فرمول های یافتن میانه محاسبه آنلاین مساحت مثلث
میانه یک مثلث- این قطعه ای است که راس یک مثلث را به وسط ضلع مقابل این مثلث متصل می کند.
ویژگی های وسط مثلث
1. میانه یک مثلث را به دو مثلث با مساحت مساوی تقسیم می کند.
2. وسط مثلث در یک نقطه قطع می شود که هر یک از آنها را به نسبت 2:1 با شمارش از راس تقسیم می کند. این نقطه را مرکز ثقل مثلث (مرکز) می نامند.
3. کل مثلث با وسط خود به شش مثلث مساوی تقسیم می شود.
طول میانه کشیده شده به پهلو: (با ساختن متوازی الاضلاع و استفاده از تساوی در متوازی الاضلاع دو برابر مجموع مربعات اضلاع و مجموع مربعات قطرهای )
T1.سه وسط یک مثلث در یک نقطه M همدیگر را قطع می کنند که هر یک از آنها را به نسبت 2:1 تقسیم می کند و از رئوس مثلث می شمرد. داده شده: ∆ ABC، SS 1، AA 1، BB 1 - میانه
∆ABC. ثابت کنید: و
D-vo: فرض کنید M نقطه تقاطع میانه های CC 1، AA 1 مثلث ABC باشد. بیایید A 2 - وسط قطعه AM و C 2 - وسط قطعه CM را علامت گذاری کنیم. سپس A 2 C 2 خط وسط مثلث است AMS.به معنای، A 2 C 2|| AC
و A 2 C 2 = 0.5 * AC. با 1 آ 1 - خط وسط مثلث ABC. بنابراین A 1 با 1 || AC و A 1 با 1 = 0.5 * AC.
چهار گوش A 2 C 1 A 1 C 2- متوازی الاضلاع، زیرا اضلاع مقابل آن A هستند 1 با 1 و A 2 C 2برابر و موازی از این رو، A 2 M = MA 1 و C 2 M = MC 1 . این به این معنی است که نقاط الف 2و ممیانه را تقسیم کنید AA 2به سه قسمت مساوی، یعنی AM = 2MA 2. همان CM = 2MC 1 . بنابراین، نقطه M از تقاطع دو میانه AA 2و CC 2مثلث ABC هر یک از آنها را به نسبت 2:1 تقسیم می کند و از رئوس مثلث شمارش می کند. به روشی کاملاً مشابه ثابت شده است که نقطه تقاطع میانه های AA 1 و BB 1 هر یک از آنها را به نسبت 2: 1 تقسیم می کند و از رئوس مثلث شمارش می کند.
در میانه AA 1 چنین نقطه ای نقطه M است، بنابراین نقطه است مو نقطه تقاطع میانه های AA 1 و BB 1 وجود دارد.
بدین ترتیب، n
T2.ثابت کنید که پاره هایی که مرکز را به رئوس مثلث متصل می کنند، آن را به سه قسمت مساوی تقسیم می کنند. داده شده: ∆ABC، 
- میانه آن
ثابت كردن: S AMB =S BMC =S AMC .اثبات که در،آنها یک نقطه مشترک دارند. 
زیرا پایه های آنها برابر است 
و ارتفاع رسم شده از راس م،آنها یک نقطه مشترک دارند سپس
به طریق مشابه ثابت می شود که S AMB = S AMC.بدین ترتیب، S AMB = S AMC = S CMB.n
نیمساز مثلث قضایای مربوط به نیمسازهای مثلث. فرمول های یافتن نیمسازها
نیمساز زاویه- پرتوی با شروع در راس یک زاویه که زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم می کند.
نیمساز یک زاویه، جایگاه نقاطی است که در داخل زاویه از اضلاع زاویه فاصله دارند.
خواص
1. قضیه نیمساز: نیمساز یک زاویه داخلی مثلث ضلع مقابل را به نسبتی برابر با نسبت دو ضلع مجاور تقسیم می کند.
2. نیمسازهای زوایای داخلی یک مثلث در یک نقطه - مرکز - مرکز دایره محاط شده در این مثلث قطع می شوند.
3. اگر دو نیمساز در یک مثلث مساوی باشند، آن مثلث متساوی الساقین است (قضیه اشتاینر-لموس).
محاسبه طول نیمساز
l c - طول نیمساز کشیده شده به سمت c،
a،b،c - اضلاع مثلث مقابل رئوس A،B،C، به ترتیب،
p نیم محیط مثلث است،
a l , b l - طول قطعاتی که نیمساز l c ضلع c را به آنها تقسیم می کند،
α، β، γ - زوایای داخلی مثلث در رئوس A,B,Cبه ترتیب،
h c ارتفاع مثلث است که به ضلع c پایین آمده است.
روش مساحت.
ویژگی های روش.همانطور که از نام آن پیداست، هدف اصلی این روش مساحت است. برای تعدادی از شکل ها، به عنوان مثال برای یک مثلث، مساحت به سادگی از طریق ترکیب های مختلف عناصر شکل (مثلث) بیان می شود. بنابراین، یک تکنیک بسیار موثر زمانی است که عبارات مختلف برای مساحت یک شکل معین مقایسه شوند. در این حالت معادله ای حاوی عناصر معلوم و مورد نظر شکل به وجود می آید که با حل آن مجهول را مشخص می کنیم. اینجاست که ویژگی اصلی روش مساحت خود را نشان می دهد - یک مسئله جبری را از یک مسئله هندسی "می سازد" و همه چیز را به حل یک معادله (و گاهی اوقات یک سیستم معادلات) تقلیل می دهد.
1) روش مقایسه: همراه با تعداد زیادی فرمول S از همان شکل ها
2) روش رابطه S: بر اساس مشکلات پشتیبانی ردیابی:
قضیه سیوا
بگذارید نقاط A، B، C" روی خطوط BC، CA، AB مثلث قرار بگیرند. خطوط AA، BB، CC" در یک نقطه قطع می شوند اگر و فقط اگر 
اثبات
اجازه دهید ما را با نقطه تقاطع بخش ها و . اجازه دهید عمودها را از نقاط C و A روی خط BB 1 پایین بیاوریم تا زمانی که به ترتیب در نقاط K و L با آن تلاقی کنند (شکل را ببینید).
از آنجایی که مثلث ها یک ضلع مشترک دارند، مساحت آنها به عنوان ارتفاعات کشیده شده به این ضلع مرتبط است، یعنی. AL و CK:
آخرین تساوی درست است، زیرا مثلث های قائم الزاویه و از نظر زاویه حاد مشابه هستند.
به همین ترتیب ما دریافت می کنیم 
و 
بیایید این سه برابر را ضرب کنیم:
Q.E.D.
اظهار نظر. پاره ای (یا ادامه قطعه) که راس مثلث را به نقطه ای که در ضلع مقابل قرار دارد یا ادامه آن را به هم متصل می کند، سیویانا نامیده می شود.
قضیه (معکوس قضیه سیوا). بگذارید نقاط A، B، C به ترتیب در اضلاع BC، CA و AB مثلث ABC قرار بگیرند. 
سپس بخش های AA،BB،CC" در یک نقطه قطع می شوند.
قضیه منلائوس
قضیه منلائوس. بگذارید یک خط مثلث ABC را قطع کند که C 1 نقطه تقاطع آن با ضلع AB، A 1 نقطه تقاطع آن با ضلع BC و B 1 نقطه تقاطع آن با امتداد ضلع AC باشد. سپس
اثبات
. اجازه دهید از نقطه C خطی موازی با AB رسم کنیم. اجازه دهید نقطه تقاطع آن را با خط B 1 C 1 با K نشان دهیم.
مثلث های AC 1 B 1 و CKB 1 مشابه هستند (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1، ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). از این رو، 
مثلث های BC 1 A 1 و CKA 1 نیز مشابه هستند (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C، ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). به معنای،
از هر برابری CK را بیان می کنیم:
جایی که 
Q.E.D.
قضیه (قضیه معکوس منلائوس).اجازه دهید مثلث ABC داده شود. نقطه C 1 در ضلع AB، نقطه A 1 در ضلع BC و نقطه B 1 در ادامه ضلع AC قرار داشته باشد و رابطه زیر برقرار باشد:
سپس نقاط A 1، B 1 و C 1 روی یک خط قرار می گیرند.
برای یافتن میانه با استفاده از اضلاع یک مثلث، نیازی به یادآوری فرمول اضافی ندارید. کافی است الگوریتم حل را بدانید.
ابتدا بیایید به صورت کلی به مشکل نگاه کنیم.
مثلثی با اضلاع a,b,c داده می شود. طول میانه رسم شده به سمت b را پیدا کنید.
AB=a، AC=b، BC=c.
در پرتو BF قطعه FD، FD=BF را رسم می کنیم.
بیایید نقطه D را به نقاط A و C متصل کنیم.
ABCD چهار ضلعی متوازی الاضلاع است (با ویژگی)، زیرا مورب های آن در نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.
خاصیت قطرهای متوازی الاضلاع: مجموع مربعات مورب متوازی الاضلاع برابر با مجموع مربعات اضلاع آن است.
از این رو: AC²+BD²=2(AB²+BC²)، که به معنای b²+BD²=2(a²+c²)،
BD²=2(a²+c²) -b². از نظر ساخت، BF نیمی از BD است، بنابراین
این فرمول برای یافتن میانه یک مثلث بر اساس اضلاع آن است. معمولاً اینگونه نوشته می شود:
بیایید به بررسی یک کار خاص بپردازیم.
اضلاع مثلث 13 سانتی متر، 14 سانتی متر و 15 سانتی متر است. میانه مثلث رسم شده به ضلع متوسط آن را پیدا کنید.
با اعمال استدلال مشابه، دریافت می کنیم:
AC²+BD²=2(AB²+BC²).
14²+BD²=2(13²+15²)
حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.
جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی
اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.
ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.
در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.
چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:
- هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.
نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:
- اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
- هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
- ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
- اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.
افشای اطلاعات به اشخاص ثالث
ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.
استثناها:
- در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
- در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.
حفاظت از اطلاعات شخصی
ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.
احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت
برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.
میانه قطعه ای است که از راس مثلث به وسط ضلع مقابل کشیده می شود، یعنی در نقطه تلاقی آن را به دو نیم تقسیم می کند. به نقطه ای که میانه ضلع مقابل رأسی را که از آن خارج می شود قطع می کند، قاعده نامیده می شود. هر وسط مثلث از یک نقطه عبور می کند که به آن نقطه تقاطع می گویند. فرمول طول آن را می توان به روش های مختلفی بیان کرد.
فرمول های بیان طول میانه
- اغلب در مسائل هندسه، دانش‌آموزان باید با قسمتی مانند میانه یک مثلث سر و کار داشته باشند. فرمول طول آن بر حسب اضلاع بیان می شود:
که در آن a، b و c اضلاع هستند. علاوه بر این، c سمتی است که میانه روی آن می افتد. ساده ترین فرمول اینگونه به نظر می رسد. میانه های یک مثلث گاهی اوقات برای محاسبات کمکی مورد نیاز است. فرمول های دیگری نیز وجود دارد.
- اگر در حین محاسبه دو ضلع یک مثلث و یک زاویه مشخص α واقع بین آنها مشخص باشد، طول وسط مثلث که به ضلع سوم کاهش یافته است، به صورت زیر بیان می شود.
خواص اساسی
- همه میانه ها یک نقطه مشترک O دارند و اگر از راس حساب شوند به نسبت دو به یک تقسیم می شوند. این نقطه را مرکز ثقل مثلث می نامند.
- میانه مثلث را به دو مثلث دیگر که مساحت آنها مساوی است تقسیم می کند. به چنین مثلث هایی مساحت مساحت می گویند.
- اگر تمام میانه ها را رسم کنید، مثلث به 6 شکل مساوی تقسیم می شود که آنها نیز مثلث خواهند بود.
- اگر هر سه ضلع مثلث مساوی باشند، هر یک از وسط ها نیز یک ارتفاع و نیمساز خواهد بود، یعنی عمود بر ضلعی که به آن کشیده شده است، و زاویه ای را که از آن بیرون آمده را نصف می کند.
- در یک مثلث متساوی الساقین، میانه رسم شده از راس که در مقابل ضلعی که با هیچ ضلعی برابری نمی کند نیز ارتفاع و نیمساز خواهد بود. میانه های کاهش یافته از رئوس دیگر برابر هستند. این نیز شرط لازم و کافی برای متساوی الساقین است.
- اگر یک مثلث قاعده یک هرم منتظم باشد، آنگاه ارتفاع کاهش یافته به این قاعده تا نقطه تلاقی همه میانه ها پیش بینی می شود.
- در مثلث قائم الزاویه، وسط کشیده شده به بلندترین ضلع برابر با نصف طول آن است.
- O نقطه تقاطع وسط مثلث باشد. فرمول زیر برای هر نقطه M صادق خواهد بود.
- وسط مثلث خاصیت دیگری دارد. فرمول مربع طول آن از طریق مربع اضلاع در زیر ارائه شده است.
خواص اضلاع که میانه به آنها کشیده شده است
- اگر هر دو نقطه تقاطع وسط ها را با اضلاعی که روی آنها افتاده است وصل کنید، قطعه حاصل خط وسط مثلث و نصف ضلع مثلثی خواهد بود که با آن نقاط مشترکی ندارد.
- قاعده ارتفاعات و میانه های یک مثلث و همچنین نقاط وسط قطعاتی که رئوس مثلث را به نقطه تلاقی ارتفاعات متصل می کنند، روی یک دایره قرار دارند.
در خاتمه، منطقی است که بگوییم یکی از مهم ترین بخش ها، میانه مثلث است. از فرمول آن می توان برای یافتن طول اضلاع دیگر آن استفاده کرد.
خواص
- وسط یک مثلث در یک نقطه که مرکز نامیده می شود قطع می شود و با این نقطه به دو قسمت به نسبت 2:1 با شمارش از راس تقسیم می شود.
- یک مثلث با سه وسط به شش مثلث مساوی تقسیم می شود.
- ضلع بزرگتر مثلث با میانه کوچکتر مطابقت دارد.
- از بردارهایی که میانه ها را تشکیل می دهند، می توان یک مثلث تشکیل داد.
- تحت تبدیل های وابسته، میانه به میانه تبدیل می شود.
- میانه یک مثلث آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.
فرمول ها
- فرمول میانه بر حسب اضلاع (به دست آمده از قضیه استوارت یا با بسط به متوازی الاضلاع و با استفاده از تساوی در متوازی الاضلاع مجموع مربعات اضلاع و مجموع مربعات مورب ها):
- فرمول جانبی از طریق میانه:
اگر دو وسط عمود بر هم باشند، مجموع مربعات اضلاع حذف شده 5 برابر مربع ضلع سوم است.
قانون یادگاری
میمون متوسط،
که چشم تیزبین دارد
درست به وسط خواهد پرید
دو طرف مقابل بالا،
الان کجاست
یادداشت
همچنین ببینید
پیوندها
بنیاد ویکی مدیا 2010.
ببینید «میانگین مثلث» در فرهنگ‌های دیگر چیست:
میانه: میانه مثلث در پلان سنجی، قطعه ای که راس مثلث را با وسط ضلع مقابل در آمار وصل می کند، میانه مقدار جامعه ای است که سری داده های رتبه بندی شده را به نصف میانه تقسیم می کند (آمار) ... . .. ویکیپدیا
میانه: میانه مثلث در پلان سنجی، پاره ای که راس مثلث را به وسط ضلع مقابل وصل می کند میانه (آمار) 0.5 چندک میانه (ردیابی) خط وسط ردی که بین راست و چپ کشیده شده است ... ویکی پدیا
مثلث و وسط آن میانه مثلث پاره ای است در داخل مثلث که راس مثلث را به وسط ضلع مقابل و نیز خط مستقیمی که این قطعه را در بر می گیرد، متصل می کند. مطالب 1 خواص 2 فرمول ... ویکی پدیا
خطی که راس یک مثلث را به وسط قاعده آن متصل می کند. فرهنگ لغت کاملی از کلمات خارجی که در زبان روسی مورد استفاده قرار گرفته اند. Popov M., 1907. میانه (lat. mediana میانگین) 1) geol. پاره ای که راس یک مثلث را با... ... فرهنگ لغت کلمات خارجی زبان روسی
میانه (از میانگین لاتین mediana) در هندسه، قطعه ای که یکی از رئوس مثلث را به وسط ضلع مقابل متصل می کند. سه مثلث M. در یک نقطه متقاطع می شوند که گاهی به آن "مرکز ثقل" مثلث می گویند، بنابراین ... دایره المعارف بزرگ شوروی
خط مستقیم مثلث (یا قطعه آن در داخل مثلث) که راس مثلث را به وسط ضلع مقابل متصل می کند. سه مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند که به آن مرکز ثقل مثلث، مرکز یا... ... می گویند. دایره المعارف ریاضی
- (از لاتین mediana وسط) قطعه ای که راس مثلث را به وسط ضلع مقابل متصل می کند ... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ
MEDIAN، میانه، زنان. (لاتین mediana، روشن وسط). 1. خط مستقیمی که از رأس مثلث به وسط ضلع مقابل کشیده شده است (حصیر). 2. در آمار، برای یک سری از داده های متعدد، کمیتی که دارای این خاصیت است که تعداد داده ها،... ... فرهنگ لغتاوشاکووا
MEDIAN، s، زن. در ریاضیات: یک پاره خط مستقیم که راس یک مثلث را به وسط ضلع مقابل متصل می کند. فرهنگ لغت توضیحی اوژگوف. S.I. اوژگوف، ن.یو. شودووا. 1949 1992 … فرهنگ توضیحی اوژگوف
MEDIAN (از لاتین mediana middle)، قطعه ای که راس مثلث را به وسط ضلع مقابل متصل می کند... فرهنگ لغت دایره المعارفی
