تاریخچه تاس. چگونه می توان تاس را کم و بیش تصادفی انداخت

رایج ترین نوع آن به شکل مکعب است که در هر طرف اعداد از یک تا شش وجود دارد. بازیکن با پرتاب آن روی یک سطح صاف، نتیجه را در لبه بالایی می بیند. استخوان ها یک دهان واقعی شانس، خوب یا بد شانس هستند.

تصادف.
مکعب ها (استخوان ها) از دیرباز وجود داشته اند، اما در حدود 2600 سال قبل از میلاد مسیح به شکل سنتی شش ضلعی به دست آمده اند. ه. یونانیان باستان عاشق تاس بازی بودند و در افسانه های آنها از قهرمان پالامدس که به ناحق توسط اودیسه به خیانت متهم شده بود به عنوان مخترع آنها یاد شده است. طبق افسانه، او این بازی را برای سرگرمی سربازانی که تروا را محاصره کرده بودند اختراع کرد که به لطف یک اسب چوبی عظیم اسیر شد. رومی ها در زمان ژولیوس سزار نیز خود را با انواع بازی های تاس سرگرم می کردند. در لاتین مکعب را datum می نامیدند که به معنای "داده شده" است.

ممنوعیت ها
در قرون وسطی، در حدود قرن دوازدهم، تاس در اروپا بسیار رایج شد: تاس‌هایی که می‌توانستید همه جا با خود ببرید، هم در میان سربازان و هم در بین دهقانان محبوب بود. می گویند بیش از ششصد بازی مختلف وجود داشت! تولید تاس به یک حرفه جداگانه تبدیل می شود. پادشاه لویی نهم (1214-1270) که از جنگ صلیبی بازگشته بود، موافقت نکرد. قمارو دستور داد تولید تاس در سراسر پادشاهی ممنوع شود. بیش از خود بازی، مقامات از ناآرامی های مرتبط با آن ناراضی بودند - سپس آنها عمدتاً در میخانه ها بازی می کردند و بازی ها اغلب به دعوا و چاقو ختم می شد. اما هیچ ممنوعیتی مانع از ماندگاری تاس در زمان و زنده ماندن تا به امروز نشد.

تاس شارژ شده!
نتیجه یک دای رول همیشه به طور تصادفی مشخص می شود، اما برخی از متقلب ها سعی می کنند این را تغییر دهند. با سوراخ کردن یک قالب و ریختن سرب یا جیوه در آن، می توانید اطمینان حاصل کنید که پرتاب هر بار نتیجه یکسانی دارد. چنین مکعبی "شارژ" نامیده می شود. ساخته شده از مواد مختلف، طلا، سنگ، کریستال، استخوان، تاس می تواند اشکال مختلفی داشته باشد. تاس های هرمی کوچک (چهاروجهی) در مقبره های فراعنه مصر پیدا شد. اهرام بزرگ! در زمان های مختلف تاس ها با ضلع های 8، 10، 12، 20 و حتی 100 ساخته می شد. معمولاً آنها با اعداد مشخص می شوند ، اما در جای خود می توانند حروف یا تصاویر نیز وجود داشته باشد که فضایی برای تخیل می دهد.

نحوه پرتاب تاس.
استخوان ها نه تنها شکل های مختلفی دارند، بلکه به شکل های مختلفی نیز ظاهر می شوند راه های مختلفبازی ها. قوانین برخی از بازی ها شما را ملزم می کند که به روش خاصی رول کنید، معمولاً برای جلوگیری از چرخش حساب شده یا برای جلوگیری از قرار گرفتن قالب در حالت مایل. گاهی اوقات آنها برای جلوگیری از تقلب یا افتادن از روی میز بازی با یک لیوان مخصوص می آیند. در بازی انگلیسی کرپ، هر سه تاس باید به میز یا دیوار بازی برخورد کنند تا متقلبان از تظاهر به پرتاب کردن با حرکت دادن تاس بدون چرخاندن آن جلوگیری کنند.

تصادفی و احتمال.
تاس همیشه یک نتیجه تصادفی می دهد که قابل پیش بینی نیست. با یک مرگ، یک بازیکن به اندازه 6 شانس دارد که یک عدد 1 را بزند - همه اینها به طور تصادفی مشخص می شود. با دو تاس، برعکس، سطح تصادفی بودن کاهش می‌یابد، زیرا بازیکن اطلاعات بیشتری در مورد نتیجه دارد: به عنوان مثال، با دو تاس، شماره 7 را می‌توان از چند طریق به دست آورد - با پرتاب 1 و 6، 5 و 2. ، یا 4 و 3... اما امکان به دست آوردن عدد 2 فقط یک است: 2 بار غلبه بر 1 بنابراین، احتمال به دست آوردن 7 بیشتر از 2 است. به این نظریه احتمال می گویند. بسیاری از بازی ها با این اصل مرتبط هستند، به خصوص بازی های پولی.

در مورد استفاده از تاس
تاس می تواند یک بازی مستقل و بدون عناصر دیگر باشد. تنها چیزی که عملا وجود ندارد بازی های یک مکعبی است. قوانین حداقل به دو مورد نیاز دارند (مثلاً کرپ). برای بازی پوکر تاس باید پنج تاس، یک قلم و کاغذ داشته باشید. هدف این است که ترکیب‌هایی شبیه به ترکیب‌های بازی با ورق به همین نام را تکمیل کنید و امتیازات آنها را در یک جدول ویژه ثبت کنید. علاوه بر این، مکعب یک بخش بسیار محبوب برای بازی های تخته ای، به شما امکان می دهد مهره ها را جابجا کنید یا در مورد نتیجه نبردهای بازی تصمیم بگیرید.

قالب ریخته گری می شود.
در سال 49 ق.م. ه. ژولیوس سزار جوان گول را فتح کرد و به پمپئی بازگشت. اما قدرت او باعث نگرانی سناتورها شد که تصمیم گرفتند قبل از بازگشت ارتش او را منحل کنند. امپراتور آینده با رسیدن به مرزهای جمهوری تصمیم می گیرد با عبور از آن با ارتش خود دستور را نقض کند. قبل از عبور از روبیکون (رودی که مرز بود)، به لژیونرهایش گفت: «Alea jacta est» («مرگ ریخته می‌شود»). این ضرب المثل شده است عبارت جذاب، که معنای آن این است که مانند بازی، پس از برخی تصمیمات گرفته شدهدیگر امکان عقب نشینی وجود ندارد.

مزیت یک تولید کننده تاس آنلاین نسبت به تاس های معمولی واضح است - هرگز گم نمی شود! مکعب مجازی با عملکردهای خود بسیار بهتر از مکعب واقعی کنار می آید - دستکاری نتایج کاملاً منتفی است و شما فقط می توانید به شانس اعلیحضرت تکیه کنید. تاس آنلاین، در میان چیزهای دیگر، سرگرمی عالی در اوقات فراغت شما است. ایجاد یک نتیجه سه ثانیه طول می کشد و هیجان و علاقه بازیکنان را تحریک می کند. برای شبیه سازی تاس، فقط باید دکمه "1" را روی صفحه کلید فشار دهید، که به شما امکان می دهد به عنوان مثال از یک بازی تخته هیجان انگیز حواس خود را پرت نکنید.

تعداد مکعب:

لطفا با یک کلیک به خدمات کمک کنید:در مورد ژنراتور به دوستان خود بگویید!

هنگامی که عبارتی به عنوان "تاس" را می شنویم، بلافاصله به انجمن کازینوها می رسیم که آنها به سادگی نمی توانند بدون آنها کار کنند. برای شروع، اجازه دهید کمی در مورد چیستی این مورد به یاد بیاوریم.

تاس ها مکعب هایی هستند که در هر طرف آن ها اعداد 1 تا 6 با نقطه نشان داده می شوند. اما مواردی وجود دارد که مکعب که روی لبه خود می افتد، عدد را نشان نمی دهد. این به این معنی است که کسی که به این ترتیب انصراف می دهد می تواند هر کدام را انتخاب کند.

همچنین این اتفاق می افتد که مکعب ممکن است زیر تخت یا کمد غلت بخورد و وقتی از آنجا برداشته می شود، تعداد آن مطابق با آن تغییر می کند. در این حالت قالب مجدداً رول می شود تا همه به وضوح عدد را ببینند.

انداختن تاس آنلاین با 1 کلیک

در یک بازی که شامل تاس های معمولی است، تقلب بسیار آسان است. برای به دست آوردن عدد مورد نظر، باید این طرف مکعب را روی آن قرار دهید و آن را بچرخانید تا ثابت بماند (فقط قسمت کناری آن می چرخد). این تضمین کامل نیست، اما درصد برد هفتاد و پنج درصد خواهد بود.

اگر از دو تاس استفاده کنید، شانس به سی کاهش می یابد، اما این هنوز درصد قابل توجهی است. به دلیل تقلب، بسیاری از کمپین های بازیکنان دوست ندارند از تاس استفاده کنند.

خدمات فوق العاده ما دقیقاً برای جلوگیری از چنین شرایطی کار می کند. تقلب با ما غیرممکن خواهد بود، زیرا تاس آنلاین را نمی توان جعلی کرد. عددی از 1 تا 6 به صورت کاملا تصادفی و غیر قابل کنترل در صفحه ظاهر می شود.

مولد تاس راحت

یک مزیت بسیار بزرگ این است که تولید کننده تاس آنلاین نمی تواند گم شود (مخصوصاً از آنجایی که می توان آن را نشانه گذاری کرد) و یک تاس کوچک معمولی به راحتی می تواند در جایی گم شود. همچنین یک مزیت بزرگ این واقعیت است که دستکاری نتایج به طور کامل حذف می شود. ژنراتور عملکردی دارد که به شما امکان می دهد از یک تا سه تاس را برای پرتاب همزمان انتخاب کنید.

مولد آنلاین تاس یک سرگرمی بسیار جالب است، یکی از راه های توسعه شهود. از خدمات ما استفاده کنید و نتایج فوری و قابل اعتماد دریافت کنید.

4.8 از 5 (امتیاز: 116)

نوشته شده توسط طراح تایلر سیگمن، در Gamasutra. من با محبت آن را مقاله "موی در سوراخ های بینی اورک" می نامم، اما این کار در ارائه اصول اولیه احتمالات در بازی ها بسیار خوب است.

موضوع این هفته

تا به حال، تقریباً همه چیزهایی که در مورد آن صحبت کردیم قطعی بوده است، و هفته گذشته نگاهی دقیق‌تر به مکانیک انتقالی انداختیم و تا آنجا که می‌توانم توضیح دهم آن را تجزیه کردیم. اما تاکنون به جنبه عظیم بسیاری از بازی ها، یعنی جنبه های غیر قطعی، به عبارت دیگر - تصادفی بودن توجه نکرده ایم. درک ماهیت تصادفی بودن برای طراحان بازی بسیار مهم است، زیرا ما سیستم هایی ایجاد می کنیم که بر تجربه بازیکن در یک بازی خاص تأثیر می گذارد، بنابراین باید بدانیم این سیستم ها چگونه کار می کنند. اگر تصادفی در سیستم وجود دارد، باید درک کنید طبیعتاین تصادفی بودن و نحوه تغییر آن برای به دست آوردن نتایج مورد نیاز.

تاس

بیایید با یک چیز ساده شروع کنیم: تاس انداختن. هنگامی که بیشتر مردم به تاس فکر می کنند، به یک قالب شش وجهی معروف به d6 فکر می کنند. اما اکثر گیمرها تاس های دیگر را دیده اند: چهار طرفه (d4)، هشت ضلعی (d8)، دوازده وجهی (d12)، بیست وجهی (d20) ... و اگر شما واقعیگیک، ممکن است جایی تاس 30 یا 100 وجهی داشته باشید. اگر با این اصطلاح آشنایی ندارید، "d" مخفف die است و عدد بعد از آن تعداد ضلع آن است. اگر قبل از"د" یک عدد است، یعنی تعدادتاس هنگام پرتاب مثلا در بازی مونوپولی 2d6 رول می کنید.

بنابراین، در در این موردعبارت "تاس" - سمبل. وجود دارد مقدار زیادیسایر مولدهای اعداد تصادفی که به شکل یک توده پلاستیکی نیستند اما همان عملکرد تولید یک عدد تصادفی از 1 تا n را انجام می دهند. یک سکه معمولی را می توان به عنوان یک تاس دو وجهی d2 نیز در نظر گرفت. من دو طرح از تاس هفت وجهی دیدم: یکی از آنها شبیه تاس بود و دیگری بیشتر شبیه یک مداد چوبی هفت وجهی بود. دریدل چهار وجهی (همچنین به عنوان تیتوتوم شناخته می شود) شبیه به استخوان چهار وجهی است. زمین بازی فلش چرخان در بازی "Chutes & Ladders" که نتیجه آن می تواند از 1 تا 6 باشد، مربوط به یک قالب شش وجهی است. یک مولد اعداد تصادفی در رایانه می تواند هر عددی از 1 تا 19 را ایجاد کند اگر طراح چنین دستوری را مشخص کند، اگرچه رایانه تاس 19 وجهی ندارد (به طور کلی، من بیشتر در مورد احتمال ظاهر شدن اعداد در یک صفحه صحبت خواهم کرد. کامپیوتر در بعدهفته). اگرچه همه این موارد متفاوت به نظر می رسند، اما در واقع یکسان هستند: شانس یکسانی برای گرفتن یکی از چندین نتیجه دارید.

تاس ها خواص جالبی دارند که باید در مورد آنها بدانیم. اول، احتمال چرخاندن هر یک از وجه‌ها یکسان است (من فرض می‌کنم شما یک قالب معمولی می‌چرخانید، نه یک قالب با شکل هندسی نامنظم). پس اگر می خواهید بدانید مقدار متوسطپرتاب کنید (که در بین علاقه مندان به موضوع احتمال به عنوان "مقدار مورد انتظار ریاضی" نیز شناخته می شود)، مقادیر همه اضلاع را جمع کنید و این مجموع را بر تقسیم کنید. تعدادچهره ها. متوسط ​​رول برای یک قالب شش وجهی استاندارد 1+2+3+4+5+6 = 21 است که بر تعداد اضلاع (6) تقسیم می شود و میانگین آن 21/6 = 3.5 است. این یک مورد خاص است زیرا ما فرض می کنیم که همه نتایج به یک اندازه محتمل هستند.

اگر تاس خاصی داشته باشید چطور؟ مثلا من یک بازی با شش ضلعی دیدم تاسبا برچسب های مخصوص در طرفین: 1، 1، 1، 2، 2، 3، بنابراین مانند یک قالب سه وجهی عجیب رفتار می کند که احتمال چرخش 1 تا 2 و 2 تا 3 بیشتر است. رول متوسط ​​برای چیست؟ این استخوان؟ بنابراین، 1+1+1+2+2+3 = 10، تقسیم بر 6، برابر است با 5/3 یا تقریباً 1.66. بنابراین اگر شما این تاس خاص را دارید و بازیکنان سه تاس می‌اندازند و سپس نتایج را جمع می‌کنند، می‌دانید که مجموع توپ‌های بازی آنها حدود 5 خواهد بود و می‌توانید بر اساس این فرض بازی را متعادل کنید.

تاس و استقلال

همانطور که قبلاً گفتم، ما از این فرض پیش می رویم که احتمال سقوط هر یک از طرفین به یک اندازه است. این بستگی به تعداد تاس شما ندارد. هر پرتاب تاس بدون در نظر گرفتن، این بدان معنی است که رول های قبلی بر نتایج بعدی تأثیر نمی گذارد. با آزمایش کافی قطعا این کار را خواهید کرد اطلاعیک «سری» از اعداد، مانند پرتاب کردن اعداد بیشتر یا پایین‌تر، یا ویژگی‌های دیگر، و بعداً در مورد آن صحبت خواهیم کرد، اما این بدان معنا نیست که تاس‌ها «گرم» یا «سرد» هستند. اگر یک قالب شش وجهی استاندارد بچرخانید و دو بار پشت سر هم عدد 6 را بدست آورید، احتمال اینکه رول بعدی به عدد 6 منجر شود نیز 1/6 است. این احتمال افزایش نمی یابد زیرا مکعب "گرم شده است". احتمال کاهش نمی یابد زیرا عدد 6 قبلاً دو بار پشت سر هم آمده است ، یعنی اکنون یک طرف دیگر بالا می آید. (البته، اگر یک دای را بیست بار پرتاب کنید و هر بار یک عدد 6 بگیرید، احتمال اینکه بیست و یکمین بار 6 پرتاب کنید بسیار زیاد است... زیرا احتمالاً این بدان معنی است که شما تاس اشتباهی دارید!) تاس مناسب داشته باشید، هر طرف بدون توجه به نتایج پرتاب های دیگر، احتمال سقوط یکسانی دارد. شما همچنین می توانید تصور کنید که هر بار که قالب را تغییر می دهیم، بنابراین اگر عدد 6 دو بار پشت سر هم رول شد، قالب "گرم" را از بازی حذف کنید و آن را با یک قالب شش وجهی جدید جایگزین کنید. من عذرخواهی می کنم اگر هر یک از شما قبلاً در این مورد می دانستید، اما من باید قبل از حرکت به جلو این موضوع را روشن می کردم.

چگونه می توان تاس را کم و بیش تصادفی انداخت

بیایید در مورد چگونگی به دست آوردن نتایج متفاوت در تاس های مختلف صحبت کنیم. چه یک قالب را فقط یک بار یا چند بار بچرخانید، اگر قالب دارای طرف های بیشتری باشد، بازی تصادفی تر خواهد بود. هرچه تعداد دفعات بیشتری یک قالب بیاندازید یا تاس بیشتری بیاندازید، نتایج بیشتر به سمت میانگین حرکت می کنند. برای مثال، اگر 1d6+4 را رول کنید (یعنی یک قالب شش وجهی استاندارد یک بار و 4 را به نتیجه اضافه کنید)، میانگین عددی بین 5 تا 10 خواهد بود. اگر 5d2 رول کنید، میانگین نیز عددی بین 5 و 10. اما هنگام پرتاب تاس شش وجهی، احتمال به دست آوردن اعداد 5، 8 یا 10 یکسان است. نتیجه چرخش 5d2 عمدتاً اعداد 7 و 8 خواهد بود، کمتر مقادیر دیگر. سری یکسان، حتی مقدار متوسط ​​یکسان (7.5 در هر دو مورد)، اما ماهیت تصادفی متفاوت است.

یک دقیقه صبر کن. مگه نگفتم تاس ها گرم و سرد نمیشن؟ حالا من می گویم که اگر تاس زیادی بیندازید، نتایج پرتاب ها به میانگین نزدیک تر است؟ چرا؟

بگذار توضیح بدهم. اگر ترک کردی یکیتاس، احتمال افتادن هر طرف یکسان است. این بدان معناست که اگر تاس های زیادی بیندازید، در طی یک دوره زمانی، هر طرف تقریباً به همان تعداد دفعات ظاهر می شود. هر چه تاس بیشتری بیاندازید، نتیجه کل بیشتر به میانگین نزدیک می شود. این به این دلیل نیست که عدد ترسیم شده "اجبار" می کند تا عدد دیگری رسم شود که هنوز رسم نشده است. اما چون یک سری کوچک از انتشار عدد 6 (یا 20 یا یک عدد دیگر) در نهایت نخواهد داشت واجد اهمیت زیاد، اگر تاس را ده هزار بار دیگر پرتاب کنید و بیشتر به مقدار متوسط ​​برسید... ممکن است اکنون چند عدد با ارزش بالا دریافت کنید، اما شاید بعداً چند عدد کم ارزش و به مرور زمان به مقدار متوسط ​​نزدیکتر شوند. . نه به این دلیل که پرتاب های قبلی روی تاس ها تأثیر می گذارد (به طور جدی، تاس ها از آن ساخته شده اند پلاستیک، او مغزی ندارد که فکر کند، "اوه، مدتی است که 2 تاس انداختم")، اما به این دلیل که معمولاً وقتی تاس های زیادی می اندازیم این اتفاق می افتد. یک سری کوچک از اعداد تکرار شونده در تعداد زیادی از نتایج تقریباً نامرئی خواهند بود.

بنابراین، انجام محاسبات برای یک رول تصادفی از یک قالب نسبتاً ساده است، حداقل تا آنجا که به محاسبه مقدار متوسط ​​رول مربوط می شود. همچنین روش‌هایی برای محاسبه «تصادفی بودن» چیزی وجود دارد، روشی برای اینکه بگوییم نتایج چرخش 1d6+4 «تصادفی‌تر» از 5d2 خواهد بود، برای 5d2 توزیع رول‌ها یکنواخت‌تر خواهد بود، معمولاً برای این محاسبه می‌کنید. انحراف استاندارد، و هر چه مقدار بزرگتر باشد، نتایج تصادفی تر خواهند بود، اما این نیاز به محاسبات بیشتری نسبت به آنچه امروز می خواهم ارائه می دهد (این موضوع را بعدا توضیح خواهم داد). تنها چیزی که از شما می خواهم بدانید این است که، به عنوان یک قاعده کلی، هرچه تاس کمتری ریخته شود، تصادفی بودن بیشتر است. یک اضافه دیگر در مورد این موضوع: هرچه اضلاع یک قالب بیشتر باشد، تصادفی بودن بیشتر است، زیرا گزینه های بیشتری دارید.

نحوه محاسبه احتمال با استفاده از شمارش

ممکن است از خود بپرسید: چگونه می توانیم احتمال دقیق به دست آوردن یک نتیجه خاص را محاسبه کنیم؟ این در واقع برای بسیاری از بازی‌ها بسیار مهم است، زیرا اگر یک قالب را بچرخانید، احتمالاً در ابتدا نوعی نتیجه مطلوب وجود دارد. پاسخ این است که باید دو مقدار را بشماریم. ابتدا، حداکثر تعداد پیامدها را هنگام پرتاب قالب بشمارید (بدون توجه به نتیجه). سپس تعداد نتایج مطلوب را بشمارید. تقسیم مقدار دوم بر مقدار اول احتمال مورد نظر را به شما می دهد. برای بدست آوردن درصد، نتیجه را در 100 ضرب کنید.

مثال ها:

در اینجا یک مثال بسیار ساده است. شما می خواهید عدد 4 یا بالاتر را بچرخانید و قالب شش وجهی را یک بار بغلتانید. حداکثر تعداد پیامدها 6 (1، 2، 3، 4، 5، 6) است. از این میان، 3 پیامد (4، 5، 6) مطلوب است. یعنی برای محاسبه احتمال، 3 را بر 6 تقسیم می کنیم و 0.5 یا 50 درصد بدست می آوریم.

در اینجا یک مثال کمی پیچیده تر است. هنگام چرخاندن 2d6 یک عدد زوج می خواهید. حداکثر تعداد پیامدها 36 است (6 برای هر قالب، و از آنجایی که یک قالب بر دیگری تأثیر نمی گذارد، 6 نتیجه را در 6 ضرب می کنیم و 36 به دست می آید). مشکل این نوع سوال این است که دوبار شمارش آسان است. برای مثال، در واقع دو گزینه برای 3 روی رول 2d6 وجود دارد: 1+2 و 2+1. آنها یکسان به نظر می رسند، اما تفاوت این است که چه عددی در قالب اول و چه عددی در قالب دوم نمایش داده می شود. شما همچنین می توانید تصور کنید که تاس رنگهای متفاوت، به عنوان مثال، در این مورد یک تاس قرمز است، دیگری آبی است. سپس تعداد گزینه های چرخاندن یک عدد زوج را بشمارید: 2 (1+1)، 4 (1+3)، 4 (2+2)، 4 (3+1)، 6 (1+5)، 6 (2) +4)، 6 (3+3)، 6 (4+2)، 6 (5+1)، 8 (2+6)، 8 (3+5)، 8 (4+4)، 8 (5+) 3)، 8 (6+2)، 10 (4+6)، 10 (5+5)، 10 (6+4)، 12 (6+6). به نظر می رسد که 18 گزینه برای یک نتیجه مطلوب از 36 وجود دارد، همانطور که در مورد قبلی، احتمال برابر با 0.5 یا 50٪ خواهد بود. شاید غیرمنتظره، اما کاملا دقیق.

شبیه سازی مونت کارلو

اگر تعداد تاس های زیادی برای این محاسبه داشته باشید چه؟ به عنوان مثال، می خواهید بدانید که احتمال بدست آوردن 15 یا بیشتر هنگام چرخاندن 8d6 چقدر است. نتایج انفرادی زیادی برای هشت تاس وجود دارد و شمارش آنها با دست زمان زیادی می برد. حتی اگر راه‌حل خوبی برای گروه‌بندی سری‌های مختلف تاس‌های ریخته‌شده پیدا کنیم، باز هم شمارش آن زمان بسیار طولانی خواهد داشت. در این مورد، ساده ترین راه برای محاسبه احتمال، شمارش دستی نیست، بلکه استفاده از رایانه است. دو روش برای محاسبه احتمال در رایانه وجود دارد.

روش اول می تواند پاسخ دقیقی به شما بدهد، اما شامل کمی برنامه نویسی یا اسکریپت است. اساساً، رایانه به هر یک از احتمالات نگاه می کند، تعداد کل تکرارها و تعداد تکرارهایی که با نتیجه مورد نظر مطابقت دارد را ارزیابی و شمارش می کند و سپس پاسخ ها را ارائه می دهد. کد شما ممکن است چیزی شبیه به این باشد:

int wincount=0, totalcount=0;

برای (int i=1; i<=6; i++) {

برای (int j=1; j<=6; j++) {

برای (int k=1; k<=6; k++) {

... // حلقه های بیشتری را در اینجا درج کنید

اگر (i+j+k+… >= 15) (

float probability = wincount/totalcount;

اگر چیز زیادی در مورد برنامه نویسی نمی دانید و فقط می خواهید یک پاسخ تقریبی به جای دقیق داشته باشید، می توانید این وضعیت را در اکسل شبیه سازی کنید، جایی که 8d6 را چند هزار بار رول می کنید و جواب می گیرید. برای رول کردن 1d6 در اکسل، از فرمول زیر استفاده کنید:

FLOOR(RAND()*6)+1

یک نام برای موقعیتی وجود دارد که شما پاسخ آن را نمی دانید و فقط چندین بار تلاش می کنید - شبیه سازی مونت کارلو، و این یک راه حل عالی برای بازگشت به هنگام تلاش برای محاسبه احتمال و بسیار پیچیده است. نکته مهم این است که در این مورد ما نیازی به درک نحوه عملکرد ریاضی نداریم و می دانیم که پاسخ "بسیار خوب" خواهد بود زیرا همانطور که قبلاً می دانیم هرچه تعداد رول ها بیشتر باشد نتیجه نزدیک تر است. به میانگین می رسد.

نحوه ترکیب آزمایشات مستقل

اگر در مورد چندین آزمایش تکراری اما مستقل بپرسید، نتیجه یک رول بر نتایج سایر رول‌ها تأثیر نمی‌گذارد. توضیح ساده تری دیگر برای این وضعیت وجود دارد.

چگونه بین چیزی وابسته و مستقل تشخیص دهیم؟ اساساً، اگر بتوانید هر پرتاب یک دای (یا مجموعه ای از پرتاب ها) را به عنوان یک رویداد جداگانه جدا کنید، پس مستقل است. به عنوان مثال، اگر هنگام ریختن 8d6 مجموعاً 15 بخواهیم، ​​این مورد را نمی توان به چند تاس مستقل تقسیم کرد. از آنجایی که شما مجموع مقادیر همه تاس‌ها را برای نتیجه حساب می‌کنید، نتیجه‌ای که در یک قالب به دست می‌آید بر نتایجی که باید روی تاس دیگر بیاید تأثیر می‌گذارد، زیرا تنها با جمع کردن همه مقادیر می‌توانید نتیجه لازم را بدست آورید

در اینجا نمونه ای از پرتاب های مستقل آورده شده است: شما در حال انجام یک بازی تاس هستید و چندین بار تاس های شش طرفه را می اندازید. برای ماندن در بازی، باید عدد 2 یا بالاتر را در اولین رول خود قرار دهید. برای رول دوم - 3 یا بالاتر. سومی به 4 یا بالاتر نیاز دارد، چهارمی به 5 یا بالاتر نیاز دارد، پنجمی به 6 نیاز دارد. اگر هر پنج رول موفقیت آمیز باشد، برنده می شوید. در این مورد، تمام پرتاب ها مستقل هستند. بله، اگر یک پرتاب با شکست مواجه شود، بر نتیجه کل بازی تأثیر می گذارد، اما یک پرتاب روی رول دیگری تأثیر نمی گذارد. به عنوان مثال، اگر تاس دوم شما بسیار موفق باشد، این بر احتمال موفقیت تاس های بعدی تأثیری ندارد. بنابراین، می توانیم احتمال ریختن هر تاس را جداگانه در نظر بگیریم.

اگر احتمالات جداگانه و مستقلی دارید و می خواهید بدانید که احتمال آن چقدر است همهرویدادها رخ خواهند داد، شما احتمالات فردی را تعیین کرده و آنها را ضرب می کنید.راه دیگر: اگر از ربط "و" برای توصیف چندین شرط استفاده کنید (مثلاً احتمال وقوع یک رویداد تصادفی چقدر است. ویک رویداد تصادفی مستقل دیگر؟)، احتمالات فردی را محاسبه کرده و آنها را ضرب کنید.

مهم نیست که شما چه فکر می کنید هرگزاحتمالات مستقل را جمع نکنید. این یک اشتباه رایج است. برای درک اینکه چرا این اشتباه است، موقعیتی را تصور کنید که در آن یک سکه 50/50 را پرتاب می کنید و می خواهید بدانید که احتمال اینکه دو بار پشت سر هم سرتان را بگیرید چقدر است. هر طرف 50 درصد احتمال فرود دارد، بنابراین اگر این دو احتمال را با هم جمع کنید، 100 درصد شانس برای گرفتن سر خواهید داشت، اما ما می دانیم که این درست نیست زیرا می توانست دو بار پشت سر هم دم را به سمت بالا برگرداند. اگر به جای آن دو احتمال را ضرب کنید، 50% * 50% = 25% به دست می آید که پاسخ صحیح برای محاسبه احتمال دو بار متوالی گرفتن سر است.

مثال

بیایید به بازی تاس شش وجهی برگردیم، جایی که ابتدا باید عددی بالاتر از 2 و سپس بالاتر از 3 و ... بیاندازید. تا 6. چه شانسی وجود دارد که در یک سری 5 پرتابی، همه نتایج مطلوب باشد؟

همانطور که در بالا گفته شد، اینها آزمایشات مستقلی هستند و بنابراین ما احتمال را برای هر رول جداگانه محاسبه کرده و سپس آنها را ضرب می کنیم. احتمال اینکه نتیجه رول اول مطلوب باشد 5/6 است. دوم - 4/6. سوم - 3/6. چهارم - 2/6، پنجم - 1/6. همه این نتایج را ضرب کنید و حدود 1.5% بدست می آورید... بنابراین، برنده شدن در این بازی بسیار نادر است، بنابراین اگر این عنصر را به بازی خود اضافه کنید، به یک جکپات نسبتاً بزرگ نیاز خواهید داشت.

نفی

در اینجا یک نکته مفید دیگر وجود دارد: گاهی اوقات محاسبه احتمال وقوع یک رویداد دشوار است، اما تعیین احتمال وقوع یک رویداد آسان تر است. نخواهد آمد.

مثلاً فرض کنید یک بازی دیگر داریم و شما 6d6 رول می کنید و اگر حد اقل یک باراگر 6 رول کنید، برنده می شوید. احتمال برنده شدن چقدر است؟

در این مورد، شما باید گزینه های زیادی را در نظر بگیرید. شاید یک عدد ظاهر شود، 6، یعنی. یکی از تاس ها عدد 6 را نشان می دهد و بقیه اعداد از 1 تا 5 را خواهند داشت و 6 احتمال وجود دارد که تاس ها عدد 6 را نشان می دهند. سپس می توانید عدد 6 را روی دو تاس یا روی سه تاس بگیرید. یا حتی بیشتر، و هر بار که باید یک محاسبه جداگانه انجام دهیم، بنابراین گیج شدن آسان است.

اما راه دیگری برای حل این مشکل وجود دارد، بیایید از طرف دیگر به آن نگاه کنیم. شما شما از دست خواهید داداگر روی هیچ کدام نیستتاس عدد 6 را نمی اندازد. در این مورد، ما شش آزمایش مستقل داریم که احتمال هر یک از آنها 5/6 است (هر عدد دیگری به جز 6 می تواند روی تاس بیفتد). آنها را ضرب کنید و حدود 33 درصد بدست می آورید. بنابراین، احتمال باخت 1 در 3 است.

بنابراین، احتمال برنده شدن 67 درصد (یا 2 به 3) است.

از این مثال واضح است که اگر احتمال رخ ندادن یک رویداد را محاسبه کنید، باید نتیجه را از 100٪ کم کنید.اگر احتمال برنده شدن 67 درصد باشد، پس احتمال آن از دست دادن — 100% منهای 67 درصد یا 33 درصد. و بالعکس. اگر محاسبه یک احتمال دشوار است اما محاسبه عکس آن آسان است، عکس آن را محاسبه کنید و سپس از 100٪ کم کنید.

ما شرایط را برای یک آزمون مستقل ترکیب می کنیم

من دقیقاً در بالا گفتم که هرگز نباید احتمالات را در آزمایش‌های مستقل اضافه کنید. آیا مواردی وجود دارد که می تواناحتمالات را خلاصه کنید؟ - بله، در یک موقعیت خاص.

اگر می‌خواهید احتمال چند نتیجه مطلوب نامرتبط را در یک آزمایش واحد محاسبه کنید، احتمالات هر نتیجه مطلوب را جمع کنید. به عنوان مثال، احتمال چرخاندن اعداد 4، 5 یا 6 در 1d6 است میزاناحتمال به دست آوردن عدد 4، احتمال به دست آوردن عدد 5 و احتمال به دست آوردن عدد 6. همچنین می توانید این وضعیت را به صورت زیر تصور کنید: اگر از حرف ربط "یا" در سؤالی در مورد احتمال استفاده کنید (مثلاً ، احتمال آن چقدر است یانتیجه متفاوت یک رویداد تصادفی؟)، احتمالات فردی را محاسبه کرده و آنها را جمع آوری کنید.

لطفاً توجه داشته باشید که وقتی جمع می کنید تمام نتایج ممکنبازی، مجموع همه احتمالات باید برابر با 100٪ باشد. اگر مجموع برابر 100٪ نباشد، محاسبه شما اشتباه انجام شده است. این یک راه خوب برای بررسی مجدد محاسبات است. به عنوان مثال، شما احتمال به دست آوردن همه ترکیب ها را در پوکر تجزیه و تحلیل کردید، اگر تمام نتایج به دست آمده را جمع آوری کنید، باید دقیقا 100٪ (یا حداقل مقداری نزدیک به 100٪) به دست آورید، اگر از ماشین حساب استفاده می کنید، ممکن است یک خطای کوچک گرد کردن، اما اگر اعداد دقیق را به صورت دستی جمع کنید، همه چیز باید جمع شود). اگر مجموع جمع نشد، به این معنی است که به احتمال زیاد شما برخی از ترکیب ها را در نظر نگرفته اید یا احتمالات برخی ترکیب ها را اشتباه محاسبه کرده اید و سپس باید محاسبات خود را دوباره بررسی کنید.

احتمالات نابرابر

تا به حال، ما فرض می‌کردیم که هر طرف قالب با فرکانس یکسانی بیرون می‌آید، زیرا قالب به این ترتیب کار می‌کند. اما گاهی اوقات شما با موقعیتی روبرو می شوید که نتایج متفاوتی ممکن است و آنها ممکن است ناهمسانکاهش شانس به عنوان مثال، در یکی از بسط های بازی کارتی "جنگ هسته ای" یک زمین بازی با یک فلش وجود دارد که نتیجه پرتاب موشک به آن بستگی دارد: اساساً آسیب معمولی، قوی تر یا ضعیف تر وارد می کند، اما گاهی اوقات آسیب می رسد. دو یا سه برابر شود، یا موشکی در سکوی پرتاب منفجر شود و به شما آسیب برساند، یا اتفاق دیگری رخ دهد. بر خلاف تابلوی پیکان در "Chutes & Ladders" یا "A Game of Life"، صفحه بازی در "جنگ هسته ای" نتایج نابرابر دارد. برخی از بخش‌های زمین بازی بزرگ‌تر هستند و فلش اغلب روی آنها متوقف می‌شود، در حالی که بخش‌های دیگر بسیار کوچک هستند و فلش به ندرت روی آنها متوقف می‌شود.

بنابراین، در نگاه اول، استخوان چیزی شبیه به این است: 1، 1، 1، 2، 2، 3. قبلاً در مورد آن صحبت کردیم، چیزی شبیه به 1d3 وزنی است، بنابراین باید همه این بخش ها را به قسمت های مساوی تقسیم کنیم، کوچکترین واحد اندازه گیری را که همه چیز مضربی از آن است را پیدا کنیم و سپس وضعیت را به صورت d522 (یا برخی دیگر) نشان دهیم. که در آن بسیاری از تاس‌ها وضعیت مشابهی را نشان می‌دهند، اما نتایج بیشتری دارند. و این یکی از راه های حل مشکل است و از نظر فنی امکان پذیر است، اما راه آسان تری وجود دارد.

بیایید به تاس های شش وجهی استاندارد خود برگردیم. گفتیم که برای محاسبه مقدار متوسط ​​یک رول برای یک قالب معمولی، باید مقادیر همه وجوه را جمع کرده و بر تعداد وجه ها تقسیم کنید، اما چگونه دقیقاآیا محاسبه ای در حال انجام است؟ راه دیگری برای بیان این موضوع وجود دارد. برای قالب شش وجهی، احتمال رول شدن هر طرف دقیقاً 1/6 است. حالا ضرب می کنیم خروجهر صورت روی احتمالاز این نتیجه (در این مورد 1/6 برای هر طرف)، سپس مقادیر حاصل را جمع می کنیم. بنابراین، جمع (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6) ، ما همان نتیجه (3.5) را در محاسبه بالا بدست می آوریم. در واقع، ما هر بار به این صورت حساب می کنیم: هر نتیجه را در احتمال آن نتیجه ضرب می کنیم.

آیا می توانیم همان محاسبه را برای فلش در زمین بازی در بازی "جنگ هسته ای" انجام دهیم؟ البته که میتونیم. و اگر تمام نتایج یافت شده را جمع کنیم، مقدار متوسط ​​را به دست خواهیم آورد. تنها کاری که باید انجام دهیم این است که احتمال هر نتیجه را برای فلش روی صفحه بازی محاسبه کرده و در نتیجه ضرب کنیم.

مثالی دیگر

این روش محاسبه میانگین با ضرب هر نتیجه در احتمال فردی آن نیز در صورتی مناسب است که نتایج به یک اندازه محتمل باشند اما مزایای متفاوتی داشته باشند، به عنوان مثال اگر یک قالب بچرخانید و در برخی از طرف ها بیشتر از بقیه برنده شوید. به عنوان مثال، بیایید یک بازی کازینو را در نظر بگیریم: شما یک شرط بندی می کنید و 2d6 رول می کنید. اگر سه عدد کم ارزش (2، 3، 4) یا چهار عدد با ارزش بالا (9، 10، 11، 12) را بزنید، مبلغی برابر با شرط خود برنده خواهید شد. اعداد با کمترین و بالاترین ارزش خاص هستند: اگر 2 یا 12 رول کنید، برنده می شوید دو برابر بیشتراز پیشنهاد شما اگر هر عدد دیگری (5، 6، 7، 8) باشد، شرط خود را از دست خواهید داد. این یک بازی بسیار ساده است. اما احتمال برنده شدن چقدر است؟

بیایید با شمارش چند بار برنده شدن شروع کنیم:

• حداکثر تعداد پیامدها هنگام استفاده از 2d6 36 است. تعداد نتایج مطلوب چقدر است؟
• 1 گزینه برای نورد دو و 1 گزینه برای چرخاندن دوازده وجود دارد.
• 2 گزینه برای نورد سه و یازده وجود دارد.
• 3 گزینه برای چرخاندن چهار و 3 گزینه برای چرخاندن ده وجود دارد.
• 4 گزینه برای چرخاندن یک نه وجود دارد.
• با جمع‌بندی همه گزینه‌ها، تعداد نتایج مطلوب 16 از 36 را به دست می‌آوریم.

پس در شرایط عادی 16 بار از 36 مورد ممکن برنده می شوید... احتمال برنده شدن کمی کمتر از 50 درصد است.

اما در دو مورد از این 16 مورد، شما دوبرابر برنده خواهید شد، یعنی. مثل اینه که دوبار بردی! اگر این بازی را 36 بار انجام دهید و هر بار 1 دلار شرط بندی کنید و هر یک از نتایج ممکن یک بار به دست بیاید، در مجموع 18 دلار برنده خواهید شد (در واقع 16 بار برنده خواهید شد، اما دو بار از این زمان ها به عنوان دو برنده محسوب می شود). اگر 36 بار بازی کنید و 18 دلار برنده شوید، به این معنی نیست که شانس برابر است؟

راحت باش. اگر تعداد دفعاتی را که می توانید بشمارید، 20 می گیرید نه 18. اگر 36 بار بازی کنید و هر بار 1 دلار شرط بندی کنید، در مجموع 18 دلار برنده خواهید شد اگر تمام پیک های برنده را بزنید... اما اگر هر 20 پیامد نامطلوب رخ دهد، مجموع مبلغ 20 دلار را از دست خواهید داد! در نتیجه کمی عقب خواهید افتاد: به ازای هر 36 بازی به طور متوسط ​​2 دلار خالص از دست می دهید (همچنین می توانید بگویید که به طور متوسط ​​1/18 دلار در روز ضرر می کنید). حالا می بینید که چقدر راحت می شود در این مورد اشتباه کرد و احتمال را اشتباه محاسبه کرد!

بازآرایی

تا اینجا ما فرض کردیم که ترتیب اعداد هنگام پرتاب تاس مهم نیست. رولینگ 2+4 همان رولینگ 4+2 است. در بیشتر موارد، ما به صورت دستی تعداد نتایج مطلوب را می شماریم، اما گاهی اوقات این روش غیرعملی است و بهتر است از یک فرمول ریاضی استفاده شود.

نمونه ای از این وضعیت از بازی تاس "فارکل" است. برای هر دور جدید، 6d6 رول می کنید. اگر خوش شانس باشید و تمام نتایج ممکن 1-2-3-4-5-6 ("مستقیم") را به دست آورید، پاداش بزرگی دریافت خواهید کرد. احتمال وقوع این اتفاق چقدر است؟ در این صورت گزینه های زیادی برای بدست آوردن این ترکیب وجود دارد!

راه حل به شرح زیر است: یکی از تاس ها (و تنها یکی) باید عدد 1 را داشته باشد! عدد 1 را به چند روش می توان روی یک قالب چرخاند؟ شش، از آنجایی که 6 تاس وجود دارد و هر یک از آنها می تواند عدد 1 را بیاورد. بر این اساس، یک تاس بردارید و آن را کنار بگذارید. حالا یکی از تاس های باقی مانده باید عدد 2 را بیاندازد. پنج گزینه برای این کار وجود دارد. یک قالب دیگر بردارید و آن را کنار بگذارید. سپس چهار تاس باقیمانده ممکن است به عدد 3 بیفتند، سه تاس باقیمانده ممکن است به عدد 4 بیفتند، دو تاس ممکن است به عدد 5 برسند، و در نهایت شما یک دای خواهید داشت که باید عدد 6 را بیاورد (در مورد دوم فقط یک تاس وجود دارد و چاره ای نیست). برای محاسبه تعداد نتایج مطلوب برای ضربه مستقیم، همه گزینه‌های مختلف و مستقل را ضرب می‌کنیم: 6x5x4x3x2x1 = 720 - به نظر می‌رسد تعداد بسیار زیادی احتمال برای این ترکیب وجود دارد.

برای محاسبه احتمال مستقیم شدن، باید 720 را بر تعداد تمام نتایج ممکن برای نورد 6d6 تقسیم کنیم. تعداد تمام نتایج ممکن چقدر است؟ هر تاس می تواند 6 ضلع داشته باشد، بنابراین 6x6x6x6x6x6 = 46656 را ضرب می کنیم (تعداد بسیار بیشتر است!). 720/46656 را تقسیم کنید و احتمال تقریباً 1.5٪ را بدست آورید. اگر این بازی را طراحی می کردید، دانستن این مطلب برای شما مفید خواهد بود تا بتوانید بر اساس آن یک سیستم امتیازدهی ایجاد کنید. اکنون می‌دانیم که چرا در Farkle اگر مستقیم دریافت کنید، چنین پاداش بزرگی دریافت خواهید کرد، زیرا این وضعیت بسیار نادر است!

نتیجه به دلیل دیگری نیز جالب است. این مثال نشان می دهد که در واقع چقدر بندرت نتیجه ای مطابق با احتمال در یک دوره کوتاه رخ می دهد. البته، اگر چندین هزار تاس پرتاب کنیم، قسمت‌های مختلف تاس اغلب بالا می‌آیند. اما وقتی فقط شش تاس می اندازیم، تقریباً هرگزاین اتفاق نمی افتد که هر کدام از صورت ها بیفتند! بر این اساس، مشخص می شود که احمقانه است که انتظار داشته باشیم اکنون چهره دیگری ظاهر شود، که هنوز سقوط نکرده است "زیرا ما مدت زیادی است که عدد 6 را نچرخانیم، یعنی اکنون سقوط خواهد کرد."

گوش کن، مولد اعداد تصادفی شما خراب است...

این ما را به یک تصور غلط رایج در مورد احتمال می رساند: این فرض که همه پیامدها در فرکانس یکسان رخ می دهند. در یک بازه زمانی کوتاه، که در واقع اینطور نیست. اگر چندین بار تاس پرتاب کنیم، دفعات افتادن هر طرف یکسان نخواهد بود.

اگر قبلاً روی یک بازی آنلاین با هر نوع تولید کننده اعداد تصادفی کار کرده اید، به احتمال زیاد با موقعیتی مواجه شده اید که در آن بازیکن به پشتیبانی فنی نامه می نویسد و می گوید که مولد اعداد تصادفی شما خراب است و اعداد تصادفی را نشان نمی دهد. و او به این نتیجه رسید زیرا او فقط 4 هیولا را پشت سر هم کشت و 4 جایزه دقیقاً مشابه دریافت کرد و این جوایز فقط باید 10٪ مواقع ظاهر شوند ، بنابراین این تقریبا هرگزنباید اتفاق افتادن، که به این معنی است به طور مشخصکه مولد اعداد تصادفی شما خراب است.

شما در حال انجام یک محاسبه ریاضی هستید. 1/10*1/10*1/10*1/10 برابر است با 1 در 10000، یعنی کاملاً نادر است. و این دقیقاً همان چیزی است که بازیکن سعی دارد به شما بگوید. آیا در این مورد مشکلی وجود دارد؟

همه چیز به شرایط بستگی دارد. در حال حاضر چند بازیکن در سرور شما هستند؟ فرض کنید یک بازی نسبتاً محبوب دارید و هر روز 100000 نفر آن را بازی می کنند. چند بازیکن می توانند چهار هیولا را پشت سر هم بکشند؟ هر چیزی ممکن است، چندین بار در روز، اما فرض کنیم که نیمی از آنها فقط در حال معامله اقلام مختلف در حراجی ها یا چت کردن در سرورهای RP یا انجام سایر فعالیت های درون بازی هستند، بنابراین فقط نیمی از آنها در واقع در حال شکار هیولا هستند. احتمالش چقدره به شخصیآیا همان پاداش ظاهر می شود؟ در این شرایط، شما می توانید انتظار داشته باشید که یک پاداش می تواند چندین بار در روز ظاهر شود، حداقل!

به هر حال، به همین دلیل است که حداقل هر چند هفته یکبار به نظر می رسد کسیبرنده لاتاری می شود، حتی اگر شخصی باشد هرگزاین شما یا دوستانتان نیستید. اگر هر هفته تعداد زیادی نفر بازی کنند، حداقل شانس وجود دارد یکیخوش شانس... اما اگر شمااگر در لاتاری بازی کنید، احتمال برنده شدن شما کمتر از احتمال دعوت به کار در Infinity Ward است.

کارت و اعتیاد

ما درباره رویدادهای مستقل، مانند چرخاندن یک قالب بحث کرده‌ایم و اکنون ابزارهای قدرتمند زیادی برای تجزیه و تحلیل تصادفی بودن در بسیاری از بازی‌ها می‌دانیم. محاسبه احتمال در مورد کشیدن کارت‌ها از یک عرشه کمی پیچیده‌تر است، زیرا هر کارتی که می‌کشیم روی کارت‌های باقی مانده در عرشه تأثیر می‌گذارد. اگر یک عرشه استاندارد 52 کارتی دارید و مثلاً 10 قلب بیرون می آورید و می خواهید بدانید که کارت بعدی از همان لباس خواهد بود، احتمال تغییر کرده است زیرا قبلاً یک کارت از لباس را حذف کرده اید. قلب ها از روی عرشه هر کارتی که حذف می کنید، احتمال کارت بعدی در عرشه را تغییر می دهد. از آنجایی که در این حالت رویداد قبلی روی رویداد بعدی تأثیر می گذارد، این احتمال را می نامیم وابسته.

لطفاً توجه داشته باشید که وقتی می‌گویم "کارت" منظورم است هرمکانیک بازی که در آن مجموعه ای از اشیاء وجود دارد و شما یکی از اشیاء را بدون تعویض آن حذف می کنید، یک "عرشه کارت" در این مورد مشابه کیسه ای از تراشه است که یک تراشه را از آن جدا می کنید و آن را جایگزین نمی کنید، یا urn که از آن تیله‌های رنگی می‌کشید (در واقع هرگز بازی‌ای ندیده‌ام که یک کوزه با تیله‌های رنگی از آن کشیده شده باشد، اما به نظر می‌رسد که معلمان احتمال به دلایلی این مثال را ترجیح می‌دهند).

ویژگی های وابستگی

می‌خواهم توضیح دهم که وقتی صحبت از کارت‌ها می‌شود، فرض می‌کنم که شما کارت‌ها را می‌کشید، به آن‌ها نگاه می‌کنید و از روی عرشه حذف می‌کنید. هر یک از این اقدامات یک خاصیت مهم است.

اگر یک دسته از مثلاً شش کارت با اعداد 1 تا 6 داشتم و آنها را به هم می زدم و یک کارت را بیرون می آوردم و سپس دوباره هر شش کارت را به هم می زدم، شبیه پرتاب یک قالب شش وجهی بود. یک نتیجه بر نتایج بعدی تأثیر نمی گذارد. فقط اگر کارت بکشم و آنها را جایگزین نکنم، نتیجه کشیدن کارتی با عدد 1 احتمال اینکه دفعه بعد کارتی با عدد 6 بکشم افزایش می یابد (احتمال زیاد می شود تا اینکه در نهایت آن کارت را بکشم یا تا زمانی که کارت ها را به هم بزنم).

این واقعیت که ما نگاه کنروی کارت ها نیز مهم است. اگر کارتی را از روی عرشه حذف کنم و به آن نگاه نکنم، هیچ اطلاعات اضافی ندارم و احتمال آن در واقع تغییر نمی کند. این ممکن است مخالف به نظر برسد. چگونه به سادگی ورق زدن یک کارت می تواند شانس را به طور جادویی تغییر دهد؟ اما این امکان پذیر است زیرا شما می توانید احتمال موارد ناشناخته را فقط بر اساس آنچه که دارید محاسبه کنید میدونی. به عنوان مثال، اگر یک دسته استاندارد از کارت ها را به هم بزنید و 51 کارت را نشان دهید و هیچ یک از آنها ملکه کلوپ ها نیستند، با اطمینان 100٪ خواهید فهمید که کارت باقی مانده ملکه کلوپ ها است. اگر یک دسته استاندارد از کارت ها را به هم بزنید و 51 کارت بکشید، با وجودبر روی آنها، پس احتمال اینکه کارت باقی مانده ملکه کلوپ ها باشد، همچنان 1/52 خواهد بود. با باز کردن هر کارت، اطلاعات بیشتری دریافت می کنید.

محاسبه احتمال رویدادهای وابسته از همان اصولی پیروی می‌کند که برای رویدادهای مستقل انجام می‌شود، با این تفاوت که کمی پیچیده‌تر است زیرا با آشکار کردن کارت‌ها، احتمالات تغییر می‌کنند. بنابراین شما باید به جای ضرب مقدار یکسان، مقادیر زیادی را ضرب کنید. این واقعاً به این معنی است که ما باید تمام محاسباتی را که انجام دادیم در یک ترکیب ترکیب کنیم.

مثال

شما یک عرشه استاندارد 52 کارتی را به هم می زنید و دو کارت می کشید. احتمال اینکه یک جفت بکشید چقدر است؟ روش های مختلفی برای محاسبه این احتمال وجود دارد، اما شاید ساده ترین آنها به شرح زیر باشد: احتمال اینکه اگر یک کارت را بردارید، نتوانید یک جفت را خارج کنید چقدر است؟ این احتمال صفر است، بنابراین مهم نیست که کدام کارت اول را می کشید، تا زمانی که با کارت دوم مطابقت داشته باشد. مهم نیست که کدام کارت را اول بکشیم، باز هم شانس کشیدن یک جفت را داریم، بنابراین احتمال اینکه بعد از کشیدن اولین کارت بتوانیم یک جفت بکشیم 100٪ است.

احتمال اینکه کارت دوم با کارت اول مطابقت داشته باشد چقدر است؟ 51 کارت در عرشه باقی مانده است و 3 تای آنها با کارت اول مطابقت دارد (در واقع 4 کارت از 52 کارت وجود دارد، اما شما قبلاً یکی از کارت های منطبق را با برداشتن اولین کارت حذف کرده اید!) بنابراین احتمال 1 است. /17. (بنابراین دفعه بعد که مردی که روبروی شما در حال بازی تگزاس هولدم می‌نشیند، می‌گوید: "باحال، یک جفت دیگر؟ امروز احساس خوشبختی می‌کنم"، می‌دانید که احتمال بلوف زدن او بسیار زیاد است.)

اگر دو جوکر اضافه کنیم و حالا 54 کارت در عرشه داشته باشیم و بخواهیم بدانیم که احتمال ترسیم یک جفت چقدر است؟ کارت اول ممکن است یک جوکر باشد و سپس عرشه فقط شامل یکیکارت، نه سه، که مطابقت دارد. چگونه احتمال را در این مورد پیدا کنیم؟ ما احتمالات را تقسیم می کنیم و هر احتمال را ضرب می کنیم.

اولین کارت ما می تواند جوکر یا کارت دیگری باشد. احتمال کشیدن جوکر 2/54 و احتمال کشیدن کارت دیگر 52/54 است.

اگر کارت اول جوکر باشد (2/54)، احتمال اینکه کارت دوم با کارت اول مطابقت داشته باشد 1/53 است. ضرب مقادیر (می توانیم آنها را ضرب کنیم زیرا اینها رویدادهای جداگانه ای هستند و ما می خواهیم هر دووقایع رخ داده است) و ما 1/1431 را دریافت می کنیم - کمتر از یک دهم درصد.

اگر ابتدا کارت دیگری بکشید (52/54)، احتمال مطابقت با کارت دوم 3/53 است. مقادیر را ضرب می کنیم و 78/1431 (کمی بیشتر از 5.5٪) به دست می آید.

با این دو نتیجه چه کنیم؟ آنها تلاقی نمی کنند و ما می خواهیم احتمال آن را بدانیم هر کساز آنها، بنابراین ما مقادیر را جمع می کنیم! ما نتیجه نهایی 79/1431 (هنوز حدود 5.5٪) را دریافت می کنیم.

اگر بخواهیم از صحت پاسخ مطمئن شویم، می‌توانیم احتمال تمام نتایج ممکن دیگر را محاسبه کنیم: کشیدن جوکر و عدم تطابق با کارت دوم، یا کشیدن کارت دیگری و عدم تطابق با کارت دوم و اضافه کردن آنها. همه با احتمال برنده شدن، ما دقیقاً 100٪ می گیریم. من ریاضی را اینجا نمی‌دهم، اما می‌توانید ریاضی را امتحان کنید تا دوبار بررسی کنید.

پارادوکس مونتی هال

این ما را به یک پارادوکس نسبتاً معروف می رساند که اغلب افراد بسیاری را گیج می کند - پارادوکس مونتی هال. این پارادوکس به نام مجری برنامه تلویزیونی "بیایید معامله کنیم" مونتی هال نامگذاری شده است. اگر تا به حال این برنامه را ندیده اید، برعکس برنامه تلویزیونی "قیمت مناسب است" بوده است. در «قیمت مناسب است»، میزبان (میزبان قبلا باب بارکر بود، حالا... درو کری؟ به هر حال...) دوست شماست. او می خواهدبنابراین می توانید برنده پول یا جوایز جالب شوید. سعی می کند هر فرصتی را برای برنده شدن در اختیار شما قرار دهد، تا زمانی که بتوانید حدس بزنید اقلام خریداری شده توسط حامیان مالی واقعاً چقدر ارزش دارند.

مونتی هال رفتار متفاوتی داشت. او شبیه همزاد شیطانی باب بارکر بود. هدف او این بود که شما را در تلویزیون ملی شبیه یک احمق جلوه دهد. اگر در برنامه حضور داشتید، او حریف شما بود، مقابل او بازی کردید و شانس به نفع او بود. شاید من خیلی خشن هستم، اما وقتی شانس انتخاب شدن به عنوان یک شرکت کننده به نظر مستقیماً با کت و شلوار مضحک پوشیده می شود، به چنین نتیجه گیری هایی می رسم.

اما یکی از معروف ترین میم های سریال این بود: سه در جلوی شما بود که به آنها می گفتند در شماره 1، در شماره 2 و در شماره 3. شما می توانید یک در را ... رایگان انتخاب کنید! پشت یکی از این درها یک جایزه باشکوه، مثلاً یک ماشین جدید بود. هیچ جایزه ای پشت درهای دیگر نبود. هدف آنها تحقیر شما بود و بنابراین اینطور نیست که اصلاً هیچ چیز پشت آنها نبود، چیزی پشت سر آنها بود که احمقانه به نظر می رسید ، مانند یک بز پشت سر آنها یا یک لوله بزرگ خمیر دندان یا چیزی ... چیزی ، دقیقاً چه چیزی اتفاق افتاد نهیک ماشین سواری نو

داشتی یکی از درها را انتخاب می‌کردی و مونتی می‌خواست آن را باز کند تا بداند برنده شدی یا نه... اما صبر کن، قبل از اینکه بدانیم، بیایید به یکی از آنها نگاه کنیم آن هادرب شما انتخاب نشده است. از آنجایی که مونتی می داند که جایزه پشت کدام در است و فقط یک جایزه وجود دارد و دودرهایی را که تو انتخاب نکردی، هر چه باشد، او همیشه می تواند دری را باز کند که جایزه ای پشتش نباشد. "آیا درب شماره 3 را انتخاب می کنید؟ سپس، بیایید در شماره 1 را باز کنیم تا نشان دهیم که هیچ جایزه ای پشت آن نیست.» و اکنون، از روی سخاوت، به شما این فرصت را می دهد که درب شماره 3 انتخابی خود را با آنچه در پشت در شماره 2 قرار دارد مبادله کنید. در این مرحله است که سؤال احتمال مطرح می شود: آیا انتخاب درب دیگری احتمال شما را افزایش می دهد. برنده شدن، یا کاهش آن، یا همان باقی می ماند؟ شما چطور فکر می کنید؟

پاسخ صحیح: امکان انتخاب درب دیگر افزایشاحتمال برنده شدن از 1/3 تا 2/3. این غیر منطقی است. اگر قبلاً با این پارادوکس مواجه نشده اید، احتمالاً به این فکر می کنید: صبر کنید، آیا با باز کردن یک در، احتمال را به طرز جادویی تغییر دادیم؟ اما همانطور که قبلاً در مثال با کارت های بالا دیدیم، این است دقیقاوقتی اطلاعات بیشتری به دست می آوریم چه اتفاقی می افتد بدیهی است که احتمال برنده شدن در اولین انتخاب 1/3 است و من معتقدم که همه با این موافق خواهند بود. وقتی یک در باز می شود، به هیچ وجه احتمال برنده شدن برای انتخاب اول را تغییر نمی دهد، احتمال هنوز 1/3 است، اما این به این معنی است که احتمال اینکه دیگردرب اکنون 2/3 درست است.

بیایید از منظر دیگری به این مثال نگاه کنیم. شما یک در را انتخاب کنید. احتمال برنده شدن 1/3 است. بهت پیشنهاد میکنم عوض کنی دودرهای دیگر، چیزی که مونتی هال در واقع پیشنهاد انجام آن را دارد. البته یکی از درها را باز می کند تا نشان دهد که هیچ جایزه ای پشت آن نیست اما او همیشهمی تواند این کار را انجام دهد، بنابراین واقعاً چیزی را تغییر نمی دهد. البته شما می خواهید درب متفاوتی را انتخاب کنید!

اگر در مورد این موضوع کاملاً واضح نیستید و نیاز به توضیح قانع‌کننده‌تری دارید، روی این پیوند کلیک کنید تا به یک برنامه بزرگ کوچک فلش بروید که به شما امکان می‌دهد این پارادوکس را با جزئیات بیشتری بررسی کنید. می توانید با حدود 10 در شروع کنید و سپس به تدریج به بازی با سه در بروید. همچنین یک شبیه ساز وجود دارد که می توانید هر تعداد در را از 3 تا 50 انتخاب کنید و چندین هزار شبیه سازی را بازی یا اجرا کنید و ببینید اگر بازی کنید چند بار برنده خواهید شد.

نکته ای از معلم ریاضیات عالی و متخصص تعادل بازی ماکسیم سولداتوف، که البته شریبر آن را نداشت، اما بدون آن درک این تحول جادویی بسیار دشوار است:

شما یک در را انتخاب می کنید، یکی از سه، احتمال "برنده شدن" 1/3 است. اکنون شما 2 استراتژی دارید: تغییر پس از باز کردن درب اشتباه، انتخاب یا عدم انتخاب. اگر انتخاب خود را تغییر ندهید، احتمال 1/3 باقی می ماند، زیرا انتخاب فقط در مرحله اول اتفاق می افتد و شما باید بلافاصله حدس بزنید، اما اگر تغییر کردید، اگر ابتدا اشتباه را انتخاب کنید، می توانید برنده شوید. در (سپس آنها در دیگری را باز می کنند، وفادار می ماند، شما نظر خود را تغییر می دهید و او را می گیرید)
احتمال انتخاب درب اشتباه در ابتدا 2/3 است، بنابراین معلوم می شود که با تغییر تصمیم خود، احتمال برنده شدن را 2 برابر بیشتر می کنید.

و دوباره در مورد پارادوکس مونتی هال

در مورد خود نمایش، مونتی هال این را می دانست زیرا حتی اگر رقبای او در ریاضیات خوب نبودند، اوخوب آن را درک می کند در اینجا کاری است که او انجام داد تا کمی بازی را تغییر دهد. اگر دری را انتخاب کردید که پشت آن یک جایزه وجود داشت که احتمال آن 1/3 است، همیشهبه شما این فرصت را داد که درب دیگری را انتخاب کنید. به هر حال، شما یک ماشین سواری را انتخاب کرده اید و سپس آن را با یک بز عوض می کنید و بسیار احمق به نظر می رسید، این دقیقا همان چیزی است که او به آن نیاز دارد، زیرا او یک جور آدم شیطانی است. اما اگر دری که پشت آن است را انتخاب کنید هیچ جایزه ای وجود نخواهد داشت، فقط به نصفدر چنین مواقعی او شما را به انتخاب در دیگری ترغیب می کند و در موارد دیگر به سادگی بز جدیدتان را به شما نشان می دهد و شما صحنه را ترک می کنید. بیایید این بازی جدید را که مونتی هال در آن می تواند تجزیه و تحلیل کنیم انتخاب کنیدبه شما این امکان را می دهد که درب دیگری را انتخاب کنید یا نه.

فرض کنید او از این الگوریتم پیروی می کند: اگر دری را با جایزه انتخاب کنید، او همیشه به شما این فرصت را می دهد که در دیگری را انتخاب کنید، در غیر این صورت احتمال 50/50 وجود دارد که به شما پیشنهاد دهد در دیگری را انتخاب کنید یا یک بز به شما بدهد. احتمال برنده شدن شما چقدر است؟

در یکی از سه گزینه، بلافاصله دری که جایزه پشت آن قرار دارد را انتخاب می کنید و مجری شما را به انتخاب در دیگری دعوت می کند.

از بین دو گزینه باقی مانده از سه (شما در ابتدا درب را بدون جایزه انتخاب می کنید)، در نیمی از موارد ارائه دهنده به شما پیشنهاد می دهد درب دیگری را انتخاب کنید و در نیمی دیگر از موارد - نه. نیمی از 2/3 1/3 است، یعنی. در یک مورد از سه مورد شما یک بز می گیرید، در یک مورد از سه مورد در را اشتباه انتخاب می کنید و میزبان از شما می خواهد که یکی دیگر را انتخاب کنید و در یک مورد از سه مورد شما انتخاب می کنید. درب سمت راستو از شما می خواهد که در دیگری را انتخاب کنید.

اگر مجری پیشنهاد داد در دیگری را انتخاب کنیم، ما از قبل می دانیم که از هر سه مورد، وقتی یک بز به ما می دهد و ما می رویم، آن یک مورد اتفاق نیفتاده است. این اطلاعات مفیدی است زیرا به این معنی است که شانس ما برای برنده شدن تغییر کرده است. در دو مورد از سه مورد که فرصت انتخاب داریم، در یک مورد به این معنی است که درست حدس زده ایم و در مورد دیگر اشتباه حدس زده ایم، بنابراین اگر اصلاً به ما فرصت انتخاب داده شود، به این معنی است که احتمال برنده شدن ما 50/50 است و هیچ وجود ندارد ریاضیمزایا، با انتخاب خود باقی بمانید یا درب دیگری را انتخاب کنید.

مانند پوکر، اکنون یک بازی روانی است، نه یک بازی ریاضی. مونتی به شما حق انتخاب داد زیرا فکر می‌کند شما یک آدم مکنده هستید که نمی‌داند انتخاب درب دیگر تصمیم «درست» است و شما سرسختانه به انتخاب خود ادامه می‌دهید زیرا از نظر روانی شرایط زمانی است که شما انتخاب کرده‌اید. ماشین، و سپس آن را گم کرده، سخت تر؟ یا فکر می‌کند شما باهوش هستید و در دیگری را انتخاب می‌کند و این فرصت را به شما پیشنهاد می‌کند چون می‌داند در وهله اول درست حدس زدید و گرفتار و گرفتار خواهید شد؟ یا شاید او به طرز نامشخصی با خودش مهربان است و شما را وادار می کند تا کاری را به نفع شخصی خود انجام دهید، زیرا مدتی است که ماشینی را هدیه نداده است و تهیه کنندگانش به او می گویند که حوصله تماشاگر دارد و او بهتر است یک ماشین را به او بدهد. جایزه بزرگ به زودی تا رتبه ها سقوط نکنند؟

به این ترتیب، مونتی موفق می شود (گاهی اوقات) گزینه هایی را ارائه دهد و همچنان احتمال برنده شدن را در 1/3 حفظ می کند. به یاد داشته باشید که احتمال شکست شما 1/3 است. احتمال اینکه شما فوراً درست حدس بزنید 1/3 است و 50٪ از این دفعات برنده خواهید شد (1/3 x 1/2 = 1/6). احتمال اینکه در ابتدا اشتباه حدس بزنید اما بعداً شانس انتخاب در دیگری را داشته باشید 1/3 است و 50٪ از این مواقع برنده خواهید شد (همچنین 1/6). دو احتمال مستقل برای برنده شدن را با هم جمع کنید و احتمال 1/3 را به دست می آورید، بنابراین چه به انتخاب خود پایبند باشید و چه در دیگری را انتخاب کنید، احتمال برنده شدن شما در طول بازی 1/3 است ... احتمال بیشتر نمی شود. از موقعیتی که در را حدس می زدی و مجری به تو نشان می داد پشت این در چه چیزی وجود دارد، بدون اینکه فرصتی برای انتخاب در دیگری وجود داشته باشد! بنابراین هدف از ارائه گزینه انتخاب درب متفاوت، تغییر احتمال نیست، بلکه این است که فرآیند تصمیم گیری برای تماشای تلویزیون سرگرم کننده تر شود.

به هر حال، این یکی از دلایلی است که پوکر می تواند بسیار جالب باشد: در اکثر فرمت ها، بین دورهایی که شرط بندی می شود (به عنوان مثال، فلاپ، ترن و ریور در تگزاس هولدم)، کارت ها به تدریج آشکار می شوند. و اگر در ابتدای بازی یک احتمال برنده شدن دارید، پس از هر دور شرط بندی، زمانی که کارت های بیشتری آشکار شد، این احتمال تغییر می کند.

پارادوکس دختر و پسر

این ما را به پارادوکس معروف دیگری می رساند که معمولاً همه را متحیر می کند - پارادوکس پسر و دختر. تنها چیزی که امروز در مورد آن می نویسم که مستقیماً به بازی ها مربوط نمی شود (اگرچه حدس می زنم این فقط به این معنی است که باید شما را تشویق کنم تا مکانیک های بازی مرتبط ایجاد کنید). این بیشتر یک معما است، اما جالب است، و برای حل آن، باید احتمال شرطی را که در بالا در مورد آن صحبت کردیم، درک کنید.

مشکل: من یک دوست با دو فرزند دارم، حداقل یکیبچه دختر است احتمال اینکه فرزند دوم چقدر است یکساندختر بیایید فرض کنیم که در هر خانواده ای 50/50 شانس دختر یا پسر شدن وجود دارد و این برای هر فرزند صادق است (در واقع برخی از مردان دارای اسپرم بیشتری با کروموزوم X یا Y هستند، بنابراین احتمال تغییر می کند. کمی اگر می دانید یک فرزند دختر است، احتمال دختردار شدن کمی بیشتر است، علاوه بر آن شرایط دیگری نیز وجود دارد، مثلاً هرمافرودیتیسم، اما برای حل این مشکل، این را در نظر نمی گیریم و فرض می کنیم که تولد فرزند یک رویداد مستقل است و احتمال پسر یا دختر داشتن یکسان است).

از آنجایی که ما در مورد شانس 1/2 صحبت می کنیم، به طور شهودی انتظار داریم که پاسخ احتمالاً 1/2 یا 1/4 یا یک عدد گرد دیگر باشد که مضرب دو باشد. اما پاسخ این است: 1/3 . صبر کن چرا

مشکل اینجاست که اطلاعاتی که داریم تعداد احتمالات را کاهش می دهد. فرض کنید والدین طرفداران خیابان سیسمونی هستند و صرف نظر از اینکه فرزند پسر است یا دختر، نام فرزندان خود را A و B گذاشته اند. در شرایط عادی، چهار احتمال به یک اندازه وجود دارد: A و B دو پسر هستند، A و B. ب دو دختر، الف پسر و ب دختر، الف دختر و ب پسر است. از آنجایی که ما می دانیم حداقل یکیبچه دختر است، می‌توانیم این احتمال را که الف و ب دو پسر هستند را از بین ببریم، بنابراین سه احتمال (هنوز به همان اندازه) برای ما باقی می‌ماند. اگر همه احتمالات به یک اندازه باشد و سه مورد از آنها وجود داشته باشد، می دانیم که احتمال هر یک از آنها 1/3 است. فقط در یکی از این سه گزینه هر دو فرزند دختر هستند پس جواب 1/3 است.

و دوباره در مورد پارادوکس یک پسر و یک دختر

راه حل مشکل حتی غیر منطقی تر می شود. تصور کنید که من به شما بگویم که دوست من دو فرزند و یک فرزند دارد - دختری که روز سه شنبه به دنیا آمد. فرض کنید در شرایط عادی احتمال تولد فرزند در یکی از روزهای هفتگی یکسان است. احتمال اینکه فرزند دوم هم دختر باشد چقدر است؟ ممکن است فکر کنید که پاسخ همچنان 1/3 خواهد بود. اهمیت روز سه شنبه چیست؟ اما حتی در این مورد، شهود ما را شکست می دهد. پاسخ: 13/27 ، که نه تنها غیر شهودی است، بلکه بسیار عجیب است. موضوع چیه در این مورد?

در واقع سه شنبه احتمال را تغییر می دهد زیرا ما نمی دانیم کدامکودک در روز سه شنبه یا شاید به دنیا آمد دو بچهمتولد سه شنبه در این مورد، ما از همان منطق بالا استفاده می کنیم، همه ترکیبات ممکن را زمانی می شماریم که حداقل یک فرزند دختر متولد سه شنبه باشد. همانطور که در مثال قبلی، فرض می کنیم که نام بچه ها A و B باشد، ترکیب ها به این صورت هستند:

• الف دختری است که در روز سه شنبه به دنیا آمده است، ب یک پسر است (در این شرایط 7 احتمال وجود دارد، یکی برای هر روز از هفته که می تواند پسری به دنیا بیاید).
• B دختری است که در روز سه شنبه متولد شده است، A پسر است (همچنین 7 احتمال).
• الف دختری است که در روز سه شنبه به دنیا آمده است، ب دختری است که در روز متولد شده است یکی دیگرروز هفته (6 احتمال).
• ب دختری است که روز سه شنبه به دنیا آمده است، الف دختری است که سه شنبه به دنیا نیامده است (همچنین 6 احتمال).
• الف و ب دو دختری هستند که روز سه شنبه به دنیا آمده اند (1 احتمال، باید به این نکته توجه کنید تا دو بار نشمارید).

ما با هم جمع می‌کنیم و 27 ترکیب متفاوت به همان اندازه ممکن از تولد فرزندان و روزهای با حداقل یک احتمال تولد یک دختر در روز سه‌شنبه را به دست می‌آوریم. از این تعداد، 13 احتمال وجود دارد که دو دختر به دنیا بیایند. همچنین کاملاً غیر منطقی به نظر می رسد و به نظر می رسد این وظیفه فقط برای ایجاد سردرد ایجاد شده است. اگر هنوز با این مثال گیج هستید، نظریه‌پرداز بازی، Jesper Juhl توضیح خوبی در مورد این موضوع در وب‌سایت خود دارد.

اگر در حال حاضر روی یک بازی کار می کنید ...

اگر در بازی که در حال طراحی آن هستید تصادفی وجود دارد، اکنون زمان خوبی برای تجزیه و تحلیل آن است. عنصری را که می خواهید تحلیل کنید انتخاب کنید. ابتدا از خود بپرسید که با توجه به انتظارات شما، احتمال یک عنصر معین چقدر است، فکر می کنید در چارچوب بازی چه چیزی باید باشد. به عنوان مثال، اگر در حال ساخت یک بازی RPG هستید و به این فکر می کنید که احتمال اینکه بازیکن بتواند یک هیولا را در نبرد شکست دهد چقدر باید باشد، از خود بپرسید که چه درصدی از برد برای شما مناسب است. به طور معمول هنگام بازی RPG های کنسول، بازیکنان هنگام باخت بسیار ناراحت می شوند، بنابراین بهتر است که اغلب بازنده نشوند... شاید 10٪ مواقع یا کمتر؟ اگر شما یک طراح RPG هستید، احتمالا بهتر از من می دانید، اما باید یک ایده اولیه از میزان احتمال آن داشته باشید.

سپس از خود بپرسید که آیا این چیزی است؟ وابسته(مانند کارت) یا مستقل(مثل تاس). تمام نتایج ممکن و احتمالات آنها را تجزیه و تحلیل کنید. مطمئن شوید که مجموع همه احتمالات 100٪ باشد. و در نهایت، البته، نتایج خود را با نتایج انتظارات خود مقایسه کنید. آیا تاس انداختن یا کشیدن کارت به روشی که مد نظر شماست اتفاق می افتد یا می بینید که باید مقادیر را تنظیم کنید. و البته اگر شما پیدا خواهید کردآنچه نیاز به تنظیم دارد، می توانید از همان محاسبات برای تعیین میزان نیاز به تنظیم استفاده کنید!

تکلیف خانه

"تکلیف" شما در این هفته به شما کمک می کند تا مهارت های احتمالی خود را تقویت کنید. در اینجا دو بازی تاس و یک بازی با ورق وجود دارد که با استفاده از احتمال تجزیه و تحلیل خواهید کرد، و همچنین مکانیک بازی عجیبی که من زمانی ایجاد کردم که روش مونت کارلو را آزمایش می کند.

بازی شماره 1 - استخوان اژدها

این یک بازی تاس است که من و همکارانم زمانی به آن دست یافتیم (به لطف جب هاونز و جسی کینگ!) و به طور خاص با احتمالاتش اذهان مردم را منفجر می کند. این یک بازی کازینوی ساده به نام "Dragon Dice" است و یک مسابقه تاس قمار بین بازیکن و خانه است. به شما یک قالب معمولی 1d6 داده می شود. هدف از این بازی این است که یک عدد بالاتر از خانه رول کنید. به تام یک 1d6 غیر استاندارد داده می شود - همان مال شما، اما به جای 1 در یک طرف تصویری از یک اژدها وجود دارد (بنابراین، کازینو دارای یک قالب اژدها است - 2-3-4-5-6). اگر خانه اژدها را دریافت کند، به طور خودکار برنده می شود و شما بازنده می شوید. اگر هر دو به یک عدد رسیدید، مساوی است و دوباره تاس می اندازید. کسی که بیشترین تعداد را می زند برنده است.

البته، همه چیز کاملاً به نفع بازیکن پیش نمی‌رود، زیرا کازینو مزیتی در قالب Dragon's Edge دارد. اما این واقعا درست است؟ شما باید این را محاسبه کنید. اما قبل از آن، شهود خود را بررسی کنید. فرض کنید بردها 2 به 1 است. بنابراین اگر برنده شدید، شرط خود را نگه می دارید و شرط خود را دو برابر می کنید. به عنوان مثال، اگر 1 دلار شرط بندی کنید و برنده شوید، آن دلار را نگه می دارید و 2 دلار دیگر را در مجموع 3 دلار دریافت می کنید. اگر ببازید، فقط شرط خود را باخته اید. آیا شما بازی می کنید؟ بنابراین، آیا به طور شهودی احساس می کنید که احتمال آن بیشتر از 2 به 1 است یا هنوز فکر می کنید که این احتمال کمتر است؟ به عبارت دیگر، به طور متوسط ​​بیش از 3 بازی، آیا انتظار دارید بیش از یک بار یا کمتر یا یک بار برنده شوید؟

هنگامی که شهود خود را مرتب کردید، از ریاضیات استفاده کنید. تنها 36 موقعیت ممکن برای هر دو تاس وجود دارد، بنابراین می توانید همه آنها را بدون مشکل بشمارید. اگر در مورد پیشنهاد 2 به 1 مطمئن نیستید، این را در نظر بگیرید: فرض کنید بازی را 36 بار انجام داده اید (هر بار 1 دلار شرط بندی کرده اید). برای هر برد 2 دلار، برای هر باخت 1 دلار دریافت می کنید و تساوی چیزی را تغییر نمی دهد. تمام بردها و باخت های احتمالی خود را محاسبه کنید و تصمیم بگیرید که آیا مقدار مشخصی دلار را از دست خواهید داد یا به دست آورید. سپس از خود بپرسید که شهود شما چقدر درست بوده است. و بعد بفهمی که من چه شروری هستم.

و، بله، اگر قبلاً در مورد این سؤال فکر کرده اید - من عمداً شما را با ارائه نادرست مکانیک واقعی بازی های تاس گیج می کنم، اما مطمئن هستم که می توانید فقط با کمی فکر بر این مانع غلبه کنید. سعی کنید خودتان این مشکل را حل کنید. همه پاسخ ها را هفته آینده اینجا می گذارم.

بازی شماره 2 - پرتاب برای شانس

این یک بازی قمار تاس به نام "Roll for Luck" است (همچنین "Birdcage" زیرا گاهی اوقات تاس ها پرتاب نمی شوند، بلکه در یک قفس سیمی بزرگ قرار می گیرند که یادآور قفس از "Bingo" است). این یک بازی ساده است که اساساً به این خلاصه می شود: مثلاً 1 دلار روی یک عدد از 1 تا 6 شرط بندی کنید. سپس 3d6 را رول می کنید. به ازای هر بار که شماره شما را به دست می آورد، 1 دلار دریافت می کنید (و شرط اصلی خود را حفظ می کنید). اگر شماره شما روی هیچ یک از تاس ها نیامد، کازینو دلار شما را می گیرد و شما چیزی دریافت نمی کنید. بنابراین اگر روی 1 شرط بندی کنید و سه بار از طرفین 1 بگیرید، 3 دلار دریافت می کنید.

به طور شهودی به نظر می رسد که این بازی شانس های برابری دارد. هر قالب یک شانس 1 در 6 برای برنده شدن است، بنابراین وقتی هر سه تاس را جمع کردید، شانس برنده شدن شما 3 در 6 است. البته، البته به یاد داشته باشید که سه تاس جداگانه اضافه می کنید و فقط مجاز به اضافه کردن هستید. اگر ما در مورد ترکیب های برنده جداگانه یک قالب صحبت می کنیم. چیزی که باید ضرب کنید.

هنگامی که تمام نتایج ممکن را محاسبه کردید (احتمالاً انجام آن در اکسل ساده تر از دستی است، زیرا 216 مورد وجود دارد)، بازی همچنان در نگاه اول عجیب و غریب به نظر می رسد. اما در واقعیت، کازینو هنوز شانس بیشتری برای برنده شدن دارد - چقدر بیشتر؟ به طور خاص، انتظار دارید به طور متوسط ​​در هر دور بازی چقدر پول از دست بدهید؟ تنها کاری که باید انجام دهید این است که بردها و باخت های همه 216 نتیجه را جمع کنید و سپس بر 216 تقسیم کنید، که باید بسیار آسان باشد... اما همانطور که می بینید، چند تله وجود دارد که می توانید در آنها بیفتید، و به همین دلیل است که من به شما می گویم: اگر فکر می کنید که این بازی شانس یکسانی برای برنده شدن دارد، همه چیز را اشتباه گرفته اید.

بازی شماره 3 - پوکر کارت 5

اگر قبلاً با بازی های قبلی خود را گرم کرده اید، بیایید آنچه را که در مورد احتمال شرطی با استفاده از این بازی کارتی به عنوان مثال می دانیم، بررسی کنیم. به طور خاص، بیایید یک بازی پوکر را با یک دسته 52 کارتی تصور کنیم. بیایید گل میخ 5 کارتی را نیز تصور کنیم، جایی که هر بازیکن فقط 5 کارت دریافت می کند. شما نمی توانید یک کارت را دور بیندازید، نمی توانید کارت جدیدی بکشید، هیچ دسته مشترکی وجود ندارد - فقط 5 کارت دریافت می کنید.

فلاش رویال در یک دست 10-J-Q-K-A است، در مجموع چهار عدد وجود دارد، بنابراین چهار راه ممکن برای گرفتن فلاش رویال وجود دارد. احتمال اینکه یکی از این ترکیب ها را بدست آورید را محاسبه کنید.

من باید یک چیز را به شما گوشزد کنم: به یاد داشته باشید که می توانید این پنج کارت را به هر ترتیبی بکشید. یعنی ابتدا می توانید یک آس یا ده بکشید، مهم نیست. بنابراین هنگام محاسبه این، به خاطر داشته باشید که در واقع بیش از چهار راه برای گرفتن یک فلاش رویال وجود دارد، با این فرض که کارت ها به ترتیب پخش شده اند!

بازی شماره 4 - قرعه کشی صندوق بین المللی پول

مشکل چهارم را نمی توان به این راحتی با روش هایی که امروز در مورد آن صحبت کردیم حل کرد، اما می توانید به راحتی با استفاده از برنامه نویسی یا اکسل شرایط را شبیه سازی کنید. در مثال این مشکل است که می توانید روش مونت کارلو را حل کنید.

قبلاً به بازی "Chron X" اشاره کردم که زمانی روی آن کار کردم و یک کارت بسیار جالب آنجا بود - قرعه کشی صندوق بین المللی پول. نحوه کار به این صورت است: شما از آن در یک بازی استفاده کردید. پس از پایان دور، کارت ها دوباره توزیع شدند و 10 درصد احتمال داشت که کارت از بازی خارج شود و یک بازیکن تصادفی 5 واحد از هر نوع منبعی را دریافت کند که توکن آن در آن کارت وجود دارد. کارت بدون یک تراشه وارد بازی می شد، اما هر بار که در ابتدای دور بعدی در بازی باقی می ماند، یک تراشه دریافت می کرد. بنابراین احتمال 10% وجود داشت که اگر آن را وارد بازی می کردید، راند تمام می شد، کارت از بازی خارج می شد و هیچ کس چیزی دریافت نمی کرد. اگر این اتفاق نیفتد (احتمال 90٪)، احتمال 10٪ (در واقع 9٪) وجود دارد، زیرا 10٪ از 90٪ است که در دور بعدی او بازی را ترک کند و شخصی 5 واحد منبع دریافت کند. اگر کارت پس از یک دور بازی را ترک کند (10٪ از 81٪ موجود، بنابراین احتمال 8.1٪ است)، شخصی 10 واحد، دور دیگری - 15، دیگری - 20 و غیره دریافت می کند. سوال: ارزش کلی مورد انتظار تعداد منابعی که از این کارت در نهایت خروج از بازی دریافت خواهید کرد چقدر است؟

به طور معمول ما سعی می کنیم این مشکل را با یافتن امکان هر نتیجه و ضرب در تعداد همه نتایج حل کنیم. بنابراین 10٪ احتمال دارد که 0 (0.1 * 0 = 0) دریافت کنید. 9% که 5 واحد منابع دریافت خواهید کرد (9%*5 = 0.45 منبع). 8.1٪ از آنچه به دست می آورید 10 است (8.1٪ * 10 = 0.81 منبع در کل، ارزش مورد انتظار). و غیره. و سپس همه را جمع بندی می کنیم.

و اکنون مشکل برای شما آشکار است: همیشه این شانس وجود دارد که کارت نهبازی را ترک خواهد کرد تا بتواند در بازی بماند برای همیشه، برای تعداد بی نهایت دور، بنابراین امکان محاسبه وجود دارد هر امکانوجود ندارد. روش‌هایی که امروز آموخته‌ایم به ما امکان محاسبه بازگشت بی‌نهایت را نمی‌دهند، بنابراین باید آن را مصنوعی ایجاد کنیم.

اگر به اندازه کافی در برنامه نویسی مهارت دارید، برنامه ای بنویسید که این نقشه را شبیه سازی کند. شما باید یک حلقه زمانی داشته باشید که متغیر را به موقعیت اولیه صفر برساند، یک عدد تصادفی را نشان دهد و با احتمال 10٪ متغیر از حلقه خارج شود. در غیر این صورت، 5 را به متغیر اضافه می کند و حلقه تکرار می شود. هنگامی که در نهایت از حلقه خارج شد، تعداد کل اجرای آزمایشی را 1 و تعداد کل منابع را افزایش دهید (تا چه میزان بستگی به محل پایان متغیر دارد). سپس متغیر را ریست کرده و دوباره شروع کنید. برنامه را چندین هزار بار اجرا کنید. در نهایت، تعداد کل منابع را بر تعداد کل اجراها تقسیم کنید - این مقدار مونت کارلو مورد انتظار شما خواهد بود. برنامه را چندین بار اجرا کنید تا مطمئن شوید اعدادی که به دست می آورید تقریباً یکسان هستند. اگر پراکندگی هنوز زیاد است، تعداد تکرارها را در حلقه بیرونی افزایش دهید تا زمانی که شروع به گرفتن مسابقات کنید. می توانید مطمئن باشید که هر عددی که در نهایت به آن برسید تقریباً صحیح خواهد بود.

اگر با برنامه نویسی آشنا نیستید (و حتی اگر هستید)، در اینجا تمرین کوچکی برای تقویت مهارت های اکسل شما آورده شده است. اگر شما یک طراح بازی هستید، مهارت های اکسل هرگز چیز بدی نیست.

اکنون توابع IF و RAND را بسیار مفید خواهید یافت. RAND به مقادیر نیاز ندارد، فقط یک عدد اعشاری تصادفی بین 0 و 1 را بیرون می‌دهد. ما معمولاً آن را با FLOOR و مثبت‌ها و منفی‌ها ترکیب می‌کنیم تا انداختن تاس را شبیه‌سازی کنیم، که قبلاً به آن اشاره کردم. با این حال، در این مورد، ما فقط 10 درصد احتمال می دهیم که کارت از بازی خارج شود، بنابراین می توانیم فقط بررسی کنیم که آیا مقدار RAND کمتر از 0.1 است و دیگر نگران آن نباشیم.

IF سه معنی دارد. به ترتیب: شرطی که یا true یا false است، سپس مقداری که اگر شرط درست باشد، و مقداری که اگر شرط نادرست باشد، برگردانده می شود. بنابراین تابع زیر 5% مواقع و 0 90% دیگر را برمی گرداند:
=IF(RAND()<0.1,5,0)

راه های زیادی برای تنظیم این دستور وجود دارد، اما من از این فرمول برای سلولی که اولین دور را نشان می دهد استفاده می کنم، فرض کنید سلول A1 باشد:

IF(RAND()<0.1,0,-1)

در اینجا من از یک متغیر منفی به این معنی استفاده می کنم که "این کارت بازی را ترک نکرده و هنوز هیچ منبعی را رها نکرده است." بنابراین اگر دور اول تمام شود و کارت بازی را ترک کند، A1 0 است. در غیر این صورت -1 است.

برای سلول بعدی که نشان دهنده دور دوم است:

IF(A1>-1، A1، IF(RAND()<0.1,5,-1))

بنابراین اگر دور اول به پایان رسید و کارت بلافاصله از بازی خارج شد، A1 0 (تعداد منابع) است و این سلول به سادگی آن مقدار را کپی می کند. در غیر این صورت، A1 -1 است (کارت هنوز بازی را ترک نکرده است) و این سلول به طور تصادفی به حرکت خود ادامه می دهد: 10٪ مواقع 5 واحد منبع را برمی گرداند، بقیه زمان ها مقدار آن همچنان برابر است با -1. اگر این فرمول را روی سلول‌های اضافی اعمال کنیم، راندهای اضافی دریافت می‌کنیم، و هر سلولی که در نهایت به آن برسید، نتیجه نهایی را به شما می‌دهد (یا -1 اگر کارت بعد از تمام دورهایی که بازی کردید هرگز از بازی خارج نشد).

آن ردیف سلول ها را که نشان دهنده تنها دور آن کارت است، بردارید و چند صد (یا هزاران) ردیف را کپی و جایگذاری کنید. ممکن است نتوانیم آن را انجام دهیم بی پایانتست برای اکسل (تعداد محدودی سلول در یک جدول وجود دارد)، اما حداقل می توانیم بیشتر موارد را پوشش دهیم. سپس یک سلول را انتخاب کنید که میانگین نتایج همه راندها را در آن قرار دهید (اکسل لطفاً تابع AVERAGE() را برای این کار ارائه می دهد).

در ویندوز، حداقل می توانید F9 را فشار دهید تا همه اعداد تصادفی دوباره محاسبه شوند. مانند قبل، این کار را چند بار انجام دهید و ببینید آیا مقادیری که دریافت می کنید یکسان هستند یا خیر. اگر گسترش بیش از حد بزرگ است، تعداد اجراها را دو برابر کنید و دوباره امتحان کنید.

مشکلات حل نشده

اگر شما فقط مدرک احتمال دارید و مسائل فوق خیلی آسان به نظر می رسند، در اینجا دو مشکل وجود دارد که من سال هاست که سرم را روی آنها می خارم، اما افسوس که در ریاضیات آنقدر خوب نیستم که بتوانم آنها را حل کنم. اگر راه حلی می دانید، لطفاً آن را اینجا در نظرات ارسال کنید، خوشحال می شوم آن را بخوانم.

مشکل حل نشده شماره 1: قرعه کشیصندوق بین المللی پول

اولین مشکل حل نشده تکلیف قبلی است. من به راحتی می توانم روش مونت کارلو (با استفاده از C++ یا اکسل) را اعمال کنم و در پاسخ به سؤال "بازیکن چند منبع دریافت خواهد کرد" مطمئن باشم، اما دقیقاً نمی دانم چگونه می توانم یک پاسخ قابل اثبات دقیق به صورت ریاضی ارائه کنم (این است یک سری بی نهایت). اگه جوابشو میدونی اینجا بذار...البته بعد از تست با مونت کارلو.

مسئله حل نشده شماره 2: دنباله ای از شکل ها

این مشکل (و باز هم بسیار فراتر از محدوده مشکلات حل شده در این وبلاگ است) توسط یکی از دوستان گیمر بیش از 10 سال پیش به من داده شده است. او هنگام بازی بلک جک در وگاس متوجه یک نکته جالب شد: وقتی از یک کفش 8 عرشه کارت بیرون کشید، دید دهارقام پشت سر هم (یک تکه یا کارت چهره - 10، جوکر، پادشاه یا ملکه، بنابراین در یک عرشه استاندارد 52 کارتی 16 عدد وجود دارد، بنابراین در یک کفش 416 کارتی 128 عدد وجود دارد). احتمال اینکه در این کفش چقدر است حداقلیک سکانس ده تایی یا بیشترارقام؟ بیایید فرض کنیم که آنها به طور منصفانه و به ترتیب تصادفی مخلوط شده اند. (یا اگر ترجیح می دهید، احتمال آن چقدر است هیچ جا پیدا نشددنباله ای از ده شکل یا بیشتر؟)

ما می توانیم کار را ساده کنیم. در اینجا یک دنباله از 416 قسمت است. هر قسمت یا 0 یا 1 است. 128 یک و 288 صفر به طور تصادفی در سراسر دنباله پراکنده شده اند. چند راه برای در هم آمیختن تصادفی 128 یک با 288 صفر وجود دارد و چند بار در این راه ها حداقل یک گروه ده تایی یا بیشتر وجود خواهد داشت؟

هر بار که شروع به حل این مشکل می کردم، برایم آسان و بدیهی به نظر می رسید، اما به محض اینکه به جزئیات پرداختم، ناگهان از هم پاشید و برایم غیرممکن به نظر می رسید. بنابراین در بیان پاسخ عجله نکنید: بنشینید، با دقت فکر کنید، شرایط مشکل را مطالعه کنید، سعی کنید اعداد واقعی را وارد کنید، زیرا تمام افرادی که در مورد این مشکل با آنها صحبت کردم (از جمله چندین دانشجوی فارغ التحصیل که در این زمینه کار می کنند). ) در همین رابطه واکنش نشان داد: "کاملاً واضح است... اوه، نه، صبر کنید، اصلاً مشخص نیست." این همان موردی است که من روشی برای محاسبه همه گزینه ها ندارم. من مطمئناً می‌توانم مشکل را از طریق یک الگوریتم رایانه به زور بیاورم، اما کنجکاوتر خواهم بود تا راه ریاضی حل این مشکل را بدانم.

ترجمه - Y. Tkachenko، I. Mikheeva

روش آهنگسازی با متن صوتی شل. به عنوان یک روش مستقل از آهنگسازی در قرن بیستم شکل گرفت. الف. به معنای امتناع کامل یا جزئی آهنگساز از کنترل دقیق متن موسیقی یا حتی حذف همان دسته آهنگساز-نویسنده به معنای سنتی است. نوآوری A. در همبستگی اجزای پایدار یک متن موسیقی با تصادفی بودن عمدی، تحرک دلخواه ماده موسیقی نهفته است. مفهوم A. می تواند هم به ترتیب کلی بخش های یک مقاله (فرم) و هم به ساختار پارچه آن اشاره داشته باشد. به گفته E. دنیسوف،برهمکنش بین ثبات و تحرک پارچه و فرم، 4 نوع ترکیب اصلی را به دست می‌دهد که سه نوع از آنها - دوم، سوم و چهارم - متمایز هستند: 1. پارچه پایدار - فرم پایدار (ترکیب سنتی معمول، opus perfectum et absolutum؛ مانند، برای به عنوان مثال، سمفونی ششم چایکوفسکی)؛ 2. پارچه پایدار - شکل موبایل. به گفته V. Lutoslavsky، "A. فرم ها» (پ. ​​بولز، سومین سونات برای پیانو، 1957); 3. پارچه موبایل - شکل پایدار. یا به گفته لوتوسلاوسکی، «آ. بافت ها" (لیوتوسلاوسکی، کوارتت زهی، 1964، جنبش اصلی). 4. پارچه موبایل - فرم موبایل; یا "A. قفس"(در حین بداهه نوازی جمعی چند مجری). اینها نقاط گرهی روش A. هستند که در اطراف آنها انواع مختلف و موارد خاص ساختارها، درجات مختلف غوطه وری در A. وجود دارد. علاوه بر این، متابولیسم ها ("مدولاسیون") نیز طبیعی هستند - انتقال از یک نوع یا نوع به دیگری، همچنین به یا از یک متن پایدار.

A. از دهه 1950 گسترده شده است و ظاهر می شود (همراه با سونوریکا)به طور خاص، واکنشی به بردگی شدید ساختار موسیقی در سریالیسم چند پارامتری (نگاه کنید به: دوازده صدایی).در این میان، اصل آزادی ساختار به هر نحوی ریشه‌ای کهن دارد. اساساً، موسیقی محلی یک جریان صوتی است، و نه یک اثر با ساختار منحصر به فرد. از این رو، بی ثباتی، «غیر اپوس» بودن موسیقی محلی، تنوع، تنوع و بداهه نوازی در آن است. نامشخص بودن و بداهه نوازی فرم از ویژگی های موسیقی سنتی هند، مردم خاور دور و آفریقاست. بنابراین نمایندگان الف فعالانه و آگاهانه بر اصول اساسی موسیقی شرقی و محلی تکیه می کنند. عناصر A. در موسیقی کلاسیک اروپایی نیز وجود داشت. به عنوان مثال، در میان کلاسیک های وینی، که اصل باس عمومی را حذف کردند و متن موسیقی را کاملاً ثابت کردند (سمفونی ها و کوارتت های I. Haydn)، تضاد شدید "کادنس" در قالب یک کنسرتو دستگاهی بود - تکنوازی فجر، که بخشی از آن توسط آهنگساز ساخته نشده است، بلکه به صلاحدید اجراکننده واگذار شده است (عنصر A. فرم). در زمان هایدن و موتسارت روش‌های طنزآمیز «الئاتوریک» برای ساخت قطعات ساده (مینوت) با ترکیب قطعات موسیقی روی تاس (Würfelspiel) وجود دارد (رساله ای. برلین، 1757).

در قرن بیستم اصل "پروژه انفرادی" در شکل شروع به پذیرفتن نسخه های متنی کار (یعنی الف) کرد. در سال 1907م چارلز آیوز، آهنگساز آمریکایی، پنج آهنگ پیانو «Hallwe»en (= «شب همه یادگاران») را ساخت که متن آن، هنگام اجرا در کنسرت، باید چهار بار متوالی متفاوت نواخته شود. قفسدر سال 1951 ساخته شده است "موسیقی تغییرات" برای پیانو، متنی که او با "دستکاری تصادفات" (سخنان آهنگساز)، با استفاده از "کتاب تغییرات" چینی برای این کار ساخته است. کلاسیک

نمونه کلاسیک A. "Piano Piece XI" اثر K. استوکهاوزن، 1957. روی یک ورق کاغذ تقریبا. 0.5 متر مربع 19 قطعه موسیقی به ترتیب تصادفی قرار گرفته است. پیانیست با هر یک از آنها شروع می کند و با یک نگاه تصادفی آنها را به هر ترتیبی می نوازد. در پایان قسمت قبلی نوشته شده است که قطعه بعدی با چه سرعتی و با چه صدایی پخش شود. وقتی پیانیست فکر می کند که قبلاً تمام قطعات را به این ترتیب نواخته است، باید آنها را برای بار دوم دوباره به همان ترتیب تصادفی، اما با صدایی روشن تر نواخت. بعد از دور دوم بازی به پایان می رسد. برای تأثیر بیشتر، توصیه می شود کار aleatoric را در یک کنسرت تکرار کنید - به شنونده آهنگ دیگری از همان مواد ارائه می شود. روش A. به طور گسترده توسط آهنگسازان مدرن استفاده می شود (بولز، استوکهاوزن،لوتوسلاوسکی، آ.ولکونسکی، دنیسوف، اشنیتکهو غیره.).

پیش نیاز A. در قرن 20th. قوانین جدید ظاهر شد هماهنگیو تمایلات ناشی از آن برای جستجوی فرم های جدید مطابق با وضعیت جدید مواد موسیقی و ویژگی های آوانگاردبافت آلئاتوریک قبل از رهایی کاملاً غیرقابل تصور بود ناهماهنگی،توسعه موسیقی آتونال (نگاه کنید به: دوازده صدایی).یکی از حامیان "محدود و کنترل شده" A. Lutoslavsky ارزش بی شک در آن می بیند: "A. چشم اندازهای جدید و غیرمنتظره ای برای من باز کرد. اول از همه، ثروت عظیمی از ریتم وجود دارد که با کمک تکنیک های دیگر دست نیافتنی است. دنیسوف، با توجیه "معرفی عناصر تصادفی به موسیقی"، ادعا می کند که "آزادی بیشتری در کار با ماده موسیقی به ما می دهد و به ما امکان می دهد جلوه های صوتی جدیدی به دست آوریم.<...>، اما ایده های تحرک تنها در صورتی می توانند نتایج خوبی به همراه داشته باشند<... >اگر تمایلات مخرب نهفته در تحرک، سازنده بودن لازم برای وجود هر نوع هنری را از بین نبرد.»

برخی دیگر از روش ها و فرم های موسیقی با A همپوشانی دارند. اول از همه: 1. ابتکار -اجرای یک اثر ساخته شده در طول بازی؛ 2. موسیقی گرافیکی،که اجراکننده با توجه به تصاویر بصری نقاشی که در مقابل او قرار داده شده است (به عنوان مثال، آی. براون، فولیو، 1952) بداهه نوازی می کند، آنها را به تصاویر صوتی ترجمه می کند، یا بر اساس گرافیک های الهام بخش موسیقی ساخته شده توسط آهنگساز از قطعات متن موسیقی روی یک ورق کاغذ (S. Bussotti, "Pasion for the Garden", 1966); 3. اتفاق می افتد- کنش بداهه (به این معنا نابهنگام). (ترویج)با مشارکت موسیقی با طرح دلخواه (شبه) (به عنوان مثال، اتفاق A. Volkonsky "Replica" توسط گروه "Madrigal" در فصل 1970/71). 4. اشکال باز موسیقی - یعنی آنهایی که متن آنها ثابت نیست، اما همیشه در فرآیند اجرا به دست می آید. اینها انواعی از ترکیب بندی هستند که اساساً بسته نیستند و امکان ادامه بی پایان (مثلاً با هر اجرای جدید)، انگلیسی را فراهم می کنند. کار در حال انجام. برای پی.بولز، یکی از مشوق هایی که او را به یک فرم باز تبدیل کرد، کار جی. جویس("Ulysses") و S. Mallarmé ("Le Livre"). نمونه ای از یک آهنگ باز، "فرم های موجود II" ارل براون برای 98 ساز و دو رهبر ارکستر (1962) است. خود براون به ارتباط فرم باز خود با "موبایل" در هنرهای تجسمی اشاره می کند (نگاه کنید به: هنر جنبشی)به ویژه توسط A. Calder ("قطعه Calder" برای 4 درامر و Calder موبایل، 1965). در نهایت، کنش «گسمتکونست» با اصول الاتاتوریک آغشته شده است (نگاه کنید به: Gesamtkunstwerk). 5. چند رسانه ای که ویژگی آن همگام سازی است تاسیساتچند هنر (مثلا: کنسرت + نمایشگاه نقاشی و مجسمه سازی + شب شعر در هر ترکیبی از هنرها و ...). بنابراین، جوهر هنر آشتی با نظم هنری به طور سنتی استقرار یافته و آنزیم طراوت‌بخش غیرقابل پیش‌بینی‌بودن، شانس است - یک گرایش مشخصه فرهنگ هنری قرن بیستمبه طور کلی و زیبایی شناسی غیر کلاسیک

متن: Denisov E.V.عناصر پایدار و متحرک فرم موسیقی و تعامل آنها // مسائل نظری فرم ها و ژانرهای موسیقی. م.، 1971; کوهوتک سی.تکنیک آهنگسازی در موسیقی قرن بیستم. م.، 1976; لوتوسلاوسکی وی.مقالات، be-

موهای خاکستری، خاطرات م.، 1995; بولز P. Alea // Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958; بولز آر. Zu meiner III Sonate // Ibid, III. 1960; شفر بی.نوا موزیکا (1958). کراکوف، 1969; شفر بی. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). کراکوف، 1975; استوکهاوزن ک. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. دارمشتات، 1967.

سه قانون تصادفی چیست و چرا غیرقابل پیش بینی بودن این فرصت را به ما می دهد تا مطمئن ترین پیش بینی ها را انجام دهیم.

ذهن ما با تمام قدرت در برابر ایده شانس مقاومت می کند. در طول تکامل خود به عنوان یک گونه، ما توانایی جستجوی روابط علت و معلولی را در همه چیز ایجاد کرده ایم. مدت‌ها قبل از ظهور علم، ما قبلاً می‌دانستیم که غروب قرمز زرشکی یک طوفان خطرناک را پیش‌بینی می‌کند و سرخ شدن تب بر روی صورت نوزاد به این معنی است که مادرش شب سختی خواهد داشت. ذهن ما به طور خودکار سعی می کند داده هایی را که دریافت می کنیم به گونه ای ساختار دهد که به ما کمک کند از مشاهدات خود نتیجه گیری کنیم و از این نتایج برای درک و پیش بینی رویدادها استفاده کنیم.

پذیرفتن ایده تصادفی بودن بسیار دشوار است زیرا با غریزه اصلی که ما را مجبور می کند به دنبال الگوهای منطقی در دنیای اطرافمان بگردیم در تضاد است. و حوادث به ما نشان می دهد که چنین الگوهایی وجود ندارند. این بدان معناست که تصادفی بودن اساساً شهود ما را محدود می‌کند، زیرا ثابت می‌کند که فرآیندهایی وجود دارند که نمی‌توانیم به طور کامل مسیرشان را پیش‌بینی کنیم. پذیرفتن این مفهوم آسان نیست، حتی اگر بخشی اساسی از مکانیسم جهان باشد. بدون درک اینکه تصادفی چیست، خود را در بن بست در دنیایی کاملاً قابل پیش بینی می یابیم که به سادگی خارج از تصور ما وجود ندارد.

می‌توانم بگویم که تنها زمانی که بر سه قصار - سه قانون شانس - تسلط داشته باشیم، می‌توانیم خود را از میل اولیه خود برای پیش‌بینی‌پذیری رها کنیم و جهان را آن‌طور که هست بپذیریم، نه آن‌طور که می‌خواهیم باشد.

تصادفی وجود دارد

ما از هر مکانیسم ذهنی برای جلوگیری از مواجهه با شانس استفاده می کنیم. ما در مورد کارما صحبت می کنیم، این اکولایزر کیهانی که چیزهای ظاهراً نامرتبط را به هم متصل می کند. ما به فال خوب و بد اعتقاد داریم، در این حقیقت که «خدا تثلیث را دوست دارد»، ادعا می کنیم که تحت تأثیر مکان ستارگان، مراحل ماه و حرکت سیارات هستیم. اگر سرطان در ما تشخیص داده شود، به طور خودکار سعی می کنیم آن را به گردن چیزی (یا شخصی) بیندازیم.

اما بسیاری از رویدادها را نمی توان به طور کامل پیش بینی یا توضیح داد. بلایا به طور غیرقابل پیش‌بینی رخ می‌دهند و افراد خوب و بد، از جمله کسانی که «زیر یک ستاره خوش شانس» یا «زیر علامت مساعد» به دنیا آمده‌اند، رنج می‌برند. گاهی اوقات ما موفق می‌شویم چیزی را پیش‌بینی کنیم، اما شانس می‌تواند به راحتی حتی مطمئن‌ترین پیش‌بینی‌ها را رد کند. اگر همسایه دوچرخه سوار چاق شما که سیگار می کشد، بیشتر از شما عمر می کند، تعجب نکنید.

علاوه بر این، رویدادهای تصادفی می توانند وانمود کنند که غیر تصادفی هستند. حتی زیرک ترین دانشمند نیز ممکن است در تشخیص یک اثر واقعی و یک نوسان تصادفی مشکل داشته باشد. شانس می تواند دارونماها را به درمان جادویی و ترکیبات بی ضرر را به سموم کشنده تبدیل کند. و حتی می تواند ذرات زیر اتمی را از هیچ ایجاد کند.

برخی رویدادها را نمی توان پیش بینی کرد

اگر وارد هر کازینویی در لاس وگاس شوید و ازدحام بازیکنان را روی میزهای بازی تماشا کنید، احتمالاً فردی را خواهید دید که فکر می‌کند امروز خوش شانس است. او چندین بار پیاپی برنده شده است و مغزش به او اطمینان می دهد که به برد ادامه خواهد داد، بنابراین قمارباز به شرط بندی ادامه می دهد. شما همچنین فردی را خواهید دید که به تازگی از دست داده است. مغز بازنده نیز مانند مغز برنده به او توصیه می کند که بازی را ادامه دهد: از آنجایی که شما چندین بار متوالی شکست خورده اید، به این معنی است که اکنون احتمالاً شروع به خوش شانسی خواهید کرد. احمقانه است که اکنون ترک کنی و این فرصت را از دست بدهی.

اما مهم نیست که مغز ما چه چیزی به ما می گوید، هیچ نیروی مرموزی وجود ندارد که بتواند «رشته خوش شانس» را برای ما فراهم کند، و نه یک عدالت جهانی که مطمئن شود بازنده در نهایت شروع به برنده شدن می کند. کائنات اهمیتی ندارد که شما برنده شوید یا ببازید. برای او، همه تاس‌ها یکسان هستند.

مهم نیست که چقدر برای تماشای دوباره تاس انداختن تلاش می کنید، و مهم نیست که چقدر به بازیکنانی که فکر می کنند خوش شانس هستند نگاه کنید، مطلقاً هیچ اطلاعاتی در مورد پرتاب بعدی نخواهید داشت. نتیجه هر پرتاب کاملا مستقل از تاریخچه پرتاب های قبلی است. بنابراین هر انتظاری که بتوان با تماشای بازی به برتری دست یافت، محکوم به شکست است. چنین رویدادهایی - مستقل از هر چیزی و کاملاً تصادفی - با هر تلاشی برای یافتن الگوها مخالفت می کنند، زیرا این الگوها به سادگی وجود ندارند.

تصادفی بودن مانعی برای نبوغ انسان ایجاد می کند زیرا نشان می دهد که تمام منطق، همه علم و استدلال ما نمی توانند رفتار جهان را به طور کامل پیش بینی کنند. مهم نیست از چه روش هایی استفاده می کنید، هر نظریه ای را که ابداع می کنید، مهم نیست که از چه منطقی برای پیش بینی نتایج یک تاس استفاده کنید، از هر شش بار پنج بار ضرر خواهید کرد. همیشه.

مجموعه ای از رویدادهای تصادفی قابل پیش بینی است، حتی اگر رویدادهای فردی قابل پیش بینی نباشند

تصادفی بودن ترسناک است، قابلیت اطمینان حتی پیچیده‌ترین نظریه‌ها را محدود می‌کند و عناصر خاصی از طبیعت را از ما پنهان می‌کند، مهم نیست که چقدر مصرانه سعی می‌کنیم به ذات آنها نفوذ کنیم. با این وجود، نمی توان استدلال کرد که تصادفی مترادف ناشناخته است. این اصلا درست نیست.

تصادفی بودن از قوانین خودش تبعیت می کند و این قوانین باعث می شود فرآیند تصادفی قابل درک و پیش بینی باشد.

قانون اعداد بزرگ بیان می‌کند که اگرچه رویدادهای تصادفی منفرد کاملاً غیرقابل پیش‌بینی هستند، یک نمونه بزرگ از این رویدادها می‌تواند کاملاً قابل پیش‌بینی باشد - و هر چه نمونه بزرگ‌تر باشد، پیش‌بینی دقیق‌تر است. یکی دیگر از ابزارهای ریاضی قدرتمند، قضایای حد مرکزی، همچنین نشان می‌دهد که مجموع تعداد زیادی از متغیرهای تصادفی توزیعی نزدیک به نرمال خواهد داشت. با استفاده از این ابزارها، می‌توانیم رویدادها را در بلندمدت کاملاً دقیق پیش‌بینی کنیم، مهم نیست که در کوتاه‌مدت چقدر آشفته، عجیب و تصادفی باشند.

قواعد شانس آنقدر قدرتمند هستند که اساس تغییر ناپذیرترین و تغییرناپذیرترین قوانین فیزیک را تشکیل می دهند. اگرچه اتم های یک ظرف گاز به طور تصادفی حرکت می کنند، رفتار کلی آنها با مجموعه ای ساده از معادلات توصیف می شود. حتی قوانین ترمودینامیک فرض می کند که تعداد زیادی از رویدادهای تصادفی قابل پیش بینی هستند. این قوانین دقیقاً به این دلیل که شانس بسیار مطلق است، تزلزل ناپذیرند.

طعنه آمیز است که غیرقابل پیش بینی بودن رویدادهای تصادفی است که به ما این فرصت را می دهد تا مطمئن ترین پیش بینی های خود را انجام دهیم.