیجه ممکن است - وقوع رویداد آ("موفقیت") و عدم وقوع رویداد آ("شکست"). احتمال "موفقیت" و "شکست" به ترتیب با حروف نشان داده می شود پو q. بدیهی است که پ + q = 1.

بذار تولید بشه nآزمایش‌های مستقل، که در هر کدام ممکن است یک رویداد ظاهر شود آبا احتمال مساوی آرو بنابراین، با احتمال برابر است q = 1 – آر، رویداد آممکن است ظاهر نشود بیایید احتمال را تعیین کنیم آرn(متر) در اینها چیست nرویداد تست آدقیقا ظاهر خواهد شد متریک بار. رویداد را در نظر بگیرید Bm، شامل این واقعیت است که در nرویداد تست آدقیقا ظاهر خواهد شد مترزمان و بنابراین n – متربار رویداد آظاهر نخواهد شد.

اجازه دهید با نشان دادن آمنوقوع یک رویداد آ V منتجربه، و از طریق https://pandia.ru/text/80/003/images/image138_0.gif" width="314" height="29">

و در هر اثر یک رویداد وجود دارد آباید گنجانده شود متربارها، اما باید گنجانده شود n – متریک بار. تعداد این اصطلاحات برابر است، یعنی تعداد

لو راه هایی که در آن شما می توانید nآزمایش هایی برای انتخاب متر، که در آن رویداد رخ داده است آ. با توجه به قضایای ضرب و جمع احتمالات داریم:

https://pandia.ru/text/80/003/images/image141_0.gif" width="24" height="24">

بنابراین، قضیه زیر را داریم: در صورت تولیدn آزمایش های مستقل، که در هر یک از آنها یک رویداد آبا احتمال برابر ظاهر خواهد شد آر، سپس احتمال وقوع رویداد آدقیقا ظاهر خواهد شدمتر بار، با فرمول برنولی بیان شده است

, (3.1)

جایی که q = 1 – پ,

.

با توجه به این واقعیت که احتمالات تعیین شده توسط فرمول (3.1) عبارت از بسط دو جمله ای ( q + پ)n، سپس توزیع (3.1) فراخوانی می شود توزیع دو جمله ای.

در این درس، شما و قورباغه با مفاهیم ریاضی "برابری" و "نابرابری" و همچنین علائم مقایسه آشنا می شوید. با مثال های سرگرم کننده و جالب، مقایسه گروه های اشکال با استفاده از جفت شدن و مقایسه اعداد با استفاده از خط اعداد را یاد بگیرید.

موضوع:مقدمه ای بر مفاهیم پایه در ریاضیات

درس: برابری و نابرابری

در این درس به معرفی مفاهیم ریاضی می پردازیم: "برابری"و "نابرابری".

سعی کنید به این سوال پاسخ دهید:

روی دیوار وان هایی وجود دارد،

هر کدام دقیقاً حاوی یک قورباغه است.

اگر پنج وان وجود داشت،

چند قورباغه در آنها وجود دارد؟ (عکس. 1)

برنج. 1

شعر می گوید 5 وان بود، هر وان 1 قورباغه داشت، هیچ کس بدون جفت نماند، یعنی تعداد قورباغه ها برابر است با تعداد وان.

بیایید وان ها را با حرف K و قورباغه ها را با حرف L نشان دهیم.

بیایید تساوی را بنویسیم: K = L. (شکل 2)

برنج. 2

تعداد دو گروه از شکل ها را با هم مقایسه کنید. شکل های زیادی وجود دارد، آنها در اندازه های مختلف هستند، بدون ترتیب چیده شده اند. (شکل 3)

برنج. 3

بیایید از این شکل ها جفت بسازیم. بیایید هر مربع را به یک مثلث وصل کنیم. (شکل 4)

برنج. 4

دو مربع بدون جفت ماندند. این بدان معنی است که تعداد مربع ها با تعداد مثلث ها برابر نیست. مربع ها را با حرف K و مثلث ها را با حرف T نشان می دهیم.

بیایید نابرابری را بنویسیم: K ≠ T. (شکل 5)

برنج. 5

نتیجه: می توانید با جفت سازی تعداد عناصر را در دو گروه مقایسه کنید. اگر همه عناصر دارای جفت کافی باشند، اعداد مربوطه برابر، در این حالت آن را بین اعداد یا حروف قرار می دهیم =. این مدخل نام دارد برابری. (شکل 6)

برنج. 6

اگر جفت به اندازه کافی وجود ندارد، یعنی موارد اضافی باقی مانده است، پس این اعداد نا برابر. بین اعداد یا حروف قرار دهید علامت نابرابر. این مدخل نام دارد نابرابری.(شکل 7)

برنج. 7

عناصر باقی مانده بدون جفت نشان می دهد که کدام یک از این دو عدد بزرگتر است و به چه میزان. (شکل 8)

برنج. 8

روش مقایسه گروهی از چهره ها با استفاده از جفت شدن همیشه راحت نیست و زمان زیادی می برد. می توانید اعداد را با استفاده از پرتو اعداد مقایسه کنید. (شکل 9)

برنج. 9

این اعداد را با استفاده از یک خط اعداد مقایسه کنید و یک علامت مقایسه قرار دهید.

باید اعداد 2 و 5 را با هم مقایسه کنیم. بیایید به پرتو عدد نگاه کنیم. عدد 2 از عدد 5 به 0 نزدیکتر است یا می گویند عدد 2 روی خط اعداد بیشتر از عدد 5 در سمت چپ است. این به این معنی است که 2 برابر با 5 نیست. این یک نابرابری است.

علامت "≠" (نه برابر) فقط نابرابری اعداد را ثابت می کند، اما نشان نمی دهد که کدام یک از آنها بزرگتر و کدام کمتر است.

از دو عدد روی خط اعداد، عدد کوچکتر در سمت چپ و عدد بزرگتر در سمت راست قرار دارد. (شکل 10)

برنج. 10

این نابرابری را می توان با استفاده متفاوت نوشت علامت کمتر"< » یا بزرگتر از علامت ">" :

در خط اعداد، عدد 7 در سمت راست بیشتر از عدد 4 است، بنابراین:

7 ≠ 4 و 7 > 4

اعداد 9 و 9 مساوی هستند، بنابراین علامت = را قرار می دهیم، این یک تساوی است:

تعداد نقاط و عدد را با هم مقایسه کنید و علامت مناسب را قرار دهید. (شکل 11)

برنج. یازده

در تصویر اول باید علامت = یا ≠ را قرار دهیم.

دو نقطه و عدد 2 را با هم مقایسه کنید و بین آنها علامت = قرار دهید. این برابری است.

یک نقطه و عدد 3 را با هم مقایسه می کنیم، روی خط اعداد عدد 1 در سمت چپ از عدد 3 قرار دارد، علامت ≠ را قرار می دهیم.

چهار نقطه و 4 را با هم مقایسه می کنیم. بین آنها علامت = می گذاریم. این برابری است.

سه نقطه و عدد 4 را با هم مقایسه می کنیم. سه نقطه عدد 3 است. روی خط عددی که سمت چپ است، علامت ≠ را می گذاریم. این نابرابری است. (شکل 12)

برنج. 12

در شکل دوم باید علامت های = را بین نقاط و اعداد قرار دهید.<, >.

بیایید پنج نقطه و عدد 5 را با هم مقایسه کنیم. بین آنها علامت = قرار می دهیم. این برابری است.

بیایید سه نقطه و عدد 3 را با هم مقایسه کنیم. در اینجا می توانید علامت = را نیز قرار دهید.

بیایید پنج نقطه و عدد 6 را با هم مقایسه کنیم. روی خط اعداد، عدد 5 در سمت چپ از عدد 6 است. علامت می گذاریم.<. Это неравенство.

بیایید دو نقطه و یک را با هم مقایسه کنیم، عدد 2 در سمت راست خط اعداد بیشتر از عدد 1 است. علامت > را قرار می دهیم. این نابرابری است. (شکل 13)

برنج. 13

عددی را در کادر وارد کنید تا برابری و نابرابری حاصل درست شود.

این نابرابری است. بیایید به خط اعداد نگاه کنیم. از آنجایی که به دنبال عددی کوچکتر از عدد 7 هستیم، پس باید در سمت چپ عدد 7 در خط اعداد باشد. (شکل 14)

برنج. 14

می توانید چندین عدد را در پنجره وارد کنید. اعداد 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6 در اینجا مناسب هستند. هر کدام از آنها را می توان در پنجره جایگزین کرد و چندین نابرابری واقعی دریافت خواهید کرد. به عنوان مثال، 5< 7 или 2 < 7

در خط اعداد اعدادی را خواهیم یافت که کمتر از 5 باشند. (شکل 15)

برنج. 15

این اعداد 4، 3، 2، 1، 0 هستند. بنابراین، هر یک از این اعداد را می توان در پنجره جایگزین کرد، چندین نامعادله واقعی دریافت خواهیم کرد. برای مثال 5 > 4، 5 > 3

فقط یک عدد 8 را می توان جایگزین کرد.

در این درس با مفاهیم ریاضی "برابری" و "نابرابری" آشنا شدیم، نحوه صحیح قرار دادن علائم مقایسه را یاد گرفتیم، مقایسه گروه های ارقام با استفاده از جفت شدن و مقایسه اعداد با استفاده از یک خط اعداد را تمرین کردیم که به مطالعه بیشتر کمک می کند. از ریاضیات

کتابشناسی - فهرست کتب

1. الکساندروا L.A., Mordkovich A.G. ریاضی پایه اول. - M: Mnemosyne، 2012.
2. باشماکوف M.I.، Nefedova M.G. ریاضیات. 1 کلاس. - M: Astrel، 2012.
3. Bedenko M.V. ریاضیات. 1 کلاس. - M7: ورد روسی، 2012.

1. Game.pro().
2. Slideshare.net().
3. Iqsha.ru ().

مشق شب

1. چه علائم مقایسه ای را می شناسید، در چه مواردی از آنها استفاده می شود؟ علائم مقایسه اعداد را بنویسید.

2. تعداد اشیاء را در تصویر مقایسه کنید و علامت "<», «>" یا "=".

3. اعداد را با علامت " مقایسه کنید<», «>" یا "=".