سیستم های کنترل اتوماتیک بهینه کنترل فرآیند بهینه (سخنرانی) ماموریت و هدف مدیریت سیستم های تولید

برای طراحی یک سیستم کنترل خودکار بهینه، اطلاعات کاملی در مورد آپ امپ، تاثیرات مزاحم و اصلی و حالت های اولیه و نهایی آپ امپ مورد نیاز است. در مرحله بعد، باید یک معیار بهینه را انتخاب کنید. یکی از شاخص های کیفیت سیستم می تواند به عنوان چنین معیاری مورد استفاده قرار گیرد. با این حال، الزامات برای شاخص های کیفیت فردی معمولا متناقض هستند (به عنوان مثال، افزایش دقت سیستم با کاهش حاشیه پایداری حاصل می شود). علاوه بر این، یک سیستم بهینه باید حداقل خطای ممکن را نه تنها در هنگام اجرای یک عمل کنترلی خاص، بلکه در کل زمان کارکرد سیستم داشته باشد. همچنین باید در نظر گرفت که راه حل مسئله کنترل بهینه نه تنها به ساختار سیستم، بلکه به پارامترهای عناصر تشکیل دهنده آن نیز بستگی دارد.

دستیابی به عملکرد بهینه ACS تا حد زیادی با نحوه کنترل در طول زمان، برنامه چیست یا الگوریتم کنترلدر این راستا، برای ارزیابی بهینه بودن سیستم ها، از معیارهای انتگرالی استفاده می شود که به عنوان مجموع مقادیر پارامتر کیفیت سیستم مورد علاقه طراحان برای کل زمان فرآیند کنترل محاسبه می شود.

بسته به معیار بهینه پذیری، انواع سیستم های بهینه زیر در نظر گرفته می شود.

1. سیستم های, بهینه برای عملکردکه حداقل زمان را برای انتقال آپ امپ از یک حالت به حالت دیگر فراهم می کند. در این حالت، معیار بهینه به نظر می رسد:

که در آن / n و / k لحظات شروع و پایان فرآیند کنترل هستند.

در چنین سیستم هایی، مدت زمان فرآیند کنترل حداقل است. ساده ترین مثال یک سیستم کنترل موتور است که با در نظر گرفتن تمام محدودیت های موجود، حداقل زمان را برای شتاب تا یک سرعت معین فراهم می کند.

2. سیستم های, بهینه از نظر مصرف منابع، که حداقل معیار را تضمین می کند

جایی که به- ضریب تناسب؛ U(t)- عمل کنترل

چنین سیستم مدیریت موتور، برای مثال، حداقل مصرف سوخت را در کل دوره کنترل تضمین می کند.

3. سیستم های, بهینه از نظر تلفات کنترلی(یا دقت)، که حداقل خطاهای کنترلی را بر اساس معیاری که e(f) خطای دینامیکی است، ارائه می دهد.

در اصل، مشکل طراحی یک سیستم کنترل خودکار بهینه را می توان با ساده ترین روش برشمردن همه گزینه های ممکن حل کرد. البته این روش نیاز به زمان زیادی دارد، اما کامپیوترهای مدرن در برخی موارد امکان استفاده از آن را فراهم می کنند. برای حل مسائل بهینه سازی، روش های خاصی از حساب تغییرات توسعه یافته است (روش حداکثر، روش برنامه نویسی پویا و غیره) که امکان در نظر گرفتن تمام محدودیت های سیستم های واقعی را فراهم می کند.

به عنوان مثال، اجازه دهید کنترل سرعت بهینه یک موتور الکتریکی DC را در نظر بگیریم اگر ولتاژ ارائه شده به آن توسط مقدار حدی (/lr) محدود شود، و خود موتور را می توان به عنوان یک پیوند ناپیوسته مرتبه 2 نشان داد (شکل 13.9، آ).

روش حداکثر به شما امکان می دهد قانون تغییر را محاسبه کنید u(d)اطمینان از حداقل زمان برای شتاب موتور تا سرعت چرخش (شکل 13.9، ب).فرآیند کنترل این موتور باید شامل دو بازه باشد که در هر بازه ولتاژ u(t)حداکثر مقدار مجاز خود را می گیرد (در بازه 0 - /،: u(t)= +؟/ سابق، در بازه /| - / 2: u(t)= -?/ pr)* برای اطمینان از چنین کنترلی، یک عنصر رله باید در سیستم گنجانده شود.

مانند سیستم های معمولی، سیستم های بهینه حلقه باز، حلقه بسته و ترکیبی هستند. اگر کنترل بهینه ای که آپ امپ را از حالت اولیه به حالت نهایی منتقل می کند و مستقل یا ضعیف به تأثیرات مزاحم وابسته است را می توان به عنوان تابعی از زمان تعیین کرد. U= (/(/)، سپس می سازیم سیستم حلقه بازکنترل برنامه (شکل 13.10، آ).

برنامه بهینه P، طراحی شده برای دستیابی به حداکثر معیار بهینگی پذیرفته شده، در دستگاه نرم افزار PU تعبیه شده است. بر اساس این طرح، مدیریت انجام می شود

برنج. 13.9.

آ- با یک دستگاه کنترل مشترک؛ ب -دارای کنترلر دو سطحی

دستگاه

برنج. 13.10. طرح های سیستم های بهینه: آ- باز کن؛ ب- ترکیب شده

استفاده از ماشین های کنترل شده عددی و روبات های ساده، پرتاب موشک به مدار و غیره.

پیشرفته ترین، اگرچه پیچیده ترین، هستند سیستم های بهینه ترکیبی(شکل 13.10، ب).در چنین سیستم هایی، یک حلقه باز کنترل بهینه را طبق یک برنامه مشخص انجام می دهد و یک حلقه بسته که برای به حداقل رساندن خطاها بهینه شده است، انحراف پارامترهای خروجی را پردازش می کند. با استفاده از طناب اندازه گیری اغتشاش /*، سیستم با توجه به کل مجموعه تأثیرات رانندگی و مزاحم ثابت می شود.

برای پیاده سازی چنین سیستم کنترل کاملی، لازم است که تمام تأثیرات مزاحم را به طور دقیق و سریع اندازه گیری کرد. با این حال، این امکان همیشه در دسترس نیست. اغلب، تنها داده های آماری متوسط ​​در مورد تأثیرات مزاحم شناخته شده است. در بسیاری از موارد به خصوص در سیستم های کنترل از راه دور، حتی نیروی محرکه نیز همراه با نویز وارد سیستم می شود. و از آنجایی که تداخل، به طور کلی، یک فرآیند تصادفی است، تنها امکان سنتز وجود دارد سیستم بهینه آماریچنین سیستمی برای آن بهینه نخواهد بود هر یکاجرای خاص فرآیند کنترل، اما به طور متوسط ​​برای کل مجموعه اجرای آن بهترین خواهد بود.

برای سیستم های آماری بهینه، برآوردهای احتمالی متوسط ​​به عنوان معیار بهینه استفاده می شود. به عنوان مثال، برای یک سیستم ردیابی بهینه شده برای حداقل خطا، انتظار ریاضی انحراف مجذور اثر خروجی از مقدار مشخص شده به عنوان یک معیار آماری برای بهینه بودن استفاده می‌شود. واریانس:

معیارهای احتمالی دیگری نیز استفاده می شود. به عنوان مثال، در یک سیستم تشخیص هدف، که تنها وجود یا عدم وجود یک هدف مهم است، از احتمال تصمیم گیری اشتباه به عنوان معیار بهینه استفاده می شود. روش:

جایی که R p ts احتمال از دست دادن هدف است. R LO- احتمال تشخیص نادرست

در بسیاری از موارد، سیستم های کنترل خودکار بهینه محاسبه شده به دلیل پیچیدگی عملاً غیرممکن است. به عنوان یک قاعده، به دست آوردن مقادیر دقیق مشتقات مرتبه بالا از تأثیرات ورودی، که از نظر فنی بسیار دشوار است، مورد نیاز است. اغلب، حتی یک سنتز نظری دقیق یک سیستم بهینه غیرممکن می شود. با این حال، روش‌های طراحی بهینه ساخت سیستم‌های شبه بهینه را امکان‌پذیر می‌سازد، اگرچه به یک درجه ساده شده است، اما همچنان به فرد اجازه می‌دهد به مقادیری از معیارهای بهینه پذیرفته شده دست یابد که نزدیک به حداکثر هستند.

کنترل فرآیند بهینه (سخنرانی)

طرح سخنرانی

1. مفاهیم اساسی یافتن حد فاصل یک تابع

2. طبقه بندی روش های کنترل بهینه

1. مفاهیم اساسی یافتن حد فاصل یک تابع

هر فرمول ریاضی یک مسئله بهینه اغلب مساوی یا معادل مسئله یافتن حد فاصل تابعی از یک یا چند متغیر مستقل است. بنابراین برای حل چنین مسائل بهینه ای می توان از روش های مختلفی برای جستجوی اکستریم استفاده کرد.

به طور کلی مسئله بهینه سازی به صورت زیر فرموله می شود:

Extr تابع R (x) را پیدا کنید، جایی که XX

R (x) - تابع هدف یا تابع یا معیار بهینه سازی یا تابع بهینه شده نامیده می شود

X یک متغیر مستقل است.

همانطور که مشخص است، شرایط لازم برای وجود یک تابع پیوسته R (x) را می توان از تجزیه و تحلیل اولین مشتق به دست آورد. در این حالت، تابع R (x) می‌تواند مقادیر افراطی برای چنین مقادیری از متغیر مستقل X داشته باشد، که در آن مشتق اول برابر با 0 است. =0. از نظر گرافیکی، اگر مشتق صفر باشد، به این معنی است که مماس منحنی R(x) در این نقطه موازی با آبسیسا است.

تساوی مشتق = 0 شرط لازم برای یک افراط است.

با این حال، برابری مشتق به صفر به این معنی نیست که در این نقطه یک افراط وجود دارد. برای اینکه در نهایت مطمئن شویم که در این مرحله واقعاً افراطی وجود دارد، لازم است تحقیقات تکمیلی انجام شود که شامل روش های زیر است:

1. روش مقایسه مقادیر تابع

مقدار تابع R (x) در نقطه افراطی "مشکوک" X K با دو مقدار همسایه تابع R (x) در نقاط X K-ε و X K+ε مقایسه می شود، جایی که ε یک کوچک است. ارزش مثبت (شکل 2)

اگر هر دو مقدار محاسبه شده R (X K+ε) و R (X K-ε) کمتر یا بیشتر از R (X K) باشند، در نقطه X K حداکثر یا حداقل تابع R وجود دارد. (ایکس).

اگر R (X K) یک مقدار میانی بین R (X K-ε) و R (X K+ε) داشته باشد، تابع R (x) نه حداکثر و نه حداقل دارد.

2. روش مقایسه علائم مشتقات

اجازه دهید دوباره تابع R (X K) را در مجاورت نقطه X K در نظر بگیریم، یعنی. X K+ε و X K-ε. با این روش علامت مشتق در مجاورت نقطه X K در نظر گرفته می شود، اگر نشانه های مشتق در نقاط X K-ε و X K + ε متفاوت باشد، در نقطه X K یک اکسترموم وجود دارد. در این حالت، با تغییر علامت مشتق هنگام حرکت از نقطه X K-ε به نقطه X K+ε، می توان نوع اکسترموم (min یا max) را یافت.

اگر علامت از "+" به "-" تغییر کند، در نقطه X K یک ماکزیمم وجود دارد (شکل 3b)، اگر برعکس از "-" به "+"، آنگاه یک حداقل وجود دارد. (شکل 3a)

3. روشی برای مطالعه نشانه های مشتقات بالاتر.

این روش در مواردی استفاده می شود که در نقطه "مشکوک" در انتهایی مشتقاتی از مرتبه های بالاتر وجود دارد، یعنی. تابع R (X K) نه تنها خود پیوسته است، بلکه مشتقات پیوسته و .

روش به موارد زیر خلاصه می شود:

در نقطه X K"مظنون" تا حدی که درست است

مقدار مشتق دوم محاسبه می شود.

اگر در همان زمان ، سپس در نقطه X K حداکثر است،

اگر ، سپس در نقطه X K یک حداقل است.

هنگام حل مسائل بهینه‌سازی عملی، لازم است نه مقدار حداقل یا حداکثر تابع R (X K)، بلکه بزرگ‌ترین یا کوچک‌ترین مقدار این تابع را پیدا کنیم که به آن حد جهانی می‌گویند. (شکل 4)

در حالت کلی، مسئله بهینه‌سازی شامل یافتن حد فاصل تابع R (X)، در حضور محدودیت‌های معین در معادلات مدل ریاضی است.

اگر R (X) خطی باشد و ناحیه راه‌حل‌های امکان‌پذیر با برابری‌ها و نابرابری‌های خطی مشخص شود، در این صورت مسئله یافتن مادون‌های یک تابع به کلاس مسائل برنامه‌ریزی خطی تعلق دارد.

اغلب مجموعه X به عنوان سیستمی از توابع تعریف می شود

سپس بیان ریاضی مسئله برنامه ریزی خطی به صورت زیر است:

اگر تابع هدف R (X) یا هر یک از قیودها یک تابع خطی نباشد، وظیفه یافتن منتهی الیه تابع R (X) متعلق به کلاس مسائل برنامه ریزی غیرخطی است.

اگر هیچ محدودیتی بر روی متغیر X اعمال نشود، به چنین مشکلی مشکل مادون قید و شرط می گویند.

مثالی از یک مسئله بهینه سازی معمولی

مشکل در مورد یک جعبه با حداکثر حجم.

از این قسمت خالی، چهار مربع مساوی باید در گوشه های آن بریده شود، و شکل حاصل (شکل 5 ب) باید به گونه ای خم شود که یک جعبه بدون درب بالایی تشکیل شود (شکل 6.5 ج). در این مورد، لازم است اندازه مربع های برش را انتخاب کنید تا جعبه ای با حداکثر حجم به دست آورید.

با استفاده از این مسئله به عنوان مثال، می‌توانیم تمام عناصر تنظیم مسائل بهینه‌سازی را نشان دهیم.

برنج. 5. طرحی برای ساخت جعبه از یک صفحه مستطیلی با اندازه ثابت

تابع ارزیابی در این مشکل حجم جعبه تولید شده است. مشکل انتخاب اندازه مربع ها برای برش است. در واقع، اگر اندازه مربع های برش خیلی کوچک باشد، یک جعبه وسیع با ارتفاع کم به دست می آید، به این معنی که حجم آن کوچک خواهد بود. از طرف دیگر، اگر اندازه مربع های برش خیلی بزرگ باشد، یک جعبه باریک با ارتفاع زیاد به دست می آید، به این معنی که حجم آن نیز کم خواهد بود.

در عین حال، انتخاب اندازه مربع های برش تحت تأثیر محدودیت اندازه قطعه کار اصلی است. در واقع، اگر مربع هایی را با ضلع برابر با نصف ضلع قطعه اصلی برش دهید، کار بی معنی می شود. ضلع مربع های برش خورده نیز نمی تواند از نصف اضلاع قطعه اصلی تجاوز کند، زیرا این امر به دلایل عملی غیرممکن است. از این نتیجه می شود که فرمول این مشکل باید دارای محدودیت هایی باشد.

فرمول ریاضی مسئله جعبه حداکثر حجم. برای فرمول بندی ریاضی این مسئله، لازم است برخی از پارامترهای مشخص کننده ابعاد هندسی جعبه را در نظر گرفت. برای این منظور، فرمول اساسی مسئله را با پارامترهای مناسب تکمیل خواهیم کرد. برای این منظور، ما یک فضای خالی مربعی ساخته شده از مواد منعطف را در نظر می گیریم که دارای طول ضلع L است (شکل 6). از این قسمت خالی باید چهار مربع مساوی را با یک طرف در گوشه های آن برش دهید و شکل حاصل را خم کنید تا جعبه ای بدون پوشش بالایی بدست آورید. وظیفه این است که اندازه مربع های برش را انتخاب کنید تا نتیجه یک جعبه با حداکثر حجم باشد.

برنج. 6. ساخت نمودار از یک فضای خالی مستطیلی که ابعاد آن را نشان می دهد

برای فرمول بندی ریاضی این مسئله، باید متغیرهای مسئله بهینه سازی مربوطه را تعیین کرد، تابع هدف را تنظیم کرد و محدودیت ها را مشخص کرد. به عنوان یک متغیر، باید طول ضلع مربع برش r را در نظر بگیریم که در حالت کلی، بر اساس فرمول معنادار مسئله، مقادیر واقعی پیوسته می گیرد. تابع هدف حجم جعبه به دست آمده است. از آنجایی که طول ضلع پایه جعبه برابر است با: L - 2r و ارتفاع جعبه برابر با r است، حجم آن با فرمول: V (r) = (L -2r) به دست می آید. 2 r. بر اساس ملاحظات فیزیکی، مقادیر متغیر r نمی تواند منفی باشد و از نصف اندازه قطعه کار اصلی L بیشتر باشد، یعنی. 0.5 لیتر

برای مقادیر r = 0 و r = 0.5 L، راه حل های مربوط به مسئله جعبه بیان می شود. در واقع، در مورد اول قطعه کار بدون تغییر باقی می ماند، اما در مورد دوم به 4 قسمت یکسان بریده می شود. از آنجایی که این راه‌حل‌ها تفسیر فیزیکی دارند، می‌توان مسئله جعبه را برای راحتی فرمول‌بندی و تحلیل آن، یک بهینه‌سازی با محدودیت‌هایی مانند نابرابری‌های غیر دقیق در نظر گرفت.

به منظور یکسان سازی، متغیر را با x = r نشان می دهیم که بر ماهیت مسئله بهینه سازی در حال حل تأثیری ندارد. سپس فرمول ریاضی مسئله یک جعبه حداکثر حجم را می توان به شکل زیر نوشت:

کجا (1)

تابع هدف این مسئله غیرخطی است، بنابراین مسئله جعبه اندازه حداکثر به کلاس برنامه ریزی غیرخطی یا مسائل بهینه سازی غیرخطی تعلق دارد.

2. طبقه بندی روش های کنترل بهینه

بهینه سازی فرآیند شامل یافتن بهینه تابع مورد نظر یا شرایط بهینه برای انجام این فرآیند است.

برای ارزیابی بهینه، ابتدا باید یک معیار بهینه سازی انتخاب شود. به طور معمول، معیار بهینه سازی از شرایط خاص انتخاب می شود. این می تواند یک معیار تکنولوژیکی (به عنوان مثال، محتوای مس در سرباره تخلیه) یا یک معیار اقتصادی (حداقل هزینه یک محصول در بهره وری نیروی کار معین) و غیره باشد. بر اساس معیار بهینه سازی انتخاب شده، یک تابع هدف جمع آوری شده است که نشان دهنده وابستگی معیار بهینه سازی به پارامترهای مؤثر بر مقدار آن. مسئله بهینه سازی به یافتن حداکثر تابع هدف می رسد. بسته به ماهیت مدل های ریاضی مورد بررسی، روش های مختلف بهینه سازی ریاضی اتخاذ می شود.

فرمول کلی مسئله بهینه سازی به شرح زیر است:

1. یک معیار را انتخاب کنید

2. معادله مدل تدوین شده است

3. سیستم محدودیت اعمال می شود

4. راه حل

مدل - خطی یا غیر خطی

محدودیت های

بسته به ساختار مدل از روش های بهینه سازی مختلفی استفاده می شود. این شامل:

1. روش های بهینه سازی تحلیلی (جستجوی تحلیلی برای اکستریم، روش ضرب کننده لاگرانژ، روش های متغیر)

2. برنامه نویسی ریاضی (برنامه نویسی خطی، برنامه نویسی پویا)

3. روش های گرادیان.

4. روش های آماری (تحلیل رگرسیون)

برنامه ریزی خطی. در مسائل برنامه ریزی خطی، معیار بهینه به صورت زیر ارائه می شود:

که در آن ضرایب ثابت داده می شود. متغیرهای وظیفه

معادلات مدل معادلات خطی (چند جمله ای) فرم هستند که مشمول محدودیت هایی به شکل برابری یا نابرابری هستند، یعنی. (2)

در مسائل برنامه ریزی خطی معمولاً فرض می شود که همه متغیرهای مستقل X j غیر منفی هستند، یعنی.

راه حل بهینه برای یک مسئله برنامه ریزی خطی، مجموعه ای از مقادیر غیر منفی از متغیرهای مستقل است.

که شرایط (2) را برآورده می کند و بسته به فرمول مسئله، حداکثر یا حداقل مقدار معیار را فراهم می کند.

تفسیر هندسی این است: - معیار وجود محدودیت در متغیرهای X 1 و X 2 از نوع برابری ها و نابرابری ها

R در امتداد خط l مقدار ثابتی دارد. راه حل بهینه در نقطه S خواهد بود، زیرا در این مرحله معیار حداکثر خواهد بود یکی از روش های حل مسئله بهینه سازی برنامه ریزی خطی روش سیمپلکس است.

برنامه نویسی غیر خطی. فرمول ریاضی مسئله برنامه ریزی غیرخطی به شرح زیر است: انتها تابع هدف را بیابید. ، که شکل غیرخطی دارد.

محدودیت های مختلفی مانند برابری یا نابرابری بر روی متغیرهای مستقل اعمال می شود

در حال حاضر، تعداد نسبتا زیادی از روش ها برای حل مسائل برنامه ریزی غیرخطی استفاده می شود.

اینها عبارتند از: 1) روش های گرادیان (روش گرادیان، روش شیب دارترین فرود، روش تصویر، روش روزنبراک و غیره)

2) روش های بدون گرادیان (روش گاوس سیدل، روش اسکن).

روش های بهینه سازی گرادیان

این روش ها متعلق به روش های عددی از نوع جستجو هستند. ماهیت این روش ها تعیین مقادیر متغیرهای مستقلی است که بیشترین (کوچکترین) تغییر را در تابع هدف ایجاد می کنند. این معمولاً با حرکت در امتداد یک گرادیان متعامد به سطح کانتور در یک نقطه مشخص به دست می آید.

بیایید روش گرادیان را در نظر بگیریم. این روش از یک گرادیان تابع هدف استفاده می کند. در روش گرادیان، گام هایی در جهت سریع ترین کاهش در تابع هدف برداشته می شود.

برنج. 8. یافتن حداقل ها با استفاده از روش گرادیان

جستجوی بهینه در دو مرحله انجام می شود:

مرحله 1: - مقادیر مشتقات جزئی را برای همه متغیرهای مستقلی که جهت گرادیان را در نقطه مورد نظر تعیین می کنند، پیدا کنید.

مرحله 2: - یک گام در جهت مخالف جهت گرادیان برداشته می شود، یعنی. در جهت سریعترین کاهش در تابع هدف.

الگوریتم روش گرادیان را می توان به صورت زیر نوشت:

(3)

ماهیت حرکت به سمت بهینه با روش شیب دارترین نزول به شرح زیر است (شکل 6.9)، پس از اینکه گرادیان تابع بهینه شده در نقطه اولیه پیدا شد و در نتیجه جهت سریعترین کاهش آن در نقطه مشخص مشخص شد. گامی نزولی در این راستا برداشته می شود. اگر مقدار تابع در نتیجه این مرحله کاهش یابد، یک گام دیگر در همان جهت برداشته می شود و به همین ترتیب تا زمانی که یک حداقل در این جهت پیدا شود، پس از آن دوباره گرادیان محاسبه می شود و یک جهت جدید از سریعترین ها محاسبه می شود. کاهش تابع هدف تعیین می شود.

روش‌های بدون گرادیان برای جستجوی اکسترم. این روش‌ها، برخلاف روش‌های گرادیان، در فرآیند جستجو از اطلاعاتی استفاده می‌کنند که نه از تجزیه و تحلیل مشتقات، بلکه از ارزیابی مقایسه‌ای مقدار معیار بهینه‌سازی در نتیجه انجام مرحله بعدی به دست می‌آیند.

روش‌های بدون گرادیان برای جستجوی اکستریم عبارتند از:

1. روش نسبت طلایی

2. روش با استفاده از اعداد فیبونیوم

3. روش گاوس-سایدل (روش به دست آوردن تغییر در یک متغیر)

4. روش اسکن و غیره

به طور کلی، یک سیستم خودکار شامل یک شیء کنترلی و مجموعه ای از وسایل است که کنترل این شی را فراهم می کند. به عنوان یک قاعده، این مجموعه از دستگاه ها شامل دستگاه های اندازه گیری، دستگاه های تقویت کننده و تبدیل و همچنین محرک ها است. اگر این دستگاه ها را در یک لینک (دستگاه کنترل) ترکیب کنیم، بلوک دیاگرام سیستم به شکل زیر است:

در یک سیستم خودکار، اطلاعات مربوط به وضعیت جسم کنترلی از طریق یک دستگاه اندازه گیری به ورودی دستگاه کنترلی ارائه می شود. چنین سیستم هایی را سیستم های بازخورد یا سیستم های بسته می نامند. عدم وجود این اطلاعات در الگوریتم کنترل نشان دهنده باز بودن سیستم است. ما وضعیت شی کنترل را در هر زمان توصیف خواهیم کرد متغیرها
، که مختصات سیستم یا متغیرهای حالت نامیده می شوند. در نظر گرفتن آنها به عنوان مختصات راحت است - بردار حالت ابعادی.

دستگاه اندازه گیری اطلاعاتی در مورد وضعیت جسم ارائه می دهد. اگر بر اساس اندازه گیری برداری باشد
مقادیر همه مختصات را می توان یافت
بردار حالت
، سپس گفته می شود که سیستم کاملاً قابل مشاهده است.

دستگاه کنترل یک عمل کنترلی ایجاد می کند
. چندین اقدام کنترلی می تواند وجود داشته باشد؛ آنها شکل می گیرند - بردار کنترل ابعادی.

ورودی دستگاه کنترل یک ورودی مرجع دریافت می کند
. این اقدام ورودی اطلاعاتی در مورد وضعیت جسم باید داشته باشد. شیء کنترلی ممکن است تحت تأثیر مزاحم قرار گیرد
، که نشان دهنده یک بار یا اختلال است. اندازه گیری مختصات یک جسم معمولاً با برخی خطاها انجام می شود
، که آنها نیز تصادفی هستند.

وظیفه دستگاه کنترل توسعه چنین عمل کنترلی است
به طوری که کیفیت عملکرد سیستم اتوماتیک به عنوان یک کل بهترین باشد.

ما اشیاء کنترلی را در نظر خواهیم گرفت که قابل مدیریت هستند. به این معنا که بردار حالت را می توان بر حسب نیاز با تغییر بردار کنترل تغییر داد. فرض می کنیم که جسم کاملاً قابل مشاهده است.

به عنوان مثال، موقعیت یک هواپیما با شش مختصات حالت مشخص می شود. این
- مختصات مرکز جرم،
- زوایای اویلر، که جهت گیری هواپیما را نسبت به مرکز جرم تعیین می کند. نگرش هواپیما را می توان با استفاده از آسانسورها، هدینگ، ایلرون و بردار رانش تغییر داد. بنابراین بردار کنترل به صورت زیر تعریف می شود:

- زاویه انحراف آسانسور

- خوب

- هواکش

- کشش

بردار حالت
در این حالت به صورت زیر تعریف می شود:

شما می توانید مشکل انتخاب کنترلی را ایجاد کنید که با کمک آن هواپیما از حالت اولیه معین منتقل می شود
به حالت نهایی معین
با حداقل مصرف سوخت یا در کمترین زمان.

پیچیدگی اضافی در حل مشکلات فنی به دلیل این واقعیت است که، به عنوان یک قاعده، محدودیت های مختلفی بر عملکرد کنترل و مختصات حالت شی کنترل اعمال می شود.

محدودیت هایی در هر زاویه ای از آسانسورها، انحرافات و ایلرون ها وجود دارد:

- کشش خود محدود است.

مختصات حالت شیء کنترلی و مشتقات آنها نیز مشمول محدودیت هایی هستند که با اضافه بارهای مجاز همراه هستند.

ما اشیاء کنترلی را در نظر خواهیم گرفت که با معادله دیفرانسیل توصیف می شوند:

(1)

یا به صورت برداری:

--بردار بعدی حالت جسم

--بردار بعدی اقدامات کنترلی

- تابع سمت راست معادله (1)

به بردار کنترل
یک محدودیت اعمال می شود، فرض می کنیم که مقادیر آن متعلق به یک منطقه بسته است مقداری -فضای بعدی این بدان معنی است که عملکرد اجرایی
متعلق به منطقه در هر زمان است (
).

بنابراین، برای مثال، اگر مختصات تابع کنترل نابرابری ها را برآورده کند:

سپس منطقه است -مکعب اندازه گیری شده

اجازه دهید هر تابع پیوسته تکه ای را یک کنترل قابل قبول بنامیم
، که مقادیر آن در هر لحظه از زمان است متعلق به منطقه است و ممکن است ناپیوستگی هایی از نوع اول داشته باشند. به نظر می رسد که حتی در برخی از مسائل کنترل بهینه راه حل را می توان در کلاس کنترل پیوسته تکه ای به دست آورد. برای انتخاب کنترل
به عنوان تابعی از زمان و حالت اولیه سیستم
، که به طور منحصر به فرد حرکت شی کنترل را تعیین می کند، لازم است که سیستم معادلات (1) شرایط قضیه وجود و منحصر به فرد بودن راه حل را در منطقه برآورده کند.
. این ناحیه شامل مسیرهای احتمالی حرکت جسم و عملکردهای کنترلی ممکن است.
. اگر دامنه تغییرات متغیرها محدب باشد، برای وجود و منحصر به فرد بودن یک راه حل کافی است که تابع

. در همه آرگومان ها پیوسته بودند و مشتقات جزئی پیوسته نسبت به متغیرها داشتند

.

به عنوان معیاری که کیفیت عملکرد سیستم را مشخص می کند، عملکردی از فرم انتخاب می شود:

(2)

به عنوان یک تابع
فرض می‌کنیم که در تمام استدلال‌هایش پیوسته است و نسبت به آن مشتقات جزئی پیوسته دارد

.

تعریف و ضرورت ساخت سیستم های کنترل اتوماتیک بهینه

سیستم های کنترل اتوماتیک معمولا بر اساس الزامات برای اطمینان از شاخص های کیفیت خاص طراحی می شوند. در بسیاری از موارد افزایش لازم در دقت دینامیکی و بهبود فرآیندهای گذرا سیستم های کنترل خودکار با کمک دستگاه های اصلاحی حاصل می شود.

به ویژه فرصت‌های گسترده‌ای برای بهبود شاخص‌های کیفیت با معرفی کانال‌های جبرانی حلقه باز و اتصالات دیفرانسیل در ACS فراهم می‌شود که از یک یا آن شرایط تغییرناپذیری خطا با توجه به اصلی یا تأثیرات مزاحم ترکیب شده‌اند. با این حال، تأثیر دستگاه‌های اصلاح، کانال‌های جبران باز و اتصالات دیفرانسیل معادل بر روی شاخص‌های کیفیت ACS به سطح محدودیت سیگنال توسط عناصر غیرخطی سیستم بستگی دارد. سیگنال‌های خروجی دستگاه‌های متمایز، معمولاً کوتاه مدت و از نظر دامنه قابل توجه، به عناصر سیستم محدود می‌شوند و منجر به بهبود شاخص‌های کیفیت سیستم، به ویژه سرعت آن نمی‌شوند. بهترین نتایج در حل مشکل افزایش نشانگرهای کیفیت یک سیستم کنترل اتوماتیک در صورت وجود محدودیت سیگنال توسط به اصطلاح کنترل بهینه به دست می آید.

مشکل سنتز سیستم های بهینه به طور دقیق به تازگی فرموله شده است، زمانی که مفهوم یک معیار بهینه تعریف شد. بسته به هدف کنترل، شاخص های فنی یا اقتصادی مختلفی از فرآیند کنترل شده را می توان به عنوان معیار بهینه انتخاب کرد. در سیستم های بهینه، نه تنها افزایش جزئی در یک یا آن شاخص کیفیت فنی و اقتصادی، بلکه دستیابی به حداقل یا حداکثر مقدار ممکن آن تضمین می شود.

اگر معیار بهینه بیانگر زیان فنی و اقتصادی (خطاهای سیستم، زمان فرآیند انتقال، مصرف انرژی، بودجه، هزینه و غیره) باشد، کنترل بهینه همان کنترلی خواهد بود که حداقل معیار بهینه را ارائه دهد. اگر بیانگر سودآوری باشد (کارایی، بهره وری، سود، برد موشک و غیره)، کنترل بهینه باید حداکثر معیار بهینه را ارائه دهد.

مشکل تعیین سیستم کنترل خودکار بهینه، به ویژه سنتز پارامترهای بهینه سیستم هنگامی که یک Master در ورودی آن دریافت می شود.

تأثیر و تداخل، که سیگنال‌های تصادفی ثابت هستند، در فصل مورد بررسی قرار گرفتند. 7. به یاد بیاوریم که در این مورد، ریشه میانگین مربعات خطا (RMS) به عنوان معیار بهینه در نظر گرفته می شود. شرایط افزایش دقت بازتولید سیگنال مفید (تشخیص تأثیر) و سرکوب تداخل متناقض است و بنابراین وظیفه انتخاب چنین پارامترهای سیستم (بهینه) است که در آن انحراف استاندارد کمترین مقدار را می گیرد.

سنتز یک سیستم بهینه با استفاده از معیار بهینه مربع میانگین یک مشکل خاص است. روش های کلی برای سنتز سیستم های بهینه بر اساس حساب تغییرات است. با این حال، روش‌های کلاسیک محاسبه تغییرات برای حل مسائل کاربردی مدرن که نیاز به در نظر گرفتن محدودیت‌ها دارند، در بسیاری از موارد نامناسب هستند. راحت ترین روش برای سنتز سیستم های کنترل خودکار بهینه، روش برنامه نویسی پویا بلمن و اصل حداکثر پونتریاگین است.

بنابراین، همراه با مشکل بهبود شاخص‌های مختلف کیفیت سیستم‌های کنترل خودکار، مشکل ساخت سیستم‌های بهینه که در آن ارزش فوق‌العاده یک یا آن شاخص کیفیت فنی و اقتصادی به دست می‌آید، ایجاد می‌شود.

توسعه و اجرای سیستم های کنترل اتوماتیک بهینه به افزایش راندمان استفاده از واحدهای تولیدی، افزایش بهره وری نیروی کار، بهبود کیفیت محصول، صرفه جویی در انرژی، سوخت، مواد اولیه و غیره کمک می کند.

مفاهیمی در مورد وضعیت فاز و مسیر فاز یک جسم

در فناوری، وظیفه انتقال یک شی (فرآیند) کنترل شده از یک حالت به حالت دیگر اغلب مطرح می شود. به عنوان مثال هنگام تعیین اهداف، لازم است آنتن ایستگاه رادار از موقعیت اولیه با آزیموت اولیه به موقعیت مشخص شده با آزیموت چرخانده شود، برای این کار، ولتاژ کنترل از طریق یک موتور الکتریکی متصل به آنتن تامین می شود. گیربکس در هر لحظه از زمان، وضعیت آنتن با مقدار فعلی زاویه چرخش و سرعت زاویه ای مشخص می شود.این دو کمیت بسته به ولتاژ کنترل و. بنابراین، سه پارامتر به هم پیوسته و (شکل 11.1) وجود دارد.

کمیت هایی که وضعیت آنتن را مشخص می کنند، مختصات فاز و - کنش کنترل نامیده می شوند. هنگامی که هدف یک رادار مانند ایستگاه هدایت تفنگ را تعیین می کند، وظیفه چرخش آنتن در آزیموت و ارتفاع است. در این حالت چهار مختصات فاز شی و دو عمل کنترلی خواهیم داشت. برای یک هواپیمای پرنده، می‌توانیم شش مختصات فاز (سه مختصات فضایی و سه مولفه سرعت) و چندین عمل کنترلی (تراست موتور، مقادیر مشخص‌کننده موقعیت سکان‌ها) در نظر بگیریم.

برنج. 11.1. نمودار یک جسم با یک عمل کنترلی و دو مختصات فاز.

برنج. 11.2. نمودار شی با اقدامات کنترلی و مختصات فاز.

برنج. 11.3. نمودار یک شی با تصویر برداری از عمل کنترل و وضعیت فاز جسم

ارتفاع و جهت، ایلرون). در حالت کلی، در هر لحظه از زمان، وضعیت یک شی با مختصات فاز مشخص می شود و اقدامات کنترلی را می توان بر روی جسم اعمال کرد (شکل 11.2).

انتقال یک شیء کنترل شده (فرآیند) از یک حالت به حالت دیگر باید نه تنها به عنوان حرکت مکانیکی (به عنوان مثال، آنتن رادار، هواپیما)، بلکه به عنوان تغییر مورد نیاز در مقادیر مختلف فیزیکی: دما، فشار، رطوبت کابین درک شود. ترکیب شیمیایی یک ماده خام خاص با فرآیند تکنولوژیکی کنترل شده مناسب.

در نظر گرفتن اقدامات کنترلی به عنوان مختصات یک بردار خاص به نام بردار کنش کنترلی راحت است. مختصات فاز (متغیرهای حالت) یک جسم را می توان مختصات یک بردار یا نقطه در فضای بعدی با مختصات نیز در نظر گرفت.این نقطه را حالت فاز (بردار حالت) جسم و فضای -بعدی می نامند. که در آن حالت های فاز به صورت نقطه نشان داده می شوند، فضای فاز (فضای حالت) جسم مورد نظر نامیده می شود. هنگام استفاده از تصاویر برداری، شیء کنترل شده را می توان همانطور که در شکل نشان داده شده است به تصویر کشید. 11.3، که در آن و بردار عمل کنترل است و نقطه ای در فضای فاز را نشان می دهد که وضعیت فاز جسم را مشخص می کند. تحت تأثیر عمل کنترل، نقطه فاز حرکت می کند و خط خاصی را در فضای فاز توصیف می کند که به آن مسیر فاز حرکت در نظر گرفته شده جسم می گویند.

کنترل بهینه

کنترل بهینهوظیفه طراحی سیستمی است که برای یک شی یا فرآیند کنترلی معین، یک قانون کنترل یا یک توالی کنترلی از تأثیرات را فراهم می کند که حداکثر یا حداقل مجموعه معینی از معیارهای کیفیت سیستم را تضمین می کند.

برای حل مسئله کنترل بهینه، یک مدل ریاضی از شی یا فرآیند کنترل شده ساخته می شود که رفتار آن را در طول زمان تحت تأثیر اقدامات کنترلی و وضعیت فعلی خود توصیف می کند. مدل ریاضی برای مسئله کنترل بهینه شامل: فرمول بندی هدف کنترل که از طریق معیار کیفیت کنترل بیان می شود. تعیین معادلات دیفرانسیل یا تفاضل که روشهای حرکتی ممکن جسم کنترل را توصیف می کند. تعیین محدودیت در منابع مورد استفاده در قالب معادلات یا نابرابری.

پرکاربردترین روش‌ها در طراحی سیستم‌های کنترلی، محاسبه تغییرات، اصل حداکثر پونتریاژین و برنامه‌نویسی پویا بلمن است.

گاهی اوقات (به عنوان مثال، هنگام مدیریت اشیاء پیچیده، مانند کوره بلند در متالورژی یا هنگام تجزیه و تحلیل اطلاعات اقتصادی)، داده ها و دانش اولیه در مورد شی کنترل شده هنگام تنظیم مسئله کنترل بهینه حاوی اطلاعات نامشخص یا مبهم است که توسط سنتی قابل پردازش نیست. روش های کمی در چنین مواقعی می توان از الگوریتم های کنترل بهینه مبتنی بر نظریه ریاضی مجموعه های فازی (Fuzzy control) استفاده کرد. مفاهیم و دانش مورد استفاده به شکل فازی تبدیل می‌شوند، قوانین فازی برای استخراج تصمیم‌ها تعیین می‌شوند و سپس تصمیمات فازی به متغیرهای کنترل فیزیکی تبدیل می‌شوند.

مشکل کنترل بهینه

اجازه دهید مسئله کنترل بهینه را فرموله کنیم:

در اینجا بردار حالت - کنترل، - لحظات اولیه و نهایی زمان است.

مسئله کنترل بهینه یافتن توابع حالت و کنترل برای زمان است که عملکرد را به حداقل می رساند.

حساب تغییرات

اجازه دهید این مسئله کنترل بهینه را به عنوان یک مسئله لاگرانژ در حساب تغییرات در نظر بگیریم. برای یافتن شرایط لازم برای یک اکستروم، قضیه اویلر-لاگرانژ را اعمال می کنیم. تابع لاگرانژ به شکل زیر است: شرایط مرزی کجاست. لاگرانژ به شکل زیر است: , که در آن , بردارهای n بعدی ضرب کننده های لاگرانژ هستند.

شرایط لازم برای یک افراط مطابق این قضیه به صورت زیر است:

شرایط لازم (3-5) مبنای تعیین مسیرهای بهینه را تشکیل می دهد. با نوشتن این معادلات، یک مسئله مرزی دو نقطه ای به دست می آوریم که بخشی از شرایط مرزی در لحظه اولیه و بقیه در لحظه پایانی مشخص می شود. روش های حل چنین مسائلی به تفصیل در کتاب مورد بحث قرار گرفته است.

اصل حداکثری پونتریاگین

نیاز به اصل ماکزیمم پونتریاگین در شرایطی ایجاد می شود که در هیچ کجای محدوده مجاز متغیر کنترلی امکان برآوردن شرط لازم (3) وجود نداشته باشد.

در این حالت شرط (3) با شرط (6) جایگزین می شود:

(6)

در این حالت، طبق اصل حداکثر پونتریاگین، مقدار کنترل بهینه برابر با مقدار کنترل در یکی از انتهای محدوده مجاز است. معادلات پونتریاگین با استفاده از تابع همیلتون H که با رابطه تعریف شده است نوشته شده است. از معادلات به دست می آید که تابع همیلتون H با تابع لاگرانژ L به صورت زیر مرتبط است: . با جایگزینی L از آخرین معادله به معادلات (3-5) شرایط لازم بیان شده از طریق تابع همیلتون را بدست می آوریم:

شرایط لازم نوشته شده به این شکل معادلات پونتریاگین نامیده می شود. اصل حداکثری پونتریاگین با جزئیات بیشتری در کتاب مورد بحث قرار گرفته است.

کجا استفاده می شود؟

اصل حداکثر به ویژه در سیستم های کنترل با حداکثر سرعت و حداقل مصرف انرژی مهم است، جایی که از کنترل های نوع رله استفاده می شود که مقادیر شدید و نه متوسط ​​را در بازه کنترل مجاز می گیرند.

داستان

برای توسعه تئوری کنترل بهینه L.S. پونتریاگین و همکارانش V.G. بولتیانسکی، R.V. گامکرلیدزه و E.F. میشچنکو در سال 1962 جایزه لنین را دریافت کرد.

روش برنامه نویسی پویا

روش برنامه نویسی پویا مبتنی بر اصل بهینه بودن بلمن است که به صورت زیر فرموله شده است: استراتژی کنترل بهینه این ویژگی را دارد که وضعیت اولیه و کنترل در ابتدای فرآیند هر چه باشد، کنترل های بعدی باید یک استراتژی کنترل بهینه نسبت به حالتی که پس از مرحله اولیه فرآیند به دست می آید. روش برنامه نویسی پویا با جزئیات بیشتری در کتاب توضیح داده شده است

یادداشت

ادبیات

1. Rastrigin L.A. اصول مدرن مدیریت اشیاء پیچیده - M.: Sov. رادیو، 1980. - 232 ص.، BBK 32.815، خط تیره. 12000 نسخه
2. آلکسیف V.M.، Tikhomirov V.M. ، فومین اس.و. کنترل بهینه - M.: Nauka, 1979, UDC 519.6, - 223 pp., dash. 24000 نسخه

همچنین ببینید

بنیاد ویکی مدیا 2010.

ببینید «کنترل بهینه» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

کنترل بهینه- کنترل OU که مطلوب ترین مقدار یک معیار بهینگی معین (OC) را فراهم می کند و کارایی کنترل را تحت محدودیت های داده شده مشخص می کند. انواع فنی یا اقتصادی... ... فرهنگ لغت - کتاب مرجع شرایط اسناد هنجاری و فنی

کنترل بهینه- مدیریت که هدف آن اطمینان از ارزش فوق العاده شاخص کیفیت مدیریت است. [مجموعه اصطلاحات توصیه شده. مسئله 107. نظریه مدیریت. آکادمی علوم اتحاد جماهیر شوروی. کمیته اصطلاحات علمی و فنی. 1984]…… راهنمای مترجم فنی

کنترل بهینه- 1. مفهوم اساسی نظریه ریاضی فرآیندهای بهینه (متعلق به شاخه ریاضیات به همین نام: "O.u."). به معنای انتخاب پارامترهای کنترلی است که بهترین ها را از نقطه... ... فرهنگ لغت اقتصادی-ریاضی

به عنوان مثال، در شرایط معین (اغلب متناقض)، به بهترین شکل ممکن به هدف اجازه می دهد. در حداقل زمان، با بیشترین تاثیر اقتصادی، با حداکثر دقت... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

هواپیما بخشی از دینامیک پرواز است که به توسعه و استفاده از روش های بهینه سازی برای تعیین قوانین کنترل حرکت هواپیما و مسیرهای آن اختصاص دارد که حداکثر یا حداقل معیار انتخاب شده را ارائه می دهد. دایره المعارف فناوری

شاخه ای از ریاضیات که به بررسی مسائل تغییرات غیر کلاسیک می پردازد. اشیایی که فناوری با آنها سروکار دارد معمولاً مجهز به "سکان" هستند؛ با کمک آنها، شخص حرکت را کنترل می کند. از نظر ریاضی رفتار چنین جسمی شرح داده شده است... ... دایره المعارف بزرگ شوروی