इष्टतम स्वचालित नियंत्रण प्रणाली। इष्टतम प्रक्रिया नियंत्रण (व्याख्यान) उत्पादन प्रणाली प्रबंधन का मिशन और लक्ष्य

एक इष्टतम स्वचालित नियंत्रण प्रणाली को डिज़ाइन करने के लिए, ऑप-एम्प, परेशान करने वाले और मास्टर प्रभावों और ऑप-एम्प की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बारे में पूरी जानकारी आवश्यक है। इसके बाद, आपको एक इष्टतमता मानदंड का चयन करना होगा। सिस्टम गुणवत्ता संकेतकों में से एक का उपयोग ऐसे मानदंड के रूप में किया जा सकता है। हालाँकि, व्यक्तिगत गुणवत्ता संकेतकों की आवश्यकताएँ आमतौर पर विरोधाभासी होती हैं (उदाहरण के लिए, सिस्टम की सटीकता में वृद्धि स्थिरता मार्जिन को कम करके प्राप्त की जाती है)। इसके अलावा, एक इष्टतम सिस्टम में न केवल एक विशिष्ट नियंत्रण कार्रवाई निष्पादित करते समय, बल्कि सिस्टम के पूरे ऑपरेटिंग समय के दौरान न्यूनतम संभावित त्रुटि होनी चाहिए। यह भी ध्यान में रखा जाना चाहिए कि इष्टतम नियंत्रण समस्या का समाधान न केवल सिस्टम की संरचना पर निर्भर करता है, बल्कि इसके घटक तत्वों के मापदंडों पर भी निर्भर करता है।

एसीएस की इष्टतम कार्यप्रणाली प्राप्त करना काफी हद तक इस बात से निर्धारित होता है कि समय के साथ नियंत्रण कैसे किया जाता है, कार्यक्रम क्या है, या नियंत्रण एल्गोरिथ्म.इस संबंध में, सिस्टम की इष्टतमता का आकलन करने के लिए, अभिन्न मानदंड का उपयोग किया जाता है, जिसकी गणना नियंत्रण प्रक्रिया के पूरे समय के लिए डिजाइनरों के लिए रुचि के सिस्टम गुणवत्ता पैरामीटर के मूल्यों के योग के रूप में की जाती है।

अपनाए गए इष्टतमता मानदंड के आधार पर, निम्नलिखित प्रकार की इष्टतम प्रणालियों पर विचार किया जाता है।

1. प्रणाली, प्रदर्शन के लिए इष्टतम, जो ऑप-एम्प को एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित करने के लिए न्यूनतम समय प्रदान करता है। इस मामले में, इष्टतमता मानदंड इस तरह दिखता है:

जहां / n और / k नियंत्रण प्रक्रिया की शुरुआत और अंत के क्षण हैं।

ऐसी प्रणालियों में, नियंत्रण प्रक्रिया की अवधि न्यूनतम होती है। सबसे सरल उदाहरण- एक इंजन नियंत्रण प्रणाली जो सभी मौजूदा प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए, किसी दिए गए गति तक त्वरण के लिए न्यूनतम समय सुनिश्चित करती है।

2. प्रणाली, संसाधन खपत के मामले में इष्टतम, जो न्यूनतम मानदंड की गारंटी देता है

कहाँ को- आनुपातिकता गुणांक; यू(टी)- नियंत्रण क्रिया.

ऐसी इंजन प्रबंधन प्रणाली, उदाहरण के लिए, संपूर्ण नियंत्रण अवधि के दौरान न्यूनतम ईंधन खपत सुनिश्चित करती है।

3. प्रणाली, नियंत्रण हानि के मामले में इष्टतम(या सटीकता), जो मानदंड के आधार पर न्यूनतम नियंत्रण त्रुटियां प्रदान करता है जहां ई (एफ) गतिशील त्रुटि है।

सिद्धांत रूप में, एक इष्टतम स्वचालित नियंत्रण प्रणाली को डिजाइन करने की समस्या को सभी की गणना करने की सबसे सरल विधि द्वारा हल किया जा सकता है संभावित विकल्प. बेशक, इस पद्धति में बहुत समय लगता है, लेकिन आधुनिक कंप्यूटर कुछ मामलों में इसका उपयोग करना संभव बनाते हैं। अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए, विविधताओं की गणना के विशेष तरीके विकसित किए गए हैं (अधिकतम विधि, गतिशील प्रोग्रामिंग विधि, आदि), जो वास्तविक प्रणालियों की सभी सीमाओं को ध्यान में रखना संभव बनाता है।

एक उदाहरण के रूप में, आइए विचार करें कि डीसी इलेक्ट्रिक मोटर का इष्टतम गति नियंत्रण क्या होना चाहिए यदि इसे आपूर्ति की गई वोल्टेज सीमा मान (/ एलआर) द्वारा सीमित है, और मोटर को दूसरे क्रम के एपेरियोडिक लिंक के रूप में दर्शाया जा सकता है (चित्र) 13.9, ए)।

अधिकतम विधि आपको परिवर्तन के नियम की गणना करने की अनुमति देती है यू(डी),इंजन त्वरण से घूर्णन गति के लिए न्यूनतम समय सुनिश्चित करना (चित्र 13.9, बी)।इस मोटर की नियंत्रण प्रक्रिया में दो अंतराल शामिल होने चाहिए, जिनमें से प्रत्येक में वोल्टेज यू(टी)अपना अधिकतम अनुमेय मान लेता है (अंतराल 0 - /, में: यू(टी)= +?/ पूर्व, अंतराल में /| - / 2: यू(टी)= -?/ पीआर)* ऐसे नियंत्रण को सुनिश्चित करने के लिए, सिस्टम में एक रिले तत्व शामिल किया जाना चाहिए।

पारंपरिक प्रणालियों की तरह, इष्टतम सिस्टम ओपन-लूप, बंद-लूप और संयुक्त हैं। यदि इष्टतम नियंत्रण जो ऑप-एम्प को प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति में स्थानांतरित करता है और परेशान करने वाले प्रभावों पर स्वतंत्र या कमजोर रूप से निर्भर है, तो उसे समय के एक फ़ंक्शन के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है यू= (/(/), फिर हम निर्माण करते हैं ओपन-लूप प्रणालीकार्यक्रम नियंत्रण (चित्र 13.10, ए)।

स्वीकृत इष्टतमता मानदंड के चरम को प्राप्त करने के लिए डिज़ाइन किया गया इष्टतम प्रोग्राम पी, पीयू सॉफ्टवेयर डिवाइस में एम्बेडेड है। इस योजना के अनुसार प्रबंधन किया जाता है

चावल। 13.9.

ए- एक सामान्य नियंत्रण उपकरण के साथ; बी -दो-स्तरीय नियंत्रक के साथ

उपकरण

चावल। 13.10. इष्टतम प्रणालियों की योजनाएँ: ए- खुला; बी- संयुक्त

संख्यात्मक रूप से नियंत्रित मशीनों और सरल रोबोटों का उपयोग करना, रॉकेट को कक्षा में लॉन्च करना आदि।

सबसे उन्नत, यद्यपि सबसे जटिल भी हैं संयुक्त इष्टतम सिस्टम(चित्र 13.10, बी)।ऐसी प्रणालियों में, एक खुला लूप किसी दिए गए प्रोग्राम के अनुसार इष्टतम नियंत्रण करता है, और एक बंद लूप, त्रुटियों को कम करने के लिए अनुकूलित, आउटपुट मापदंडों के विचलन को संसाधित करता है। गड़बड़ी माप रस्सी /* का उपयोग करते हुए, सिस्टम ड्राइविंग और परेशान करने वाले प्रभावों के पूरे सेट के संबंध में अपरिवर्तनीय हो जाता है।

ऐसी उत्तम नियंत्रण प्रणाली को लागू करने के लिए, सभी परेशान करने वाले प्रभावों को सटीक और शीघ्रता से मापना आवश्यक है। हालाँकि, यह संभावना हमेशा उपलब्ध नहीं होती है। अक्सर, परेशान करने वाले प्रभावों के बारे में केवल औसत सांख्यिकीय आंकड़े ही ज्ञात होते हैं। कई मामलों में, विशेष रूप से टेलीकंट्रोल सिस्टम में, ड्राइविंग बल भी शोर के साथ सिस्टम में प्रवेश करता है। और चूंकि हस्तक्षेप, सामान्य तौर पर, एक यादृच्छिक प्रक्रिया है, इसलिए इसे केवल संश्लेषित करना संभव है सांख्यिकीय रूप से इष्टतम प्रणाली.ऐसी व्यवस्था इसके लिए सर्वोत्तम नहीं होगी प्रत्येकनियंत्रण प्रक्रिया का विशिष्ट कार्यान्वयन, लेकिन इसके कार्यान्वयन के पूरे सेट के लिए यह औसतन सर्वोत्तम होगा।

सांख्यिकीय रूप से इष्टतम प्रणालियों के लिए, औसत संभाव्य अनुमानों का उपयोग इष्टतमता मानदंड के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए, न्यूनतम त्रुटि के लिए अनुकूलित ट्रैकिंग सिस्टम के लिए, निर्दिष्ट मान से आउटपुट प्रभाव के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा का उपयोग इष्टतमता के लिए एक सांख्यिकीय मानदंड के रूप में किया जाता है, अर्थात। विचरण:

अन्य संभाव्य मानदंडों का भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक लक्ष्य पहचान प्रणाली में, जहां केवल लक्ष्य की उपस्थिति या अनुपस्थिति महत्वपूर्ण है, एक गलत निर्णय की संभावना को इष्टतमता मानदंड के रूप में उपयोग किया जाता है रोश:

कहाँ आर पी ts लक्ष्य चूक जाने की संभावना है; आर एलओ- गलत पहचान की संभावना.

कई मामलों में, गणना की गई इष्टतम स्वचालित नियंत्रण प्रणाली उनकी जटिलता के कारण लागू करना व्यावहारिक रूप से असंभव हो जाती है। एक नियम के रूप में, इनपुट प्रभावों से उच्च-क्रम डेरिवेटिव के सटीक मान प्राप्त करना आवश्यक है, जिसे लागू करना तकनीकी रूप से बहुत कठिन है। अक्सर, एक इष्टतम प्रणाली का सैद्धांतिक सटीक संश्लेषण भी असंभव हो जाता है। हालाँकि, इष्टतम डिज़ाइन विधियाँ अर्ध-इष्टतम सिस्टम बनाना संभव बनाती हैं, हालांकि एक डिग्री या किसी अन्य तक सरलीकृत होती हैं, लेकिन फिर भी किसी को स्वीकृत इष्टतमता मानदंडों के मूल्यों को प्राप्त करने की अनुमति देती हैं जो चरम के करीब हैं।

इष्टतम नियंत्रण तकनीकी प्रक्रियाएं(भाषण)

व्याख्यान योजना

1. किसी फलन का चरम ज्ञात करने की मूल अवधारणाएँ

2. इष्टतम नियंत्रण विधियों का वर्गीकरण

1. किसी फलन का चरम ज्ञात करने की मूल अवधारणाएँ

किसी इष्टतम समस्या का कोई भी गणितीय सूत्रीकरण अक्सर एक या कई स्वतंत्र चर के फ़ंक्शन के चरम को खोजने की समस्या के समान या समतुल्य होता है। इसलिए, ऐसी इष्टतम समस्याओं को हल करने के लिए, चरम की खोज के लिए विभिन्न तरीकों का उपयोग किया जा सकता है।

सामान्य तौर पर, अनुकूलन समस्या निम्नानुसार तैयार की जाती है:

फ़ंक्शन R (x) का अतिरिक्त खोजें, जहां XX

आर (एक्स) - उद्देश्य फ़ंक्शन या फ़ंक्शन या अनुकूलन मानदंड या अनुकूलित फ़ंक्शन कहा जाता है

X एक स्वतंत्र चर है.

जैसा कि ज्ञात है आवश्यक शर्तेंएक सतत फलन R (x) के लिए एक चरम का अस्तित्व पहले व्युत्पन्न के विश्लेषण से प्राप्त किया जा सकता है। इस मामले में, फ़ंक्शन R (x) में स्वतंत्र चर X के ऐसे मानों के लिए चरम मान हो सकते हैं, जहां पहला व्युत्पन्न 0 के बराबर है। =0. ग्राफ़िक रूप से, यदि व्युत्पन्न शून्य है, तो इसका मतलब है कि इस बिंदु पर वक्र R(x) की स्पर्श रेखा भुज के समानांतर है।

व्युत्पन्न =0 की समानता एक चरम के लिए एक आवश्यक शर्त है।

हालाँकि, शून्य के व्युत्पन्न की समानता का मतलब यह नहीं है कि इस बिंदु पर कोई चरम सीमा है। अंततः यह सुनिश्चित करने के लिए कि इस बिंदु पर वास्तव में कोई चरम सीमा है, अतिरिक्त शोध करना आवश्यक है, जिसमें निम्नलिखित विधियाँ शामिल हैं:

1. फ़ंक्शन मानों की तुलना करने की विधि

"संदिग्ध" चरम बिंदु X K पर फ़ंक्शन R (x) के मान की तुलना बिंदु X K-ε और X K+ε पर फ़ंक्शन R (x) के दो पड़ोसी मानों से की जाती है, जहां ε एक छोटा है सकारात्मक मूल्य. (अंक 2)

यदि R (X K+ε) और R (X K-ε) के दोनों परिकलित मान R (X K) से कम या अधिक निकलते हैं, तो बिंदु X K पर फ़ंक्शन R का अधिकतम या न्यूनतम होता है (एक्स)।

यदि R (X K) का मान R (X K-ε) और R (X K+ε) के बीच मध्यवर्ती मान है, तो फ़ंक्शन R (x) का न तो कोई अधिकतम है और न ही न्यूनतम।

2. डेरिवेटिव के संकेतों की तुलना करने की विधि

आइए हम फिर से बिंदु X K के आसपास फ़ंक्शन R (X K) पर विचार करें, अर्थात। एक्स के+ε और एक्स के-ε। इस विधि से बिंदु X K के आसपास के अवकलज के चिन्ह पर विचार किया जाता है। इस मामले में, बिंदु X K-ε से बिंदु X K+ε पर जाने पर व्युत्पन्न के चिह्न को बदलकर चरम का प्रकार (न्यूनतम या अधिकतम) पाया जा सकता है।

यदि चिह्न "+" से "-" में बदल जाता है, तो बिंदु X K पर अधिकतम होता है (चित्र 3बी), यदि इसके विपरीत "-" से "+" में बदलता है, तो न्यूनतम होता है। (चित्र 3ए)

3. उच्च डेरिवेटिव के संकेतों का अध्ययन करने की एक विधि।

इस पद्धति का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां चरम सीमा पर "संदिग्ध" बिंदु पर उच्च आदेशों के व्युत्पन्न होते हैं, अर्थात। फ़ंक्शन R (X K) न केवल स्वयं निरंतर है, बल्कि इसमें निरंतर व्युत्पन्न भी हैं और।

विधि निम्नलिखित तक सीमित है:

बिंदु पर एक्स केचरम सीमा तक "संदिग्ध", जिसके लिए यह सच है

दूसरे व्युत्पन्न के मूल्य की गणना की जाती है।

यदि उसी समय , तो बिंदु X पर K अधिकतम है,

अगर , तो बिंदु X पर K न्यूनतम है।

व्यावहारिक अनुकूलन समस्याओं को हल करते समय, फ़ंक्शन R (X K) का कुछ न्यूनतम या अधिकतम मान नहीं, बल्कि इस फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान खोजना आवश्यक है, जिसे वैश्विक चरम कहा जाता है। (चित्र 4)

सामान्य स्थिति में, अनुकूलन समस्या में गणितीय मॉडल के समीकरणों पर कुछ प्रतिबंधों की उपस्थिति में फ़ंक्शन आर (एक्स) के चरम को ढूंढना शामिल है।

यदि आर (एक्स) रैखिक है, और व्यवहार्य समाधान का क्षेत्र रैखिक समानता और असमानताओं द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, तो किसी फ़ंक्शन का चरम खोजने की समस्या रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं के वर्ग से संबंधित है।

अक्सर सेट X को फ़ंक्शंस की एक प्रणाली के रूप में परिभाषित किया जाता है

तब रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का गणितीय कथन इस प्रकार दिखता है:

यदि लक्ष्य फ़ंक्शन R (X) या कोई भी बाधा एक रैखिक फ़ंक्शन नहीं है, तो फ़ंक्शन R (X) के चरम को खोजने का कार्य नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग समस्याओं के वर्ग से संबंधित है।

यदि चर X पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया जाता है, तो ऐसी समस्या को बिना शर्त चरम समस्या कहा जाता है।

एक विशिष्ट अनुकूलन समस्या का उदाहरण

अधिकतम आयतन वाले बॉक्स के बारे में समस्या.

इस रिक्त स्थान से, इसके कोनों पर चार सम वर्ग काटे जाने चाहिए, और परिणामी आकृति (छवि 5 बी) को मोड़ना चाहिए ताकि शीर्ष ढक्कन के बिना एक बॉक्स बन जाए (छवि 6.5 सी)। इस मामले में, कटे हुए वर्गों का आकार चुनना आवश्यक है ताकि आपको अधिकतम आयतन का एक बॉक्स मिल सके।

इस समस्या को एक उदाहरण के रूप में उपयोग करते हुए, हम सेटिंग अनुकूलन समस्याओं के सभी तत्वों का वर्णन कर सकते हैं।

चावल। 5. एक निश्चित आकार के आयताकार रिक्त स्थान से एक बॉक्स बनाने की योजना

इस समस्या में मूल्यांकन कार्य निर्मित बॉक्स का आयतन है। समस्या काटने के लिए वर्गों का आकार चुनने की है। दरअसल, यदि कटे हुए वर्गों का आकार बहुत छोटा है, तो कम ऊंचाई का एक चौड़ा बॉक्स प्राप्त होगा, जिसका अर्थ है कि आयतन छोटा होगा। दूसरी ओर, यदि कटे हुए वर्गों का आकार बहुत बड़ा है, तो अधिक ऊंचाई का एक संकीर्ण बॉक्स प्राप्त होगा, जिसका अर्थ है कि इसका आयतन भी छोटा होगा।

साथ ही, कटे हुए वर्गों के आकार का चुनाव मूल वर्कपीस के आकार की सीमा से प्रभावित होता है। वास्तव में, यदि आप मूल वर्कपीस की आधी भुजा के बराबर भुजा वाले वर्ग काटते हैं, तो कार्य निरर्थक हो जाता है। कटे हुए वर्गों का किनारा भी मूल वर्कपीस के आधे किनारों से अधिक नहीं हो सकता, क्योंकि व्यावहारिक कारणों से यह असंभव है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस समस्या के निरूपण में कुछ प्रतिबंध अवश्य होने चाहिए।

अधिकतम आयतन वाले बक्से की समस्या का गणितीय सूत्रीकरण. इस समस्या को गणितीय रूप से तैयार करने के लिए, बॉक्स के ज्यामितीय आयामों को दर्शाने वाले कुछ मापदंडों पर विचार करना आवश्यक है। इस प्रयोजन के लिए, हम समस्या के वास्तविक सूत्रीकरण को उचित मापदंडों के साथ पूरक करेंगे। इस प्रयोजन के लिए, हम किसी लचीली सामग्री से बने एक वर्गाकार रिक्त स्थान पर विचार करेंगे, जिसकी भुजा की लंबाई L है (चित्र 6)। इस रिक्त स्थान से आपको इसके कोनों पर एक तरफ के साथ चार सम वर्ग काटने चाहिए, और परिणामी आकृति को मोड़ना चाहिए ताकि आपको शीर्ष कवर के बिना एक बॉक्स मिल जाए। कार्य कटे हुए वर्गों के आकार का चयन करना है ताकि परिणाम अधिकतम आयतन का एक बॉक्स हो।

चावल। 6. एक आयताकार रिक्त स्थान से उसके आयामों को दर्शाने वाला निर्माण आरेख

इस समस्या को गणितीय रूप से तैयार करने के लिए, संबंधित अनुकूलन समस्या के चर निर्धारित करना, उद्देश्य फ़ंक्शन सेट करना और बाधाओं को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। एक चर के रूप में, हमें कटे हुए वर्ग आर के किनारे की लंबाई लेनी चाहिए, जो सामान्य स्थिति में, समस्या के सार्थक सूत्रीकरण के आधार पर निरंतर वास्तविक मान लेती है। उद्देश्य फ़ंक्शन परिणामी बॉक्स का आयतन है। चूँकि बॉक्स के आधार के किनारे की लंबाई बराबर है: L - 2r, और बॉक्स की ऊंचाई r के बराबर है, तो इसका आयतन सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: V (r) = (L -2r) 2 आर. भौतिक विचारों के आधार पर, चर r का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता है और मूल वर्कपीस L के आधे आकार से अधिक नहीं हो सकता है, अर्थात। 0.5L.

r = 0 और r = 0.5 L के मानों के लिए, बॉक्स समस्या के संगत समाधान व्यक्त किए जाते हैं। दरअसल, पहले मामले में वर्कपीस अपरिवर्तित रहता है, लेकिन दूसरे मामले में इसे 4 समान भागों में काटा जाता है। चूँकि इन समाधानों की भौतिक व्याख्या होती है, बॉक्स समस्या को, इसके निर्माण और विश्लेषण की सुविधा के लिए, गैर-सख्त असमानताओं जैसी बाधाओं के साथ एक अनुकूलन माना जा सकता है।

एकीकरण के उद्देश्य से, हम चर को x = r से निरूपित करते हैं, जो हल की जा रही अनुकूलन समस्या की प्रकृति को प्रभावित नहीं करता है। तब अधिकतम आयतन वाले डिब्बे की समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

कहाँ (1)

इस समस्या का वस्तुनिष्ठ कार्य अरेखीय है, इसलिए बॉक्स समस्या अधिकतम आकारगैर-रेखीय प्रोग्रामिंग या गैर-रेखीय अनुकूलन समस्याओं के वर्ग से संबंधित है।

2. इष्टतम नियंत्रण विधियों का वर्गीकरण

प्रक्रिया अनुकूलन में विचाराधीन फ़ंक्शन का इष्टतम या इस प्रक्रिया को पूरा करने के लिए इष्टतम स्थितियों का पता लगाना शामिल है।

इष्टतम का मूल्यांकन करने के लिए सबसे पहले एक अनुकूलन मानदंड का चयन करना आवश्यक है। आमतौर पर, अनुकूलन मानदंड को विशिष्ट स्थितियों से चुना जाता है। यह एक तकनीकी मानदंड हो सकता है (उदाहरण के लिए, डंप स्लैग में Cu सामग्री) या एक आर्थिक मानदंड (किसी दिए गए श्रम उत्पादकता पर उत्पाद की न्यूनतम लागत), आदि। चयनित अनुकूलन मानदंड के आधार पर, एक उद्देश्य फ़ंक्शन संकलित किया जाता है, जो प्रतिनिधित्व करता है इसके मूल्य को प्रभावित करने वाले मापदंडों पर अनुकूलन मानदंड की निर्भरता। अनुकूलन समस्या उद्देश्य फ़ंक्शन के चरम को खोजने के लिए नीचे आती है। विचाराधीन गणितीय मॉडल की प्रकृति के आधार पर, विभिन्न गणितीय अनुकूलन विधियों को अपनाया जाता है।

अनुकूलन समस्या का सामान्य सूत्रीकरण इस प्रकार है:

1. एक मानदंड चुनें

2. मॉडल समीकरण संकलित है

3. एक प्रतिबंध प्रणाली लागू की गई है

4. समाधान

मॉडल - रैखिक या अरेखीय

प्रतिबंध

मॉडल की संरचना के आधार पर, विभिन्न अनुकूलन विधियों का उपयोग किया जाता है। इसमे शामिल है:

1. विश्लेषणात्मक अनुकूलन विधियाँ (चरम के लिए विश्लेषणात्मक खोज, लैग्रेंज मल्टीप्लायर विधि, वेरिएशनल विधियाँ)

2. गणितीय प्रोग्रामिंग (रैखिक प्रोग्रामिंग, गतिशील प्रोग्रामिंग)

3. क्रमिक विधियाँ।

4. सांख्यिकीय तरीके (प्रतिगमन विश्लेषण)

रैखिक प्रोग्रामिंग. रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं में, इष्टतमता मानदंड को इस प्रकार प्रस्तुत किया गया है:

स्थिर गुणांक कहाँ दिए गए हैं; कार्य चर.

मॉडल समीकरण रैखिक समीकरण (बहुपद) के रूप में होते हैं जो समानता या असमानता के रूप में प्रतिबंधों के अधीन हैं, अर्थात। (2)

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं में आमतौर पर यह माना जाता है कि सभी स्वतंत्र चर X j गैर-नकारात्मक हैं, अर्थात।

एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का इष्टतम समाधान स्वतंत्र चर के गैर-नकारात्मक मानों का एक सेट है

जो शर्तों (2) को संतुष्ट करता है और समस्या के निरूपण के आधार पर मानदंड का अधिकतम या न्यूनतम मूल्य प्रदान करता है।

ज्यामितीय व्याख्या है: - समानता और असमानताओं के प्रकार के चर X 1 और X 2 पर प्रतिबंधों की उपस्थिति में मानदंड

R का रेखा l के अनुदिश एक स्थिर मान है। इष्टतम समाधान बिंदु S पर होगा, क्योंकि इस बिंदु पर मानदंड अधिकतम होगा। रैखिक प्रोग्रामिंग की अनुकूलन समस्या को हल करने के तरीकों में से एक सिंप्लेक्स विधि है।

अरेखीय प्रोग्रामिंग. अरेखीय प्रोग्रामिंग समस्या का गणितीय सूत्रीकरण इस प्रकार है: उद्देश्य फ़ंक्शन का चरम ज्ञात करें , जिसमें अरैखिकता का रूप है।

स्वतंत्र चरों पर समानता या असमानता जैसे विभिन्न प्रतिबंध लगाए जाते हैं

वर्तमान में, नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए काफी बड़ी संख्या में विधियों का उपयोग किया जाता है।

इनमें शामिल हैं: 1) ग्रेडिएंट विधियां (ग्रेडिएंट विधि, सबसे तेज वंश विधि, छवि विधि, रोसेनब्रॉक विधि, आदि)

2) ग्रेडिएंट-मुक्त विधियाँ (गॉस-सीडेल विधि, स्कैनिंग विधि)।

ग्रेडिएंट अनुकूलन के तरीके

ये विधियाँ खोज प्रकार की संख्यात्मक विधियों से संबंधित हैं। इन विधियों का सार स्वतंत्र चर के मूल्यों को निर्धारित करना है जो उद्देश्य फ़ंक्शन में सबसे बड़ा (सबसे छोटा) परिवर्तन देते हैं। यह आम तौर पर किसी दिए गए बिंदु पर समोच्च सतह पर एक ढाल ऑर्थोगोनल के साथ जाकर हासिल किया जाता है।

आइए ग्रेडिएंट विधि पर विचार करें। यह विधि वस्तुनिष्ठ फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट का उपयोग करती है। ग्रेडिएंट विधि में वस्तुनिष्ठ फलन में सबसे तेज कमी की दिशा में कदम उठाए जाते हैं।

चावल। 8. ग्रेडिएंट विधि का उपयोग करके न्यूनतम ज्ञात करना

इष्टतम की खोज दो चरणों में की जाती है:

चरण 1: - सभी स्वतंत्र चर के लिए आंशिक व्युत्पन्न के मान ज्ञात करें जो प्रश्न में बिंदु पर ग्रेडिएंट की दिशा निर्धारित करते हैं।

चरण 2:- ढाल की दिशा के विपरीत दिशा में एक कदम उठाया जाता है, अर्थात। उद्देश्य फ़ंक्शन में सबसे तेज़ कमी की दिशा में।

ग्रेडिएंट विधि एल्गोरिदम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(3)

सबसे तीव्र अवतरण विधि का उपयोग करके इष्टतम तक की गति की प्रकृति इस प्रकार है (चित्र 6.9), इसके बाद प्रस्थान बिंदूअनुकूलित फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट पाया जाता है और इस प्रकार निर्दिष्ट बिंदु पर इसकी सबसे तेज़ कमी की दिशा निर्धारित की जाती है, इस दिशा में एक मूल कदम उठाया जाता है। यदि इस चरण के परिणामस्वरूप फ़ंक्शन का मान कम हो जाता है, तो उसी दिशा में एक और कदम उठाया जाता है, और इसी तरह जब तक इस दिशा में न्यूनतम नहीं मिल जाता है, जिसके बाद ग्रेडिएंट की फिर से गणना की जाती है और सबसे तेज़ एक नई दिशा दी जाती है वस्तुनिष्ठ फलन की कमी निर्धारित होती है।

चरम की खोज के लिए ग्रेडिएंट-मुक्त तरीके। ये विधियाँ, ग्रेडिएंट विधियों के विपरीत, खोज प्रक्रिया में डेरिवेटिव के विश्लेषण से नहीं, बल्कि अगले चरण के प्रदर्शन के परिणामस्वरूप इष्टतमता मानदंड के मूल्य के तुलनात्मक मूल्यांकन से प्राप्त जानकारी का उपयोग करती हैं।

चरम सीमा की खोज के लिए ग्रेडिएंट-मुक्त तरीकों में शामिल हैं:

1. स्वर्णिम अनुपात विधि

2. फाइबोनियम संख्याओं का उपयोग करने वाली विधि

3. गॉस-सीडेल विधि (चर में परिवर्तन प्राप्त करने की विधि)

4. स्कैनिंग विधि, आदि।

सामान्य तौर पर, एक स्वचालित प्रणाली में एक नियंत्रण वस्तु और उपकरणों का एक सेट होता है जो इस वस्तु पर नियंत्रण प्रदान करता है। एक नियम के रूप में, उपकरणों के इस सेट में मापने वाले उपकरण, प्रवर्धक और परिवर्तित करने वाले उपकरण, साथ ही एक्चुएटर भी शामिल हैं। यदि हम इन उपकरणों को एक लिंक (नियंत्रण उपकरण) में जोड़ते हैं, तो सिस्टम का ब्लॉक आरेख इस तरह दिखता है:

एक स्वचालित प्रणाली में, नियंत्रण वस्तु की स्थिति के बारे में जानकारी एक मापने वाले उपकरण के माध्यम से नियंत्रण उपकरण के इनपुट को आपूर्ति की जाती है। ऐसी प्रणालियों को फीडबैक प्रणाली या बंद प्रणाली कहा जाता है। नियंत्रण एल्गोरिदम में इस जानकारी की अनुपस्थिति इंगित करती है कि सिस्टम खुला है। हम किसी भी समय नियंत्रण वस्तु की स्थिति का वर्णन करेंगे चर
, जिन्हें सिस्टम निर्देशांक या राज्य चर कहा जाता है। इन्हें निर्देशांक मानना ​​सुविधाजनक है - आयामी राज्य वेक्टर.

मापने वाला उपकरण वस्तु की स्थिति के बारे में जानकारी प्रदान करता है। यदि वेक्टर माप पर आधारित है
सभी निर्देशांकों के मान ज्ञात किये जा सकते हैं
राज्य वेक्टर
, तो सिस्टम को पूरी तरह से अवलोकनीय कहा जाता है।

नियंत्रण उपकरण एक नियंत्रण क्रिया उत्पन्न करता है
. ऐसी कई नियंत्रण क्रियाएं हो सकती हैं; - आयामी नियंत्रण वेक्टर.

नियंत्रण उपकरण का इनपुट एक संदर्भ इनपुट प्राप्त करता है
. यह इनपुट क्रिया इस बात की जानकारी देती है कि वस्तु की स्थिति क्या होनी चाहिए। नियंत्रण वस्तु किसी परेशान करने वाले प्रभाव के अधीन हो सकती है
, जो भार या अशांति का प्रतिनिधित्व करता है। किसी वस्तु के निर्देशांक को मापना आमतौर पर कुछ त्रुटियों के साथ किया जाता है
, जो यादृच्छिक भी हैं।

नियंत्रण उपकरण का कार्य ऐसी नियंत्रण क्रिया विकसित करना है
ताकि समग्र रूप से स्वचालित प्रणाली के कामकाज की गुणवत्ता कुछ अर्थों में सर्वोत्तम हो।

हम उन नियंत्रण वस्तुओं पर विचार करेंगे जो प्रबंधनीय हैं। अर्थात्, नियंत्रण वेक्टर को तदनुसार बदलकर राज्य वेक्टर को आवश्यकतानुसार बदला जा सकता है। हम मान लेंगे कि वस्तु पूरी तरह से देखने योग्य है।

उदाहरण के लिए, एक विमान की स्थिति छह राज्य निर्देशांकों द्वारा निर्धारित की जाती है। यह
- द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक,
- यूलर कोण, जो द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष विमान का उन्मुखीकरण निर्धारित करते हैं। लिफ्ट, हेडिंग, एलेरॉन और थ्रस्ट वेक्टरिंग का उपयोग करके विमान का रुख बदला जा सकता है। इस प्रकार नियंत्रण वेक्टर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

- लिफ्ट विक्षेपण कोण

- कुंआ

- एलेरॉन

- संकर्षण

राज्य वेक्टर
इस मामले में इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

आप एक नियंत्रण का चयन करने की समस्या उत्पन्न कर सकते हैं जिसकी सहायता से विमान को किसी दिए गए प्रारंभिक अवस्था से स्थानांतरित किया जाता है
किसी दी गई अंतिम स्थिति के लिए
न्यूनतम ईंधन खपत के साथ या न्यूनतम समय में।

तकनीकी समस्याओं को हल करने में अतिरिक्त जटिलता इस तथ्य के कारण उत्पन्न होती है कि, एक नियम के रूप में, नियंत्रण कार्रवाई और नियंत्रण वस्तु के राज्य निर्देशांक पर विभिन्न प्रतिबंध लगाए जाते हैं।

लिफ्ट, यॉ और एलेरॉन के किसी भी कोण पर प्रतिबंध हैं:

- कर्षण स्वयं सीमित है.

नियंत्रण वस्तु के राज्य निर्देशांक और उनके डेरिवेटिव भी अनुमेय अधिभार से जुड़े प्रतिबंधों के अधीन हैं।

हम उन नियंत्रण वस्तुओं पर विचार करेंगे जो अंतर समीकरण द्वारा वर्णित हैं:

(1)

या वेक्टर रूप में:

-वस्तु स्थिति का -आयामी वेक्टर

--नियंत्रण क्रियाओं का आयामी वेक्टर

- समीकरण के दाएँ पक्ष का कार्य (1)

नियंत्रण वेक्टर के लिए
एक प्रतिबंध लगाया गया है, हम मान लेंगे कि इसका मान किसी बंद क्षेत्र से संबंधित है कुछ -आयामी स्थान. इसका मतलब यह है कि कार्यपालिका कार्य करती है
किसी भी समय क्षेत्र से संबंधित है (
).

इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि नियंत्रण फ़ंक्शन के निर्देशांक असमानताओं को संतुष्ट करते हैं:

फिर क्षेत्र है -मापा गया घन.

आइए हम किसी भी टुकड़े-टुकड़े निरंतर फ़ंक्शन को स्वीकार्य नियंत्रण कहें
, जिसका मूल्य समय के प्रत्येक क्षण पर है क्षेत्र का है , और जिसमें पहली तरह की असाततताएँ हो सकती हैं। यह पता चला है कि कुछ इष्टतम नियंत्रण समस्याओं में भी समाधान टुकड़े-टुकड़े निरंतर नियंत्रण की कक्षा में प्राप्त किया जा सकता है। नियंत्रण का चयन करने के लिए
समय और सिस्टम की प्रारंभिक स्थिति के एक कार्य के रूप में
, जो विशिष्ट रूप से नियंत्रण वस्तु की गति को निर्धारित करता है, यह आवश्यक है कि समीकरणों की प्रणाली (1) क्षेत्र में समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता के प्रमेय की शर्तों को पूरा करे
. इस क्षेत्र में वस्तु की गति के संभावित प्रक्षेप पथ और संभावित नियंत्रण कार्य शामिल हैं।
. यदि चरों की भिन्नता का क्षेत्र उत्तल है, तो किसी समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता के लिए यह पर्याप्त है कि फ़ंक्शन

. सभी तर्कों में निरंतर थे और चर के संबंध में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न थे

.

एक मानदंड के रूप में जो सिस्टम संचालन की गुणवत्ता को दर्शाता है, फॉर्म की एक कार्यात्मकता का चयन किया जाता है:

(2)

एक समारोह के रूप में
हम मान लेंगे कि यह अपने सभी तर्कों में निरंतर है और इसके संबंध में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं

.

इष्टतम स्वचालित नियंत्रण प्रणाली के निर्माण की परिभाषा और आवश्यकता

स्वचालित नियंत्रण प्रणालियाँ आमतौर पर कुछ गुणवत्ता संकेतक सुनिश्चित करने के लिए आवश्यकताओं के आधार पर डिज़ाइन की जाती हैं। कई मामलों में, सुधारात्मक उपकरणों की मदद से गतिशील सटीकता में आवश्यक वृद्धि और स्वचालित नियंत्रण प्रणालियों की क्षणिक प्रक्रियाओं में सुधार हासिल किया जाता है।

गुणवत्ता संकेतकों में सुधार के लिए विशेष रूप से व्यापक अवसर ओपन-लूप क्षतिपूर्ति चैनलों और विभेदक कनेक्शनों के एसीएस में परिचय द्वारा प्रदान किए जाते हैं, जो मास्टर या परेशान करने वाले प्रभावों के संबंध में त्रुटि अपरिवर्तनीयता की एक या किसी अन्य स्थिति से संश्लेषित होते हैं। हालाँकि, एसीएस के गुणवत्ता संकेतकों पर सुधार उपकरणों, खुले क्षतिपूर्ति चैनलों और समकक्ष अंतर कनेक्शन का प्रभाव सिस्टम के गैर-रेखीय तत्वों द्वारा सिग्नल सीमा के स्तर पर निर्भर करता है। विभेदक उपकरणों के आउटपुट सिग्नल, आमतौर पर अवधि में कम और आयाम में महत्वपूर्ण, सिस्टम के तत्वों तक सीमित होते हैं और सिस्टम के गुणवत्ता संकेतकों, विशेष रूप से इसकी गति में सुधार नहीं करते हैं। श्रेष्ठतम अंकतथाकथित इष्टतम नियंत्रण सिग्नल सीमाओं की उपस्थिति में स्वचालित नियंत्रण प्रणाली के गुणवत्ता संकेतकों को बढ़ाने की समस्या का समाधान प्रदान करता है।

इष्टतम प्रणालियों को संश्लेषित करने की समस्या अपेक्षाकृत हाल ही में सख्ती से तैयार की गई थी, जब एक इष्टतमता मानदंड की अवधारणा को परिभाषित किया गया था। नियंत्रण लक्ष्य के आधार पर, नियंत्रित प्रक्रिया के विभिन्न तकनीकी या आर्थिक संकेतकों को इष्टतमता मानदंड के रूप में चुना जा सकता है। इष्टतम प्रणालियों में, न केवल एक या दूसरे तकनीकी और आर्थिक गुणवत्ता संकेतक में मामूली वृद्धि सुनिश्चित की जाती है, बल्कि इसके न्यूनतम या अधिकतम संभव मूल्य की उपलब्धि भी सुनिश्चित की जाती है।

यदि इष्टतमता मानदंड तकनीकी और आर्थिक नुकसान (सिस्टम त्रुटियां, संक्रमण प्रक्रिया समय, ऊर्जा खपत, धन, लागत, आदि) को व्यक्त करता है, तो इष्टतम नियंत्रण वह होगा जो न्यूनतम इष्टतमता मानदंड प्रदान करता है। यदि यह लाभप्रदता (दक्षता, उत्पादकता, लाभ, मिसाइल रेंज, आदि) व्यक्त करता है, तो इष्टतम नियंत्रण को अधिकतम इष्टतमता मानदंड प्रदान करना चाहिए।

इष्टतम स्वचालित नियंत्रण प्रणाली का निर्धारण करने की समस्या, विशेष रूप से सिस्टम के इष्टतम मापदंडों का संश्लेषण जब एक मास्टर इसके इनपुट पर प्राप्त होता है

प्रभाव और हस्तक्षेप, जो स्थिर यादृच्छिक संकेत हैं, पर अध्याय में विचार किया गया था। 7. आइए हम उसे याद करें इस मामले मेंमूल माध्य वर्ग त्रुटि (आरएमएसई) को इष्टतमता मानदंड के रूप में लिया जाता है। उपयोगी सिग्नल (प्रभाव निर्दिष्ट करना) के पुनरुत्पादन की सटीकता बढ़ाने और हस्तक्षेप को दबाने की शर्तें विरोधाभासी हैं, और इसलिए ऐसे (इष्टतम) सिस्टम पैरामीटर चुनने का कार्य उत्पन्न होता है जिस पर मानक विचलन सबसे छोटा मान लेता है।

माध्य वर्ग इष्टतमता मानदंड का उपयोग करके एक इष्टतम प्रणाली का संश्लेषण एक विशेष समस्या है। इष्टतम प्रणालियों को संश्लेषित करने की सामान्य विधियाँ विविधताओं की गणना पर आधारित होती हैं। हालाँकि, आधुनिक व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए विविधताओं की गणना के शास्त्रीय तरीके, जिनमें प्रतिबंधों को ध्यान में रखना आवश्यक है, कई मामलों में अनुपयुक्त साबित होते हैं। इष्टतम स्वचालित नियंत्रण प्रणालियों को संश्लेषित करने के लिए सबसे सुविधाजनक तरीके बेलमैन की गतिशील प्रोग्रामिंग विधि और पोंट्रीगिन का अधिकतम सिद्धांत हैं।

इस प्रकार, स्वचालित नियंत्रण प्रणालियों के विभिन्न गुणवत्ता संकेतकों में सुधार की समस्या के साथ, इष्टतम प्रणालियों के निर्माण की समस्या उत्पन्न होती है जिसमें एक या किसी अन्य तकनीकी और आर्थिक गुणवत्ता संकेतक का चरम मूल्य प्राप्त होता है।

इष्टतम स्वचालित नियंत्रण प्रणालियों का विकास और कार्यान्वयन उत्पादन इकाइयों के उपयोग की दक्षता बढ़ाने, श्रम उत्पादकता बढ़ाने, उत्पाद की गुणवत्ता में सुधार करने, ऊर्जा, ईंधन, कच्चे माल आदि की बचत करने में मदद करता है।

किसी वस्तु की चरण अवस्था और चरण प्रक्षेपवक्र के बारे में अवधारणाएँ

प्रौद्योगिकी में, नियंत्रित वस्तु (प्रक्रिया) को एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरित करने का कार्य अक्सर सामने आता है। उदाहरण के लिए, लक्ष्य निर्दिष्ट करते समय, रडार स्टेशन एंटीना को प्रारंभिक अज़ीमुथ के साथ प्रारंभिक स्थिति से अज़ीमुथ के साथ निर्दिष्ट स्थिति में घुमाना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, एंटीना से जुड़े इलेक्ट्रिक मोटर को नियंत्रण वोल्टेज की आपूर्ति की जाती है गियरबॉक्स. समय के प्रत्येक क्षण में, ऐन्टेना की स्थिति को घूर्णन कोण और कोणीय वेग के वर्तमान मान द्वारा दर्शाया जाता है, ये दो मात्राएँ नियंत्रण वोल्टेज के आधार पर बदलती हैं। इस प्रकार, तीन परस्पर जुड़े हुए पैरामीटर हैं और (चित्र 11.1)।

ऐन्टेना की स्थिति को दर्शाने वाली मात्राओं को चरण निर्देशांक कहा जाता है, और - नियंत्रण क्रिया। जब लक्ष्य को बंदूक मार्गदर्शन स्टेशन जैसे रडार को नामित किया जाता है, तो ऐन्टेना को अज़ीमुथ और ऊंचाई में घुमाने का कार्य उत्पन्न होता है। इस मामले में, हमारे पास वस्तु के चार चरण निर्देशांक और दो नियंत्रण क्रियाएं होंगी। एक उड़ने वाले विमान के लिए, हम छह चरण निर्देशांक (तीन स्थानिक निर्देशांक और तीन वेग घटक) और कई नियंत्रण क्रियाओं (इंजन जोर, पतवार की स्थिति को दर्शाने वाली मात्रा) पर विचार कर सकते हैं

चावल। 11.1. एक नियंत्रण क्रिया और दो चरण निर्देशांक के साथ किसी वस्तु का आरेख।

चावल। 11.2. नियंत्रण क्रियाओं और चरण निर्देशांक के साथ वस्तु का आरेख।

चावल। 11.3. नियंत्रण क्रिया और वस्तु की चरण स्थिति की वेक्टर छवि के साथ किसी वस्तु का आरेख

ऊंचाई और दिशा, एलेरॉन्स)। सामान्य स्थिति में, समय के प्रत्येक क्षण में, किसी वस्तु की स्थिति को चरण निर्देशांक द्वारा चित्रित किया जाता है, और नियंत्रण क्रियाएं वस्तु पर लागू की जा सकती हैं (चित्र 11.2)।

किसी प्रबंधित वस्तु (प्रक्रिया) के एक राज्य से दूसरे राज्य में स्थानांतरण को न केवल समझा जाना चाहिए यांत्रिक गति(उदाहरण के लिए, रडार एंटेना, विमान), लेकिन विभिन्न भौतिक मात्राओं में भी आवश्यक परिवर्तन: तापमान, दबाव, केबिन आर्द्रता, रासायनिक संरचनाएक उपयुक्त नियंत्रित तकनीकी प्रक्रिया के साथ एक या दूसरे कच्चे माल का।

नियंत्रण क्रियाओं को एक निश्चित वेक्टर के निर्देशांक के रूप में मानना ​​सुविधाजनक है जिसे नियंत्रण क्रिया वेक्टर कहा जाता है। किसी वस्तु के चरण निर्देशांक (राज्य चर) को निर्देशांक के साथ एक निश्चित वेक्टर या बिंदु के निर्देशांक के रूप में भी माना जा सकता है। इस बिंदु को वस्तु का चरण राज्य (राज्य वेक्टर) और -आयामी स्थान कहा जाता है जिसमें चरण अवस्थाओं को बिंदुओं के रूप में दर्शाया जाता है, विचाराधीन वस्तु का चरण स्थान (राज्य स्थान) कहलाता है। वेक्टर छवियों का उपयोग करते समय, नियंत्रित वस्तु को चित्र में दिखाए अनुसार चित्रित किया जा सकता है। 11.3, जहां और नियंत्रण क्रिया का वेक्टर है और चरण स्थान में एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है जो वस्तु की चरण स्थिति को दर्शाता है। नियंत्रण क्रिया के प्रभाव में, चरण बिंदु चलता है, चरण स्थान में एक निश्चित रेखा का वर्णन करता है, जिसे वस्तु के विचारित आंदोलन का चरण प्रक्षेपवक्र कहा जाता है।

इष्टतम नियंत्रण

इष्टतम नियंत्रणएक ऐसी प्रणाली को डिजाइन करने का कार्य है जो किसी दिए गए नियंत्रण वस्तु या प्रक्रिया के लिए, एक नियंत्रण कानून या प्रभावों का नियंत्रण अनुक्रम प्रदान करता है जो सिस्टम गुणवत्ता मानदंडों के दिए गए सेट की अधिकतम या न्यूनतम सुनिश्चित करता है।

इष्टतम नियंत्रण समस्या को हल करने के लिए, नियंत्रित वस्तु या प्रक्रिया का एक गणितीय मॉडल बनाया जाता है, जो नियंत्रण क्रियाओं और उसके स्वयं के प्रभाव के तहत समय के साथ उसके व्यवहार का वर्णन करता है। वर्तमान स्थिति. इष्टतम नियंत्रण समस्या के गणितीय मॉडल में शामिल हैं: नियंत्रण गुणवत्ता मानदंड के माध्यम से व्यक्त नियंत्रण लक्ष्य का निर्माण; नियंत्रण वस्तु की गति के संभावित तरीकों का वर्णन करने वाले अंतर या अंतर समीकरणों का निर्धारण; समीकरणों या असमानताओं के रूप में उपयोग किए जाने वाले संसाधनों पर प्रतिबंधों का निर्धारण।

नियंत्रण प्रणालियों के डिज़ाइन में सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली विधियाँ विविधताओं की गणना, पोंट्रीगिन का अधिकतम सिद्धांत और बेलमैन गतिशील प्रोग्रामिंग हैं।

कभी-कभी (उदाहरण के लिए, जटिल वस्तुओं का प्रबंधन करते समय, जैसे धातु विज्ञान में ब्लास्ट फर्नेस या आर्थिक जानकारी का विश्लेषण करते समय), इष्टतम नियंत्रण समस्या सेट करते समय नियंत्रित वस्तु के बारे में प्रारंभिक डेटा और ज्ञान में अनिश्चित या अस्पष्ट जानकारी होती है जिसे पारंपरिक द्वारा संसाधित नहीं किया जा सकता है मात्रात्मक विधियां। ऐसे मामलों में, आप फ़ज़ी सेट (फ़ज़ी कंट्रोल) के गणितीय सिद्धांत के आधार पर इष्टतम नियंत्रण एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं। उपयोग की गई अवधारणाओं और ज्ञान को अस्पष्ट रूप में परिवर्तित किया जाता है, निर्णय लेने के लिए अस्पष्ट नियम निर्धारित किए जाते हैं, फिर अस्पष्ट का उलटा परिवर्तन होता है लिए गए निर्णयभौतिक नियंत्रण चर में।

इष्टतम नियंत्रण समस्या

आइए इष्टतम नियंत्रण समस्या तैयार करें:

यहां राज्य वेक्टर है - नियंत्रण, - समय के प्रारंभिक और अंतिम क्षण।

इष्टतम नियंत्रण समस्या समय के लिए स्थिति और नियंत्रण कार्यों को ढूंढना है जो कार्यक्षमता को कम करते हैं।

विविधताओं की गणना

आइए हम इस इष्टतम नियंत्रण समस्या को विविधताओं की गणना में लैग्रेंज समस्या के रूप में मानें। एक चरम के लिए आवश्यक शर्तें खोजने के लिए, हम यूलर-लैग्रेंज प्रमेय लागू करते हैं। लैग्रेंज फ़ंक्शन का रूप है:, सीमा स्थितियाँ कहाँ हैं। लैग्रेंजियन का रूप है: , जहां , , लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के एन-आयामी वैक्टर हैं।

इस प्रमेय के अनुसार, एक चरम के लिए आवश्यक शर्तें इस प्रकार हैं:

आवश्यक स्थितियाँ (3-5) इष्टतम प्रक्षेप पथ निर्धारित करने का आधार बनती हैं। इन समीकरणों को लिखने के बाद, हमें दो-बिंदु सीमा समस्या प्राप्त होती है, जहां सीमा शर्तों का हिस्सा समय के प्रारंभिक क्षण में निर्दिष्ट किया जाता है, और बाकी अंतिम क्षण में निर्दिष्ट किया जाता है। पुस्तक में ऐसी समस्याओं के समाधान के तरीकों पर विस्तार से चर्चा की गई है।

पोंट्रीगिन का अधिकतम सिद्धांत

पोंट्रीगिन अधिकतम सिद्धांत की आवश्यकता उस स्थिति में उत्पन्न होती है जब नियंत्रण चर की स्वीकार्य सीमा में कहीं भी आवश्यक शर्त (3) को संतुष्ट करना संभव नहीं होता है।

इस मामले में, शर्त (3) को शर्त (6) से बदल दिया जाता है:

(6)

इस मामले में, पोंट्रीगिन के अधिकतम सिद्धांत के अनुसार, इष्टतम नियंत्रण का मूल्य स्वीकार्य सीमा के किसी एक छोर पर नियंत्रण के मूल्य के बराबर है। पोंट्रीगिन के समीकरण संबंध द्वारा परिभाषित हैमिल्टन फ़ंक्शन एच का उपयोग करके लिखे गए हैं। समीकरणों से यह पता चलता है कि हैमिल्टन फ़ंक्शन H, लैग्रेंज फ़ंक्शन L से इस प्रकार संबंधित है:। अंतिम समीकरण से एल को समीकरण (3-5) में प्रतिस्थापित करने पर हम हैमिल्टन फ़ंक्शन के माध्यम से व्यक्त आवश्यक शर्तें प्राप्त करते हैं:

इस रूप में लिखी गई आवश्यक शर्तों को पोंट्रीगिन समीकरण कहा जाता है। पुस्तक में पोंट्रीगिन के अधिकतम सिद्धांत पर अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

इसका उपयोग कहां किया जाता है?

अधिकतम गति और न्यूनतम ऊर्जा खपत वाले नियंत्रण प्रणालियों में अधिकतम सिद्धांत विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां रिले-प्रकार के नियंत्रणों का उपयोग किया जाता है जो अनुमेय नियंत्रण अंतराल के भीतर मध्यवर्ती मूल्यों के बजाय चरम मान लेते हैं।

कहानी

इष्टतम नियंत्रण के सिद्धांत के विकास के लिए एल.एस. पोंट्रीगिन और उनके सहयोगी वी.जी. बोल्ट्यांस्की, आर.वी. गैम्क्रेलिद्ज़े और ई.एफ. मिशचेंको को 1962 में लेनिन पुरस्कार से सम्मानित किया गया था।

गतिशील प्रोग्रामिंग विधि

गतिशील प्रोग्रामिंग विधि बेलमैन के इष्टतमता के सिद्धांत पर आधारित है, जिसे निम्नानुसार तैयार किया गया है: इष्टतम नियंत्रण रणनीति में यह गुण होता है कि प्रक्रिया की शुरुआत में प्रारंभिक स्थिति और नियंत्रण जो भी हो, बाद के नियंत्रणों को इसके सापेक्ष एक इष्टतम नियंत्रण रणनीति का गठन करना चाहिए। प्रक्रिया के प्रारंभिक चरण के बाद प्राप्त स्थिति। गतिशील प्रोग्रामिंग पद्धति का पुस्तक में अधिक विस्तार से वर्णन किया गया है

टिप्पणियाँ

साहित्य

1. रैस्ट्रिगिन एल.ए. आधुनिक सिद्धांतजटिल वस्तुओं का प्रबंधन. - एम.:सोव. रेडियो, 1980. - 232 पी., बीबीके 32.815, रेफरी। 12000 प्रतियां
2. अलेक्सेव वी.एम., तिखोमीरोव वी.एम. , फोमिन एस.वी. इष्टतम नियंत्रण. - एम.: नौका, 1979, यूडीसी 519.6, - 223 पीपी., डैश। 24000 प्रतियां

यह सभी देखें

विकिमीडिया फ़ाउंडेशन. 2010.

देखें अन्य शब्दकोशों में "इष्टतम नियंत्रण" क्या है:

इष्टतम नियंत्रण- ओयू नियंत्रण जो एक निश्चित इष्टतमता मानदंड (ओसी) का सबसे अनुकूल मूल्य प्रदान करता है, जो दिए गए प्रतिबंधों के तहत नियंत्रण की प्रभावशीलता को दर्शाता है। विभिन्न तकनीकी या आर्थिक... ... मानक और तकनीकी दस्तावेज़ीकरण की शर्तों की शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक

इष्टतम नियंत्रण- प्रबंधन, जिसका उद्देश्य प्रबंधन गुणवत्ता संकेतक के चरम मूल्य को सुनिश्चित करना है। [अनुशंसित शर्तों का संग्रह. अंक 107. प्रबंधन सिद्धांत। यूएसएसआर की विज्ञान अकादमी। वैज्ञानिक एवं तकनीकी शब्दावली समिति। 1984]… … तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

इष्टतम नियंत्रण- 1. इष्टतम प्रक्रियाओं के गणितीय सिद्धांत की मूल अवधारणा (उसी नाम के तहत गणित की शाखा से संबंधित: "O.u."); इसका मतलब नियंत्रण मापदंडों का चयन है जो ... के दृष्टिकोण से सर्वोत्तम प्रदान करेगा। आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

आपको दी गई शर्तों (अक्सर विरोधाभासी) के तहत अपना लक्ष्य प्राप्त करने की अनुमति देता है सबसे अच्छा तरीका, उदा. न्यूनतम समय में, अधिकतम आर्थिक प्रभाव के साथ, अधिकतम सटीकता के साथ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

विमान उड़ान गतिशीलता का एक खंड है जो विमान और उसके प्रक्षेप पथ के गति नियंत्रण के नियमों को निर्धारित करने के लिए अनुकूलन विधियों के विकास और उपयोग के लिए समर्पित है जो चयनित मानदंड का अधिकतम या न्यूनतम प्रदान करता है... ... प्रौद्योगिकी का विश्वकोश

गणित की एक शाखा जो गैर-शास्त्रीय परिवर्तनशील समस्याओं का अध्ययन करती है। प्रौद्योगिकी जिन वस्तुओं से निपटती है, वे आमतौर पर "पतवारों" से सुसज्जित होती हैं, जिनकी मदद से व्यक्ति गति को नियंत्रित करता है। गणितीय रूप से, ऐसी वस्तु के व्यवहार का वर्णन किया गया है... ... महान सोवियत विश्वकोश