पासे का इतिहास. पासे को कम या ज्यादा यादृच्छिक कैसे घुमाया जाए

सबसे आम प्रकार एक घन के आकार का होता है, जिसके प्रत्येक तरफ एक से छह तक संख्याएँ होती हैं। खिलाड़ी, इसे एक सपाट सतह पर फेंककर, परिणाम को शीर्ष किनारे पर देखता है। हड्डियाँ संयोग, अच्छे या बुरे भाग्य का वास्तविक मुखपत्र हैं।

दुर्घटना।
क्यूब्स (हड्डियाँ) लंबे समय से अस्तित्व में हैं, लेकिन उन्होंने 2600 ईसा पूर्व के आसपास छह भुजाओं वाला पारंपरिक रूप प्राप्त कर लिया। इ। प्राचीन यूनानियों को पासा खेलना पसंद था, और उनकी किंवदंतियों में उनके आविष्कारक के रूप में नायक पालमेडिस का उल्लेख किया गया है, जिन पर ओडीसियस ने अन्यायपूर्ण तरीके से राजद्रोह का आरोप लगाया था। किंवदंती के अनुसार, उन्होंने ट्रॉय को घेरने वाले सैनिकों का मनोरंजन करने के लिए इस खेल का आविष्कार किया था, जिसे एक विशाल लकड़ी के घोड़े की बदौलत पकड़ लिया गया था। जूलियस सीज़र के समय में रोमन लोग भी विभिन्न प्रकार के पासों के खेल से अपना मनोरंजन करते थे। लैटिन में क्यूब को डेटम कहा जाता था, जिसका अर्थ है "दिया गया।"

निषेध.
मध्य युग में, 12वीं शताब्दी के आसपास, पासे यूरोप में बहुत लोकप्रिय हो गए: पासे, जिन्हें आप हर जगह अपने साथ ले जा सकते थे, सैनिकों और किसानों दोनों के बीच लोकप्रिय थे। ऐसा कहा जाता है कि छह सौ से अधिक विभिन्न खेल थे! पासों का उत्पादन एक अलग पेशा बन गया है। धर्मयुद्ध से लौट रहे राजा लुई IX (1214-1270) ने इसे स्वीकार नहीं किया जुआऔर पूरे राज्य में पासों के उत्पादन पर प्रतिबंध लगाने का आदेश दिया। खेल से अधिक, अधिकारी इससे जुड़ी अशांति से असंतुष्ट थे - तब वे मुख्य रूप से शराबखानों में खेलते थे और खेल अक्सर झगड़े और छुरेबाजी में समाप्त होते थे। लेकिन किसी भी निषेध ने पासे को समय तक जीवित रहने और आज तक जीवित रहने से नहीं रोका।

आवेशित पासा!
डाई रोल का परिणाम हमेशा संयोग से निर्धारित होता है, लेकिन कुछ धोखेबाज इसे बदलने की कोशिश करते हैं। पासे में छेद करके और उसमें सीसा या पारा डालकर, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि फेंकने पर हर बार एक ही परिणाम मिलता है। ऐसे घन को "आवेशित" कहा जाता है। विभिन्न सामग्रियों से बने, चाहे वह सोना, पत्थर, क्रिस्टल, हड्डी हो, पासे के अलग-अलग आकार हो सकते हैं। महान पिरामिडों का निर्माण करने वाले मिस्र के फिरौन की कब्रों में छोटे पिरामिड (टेट्राहेड्रोन) आकार के पासे पाए गए थे! विभिन्न समय में, 8, 10, 12, 20 और यहाँ तक कि 100 भुजाओं वाले पासे बनाए जाते थे। आमतौर पर इन्हें संख्याओं से चिह्नित किया जाता है, लेकिन उनके स्थान पर कल्पना के लिए जगह देते हुए अक्षर या चित्र भी हो सकते हैं।

पासा कैसे फेंके.
हड्डियाँ न केवल अलग-अलग आकार में आती हैं, बल्कि अलग-अलग आकार में भी आती हैं विभिन्न तरीकेखेल. कुछ खेलों के नियमों के अनुसार आपको एक निश्चित तरीके से रोल करने की आवश्यकता होती है, आमतौर पर गणना किए गए रोल से बचने के लिए या पासे को तिरछी स्थिति में आराम करने से रोकने के लिए। कभी-कभी धोखाधड़ी या गेमिंग टेबल से गिरने से बचने के लिए वे एक विशेष गिलास के साथ आते हैं। क्रेप के अंग्रेजी खेल में, तीनों पासों को खेल की मेज या दीवार पर मारना चाहिए ताकि धोखेबाजों को बिना घुमाए पासे को घुमाकर फेंकने का नाटक करने से रोका जा सके।

यादृच्छिकता और संभाव्यता.
पासा हमेशा एक यादृच्छिक परिणाम देता है जिसकी भविष्यवाणी नहीं की जा सकती। एक पासे के साथ, एक खिलाड़ी के पास 6 के बराबर 1 प्राप्त करने की उतनी ही संभावना होती है - यह सब संयोग से निर्धारित होता है। इसके विपरीत, दो पासों के साथ, यादृच्छिकता का स्तर कम हो जाता है, क्योंकि खिलाड़ी के पास परिणाम के बारे में अधिक जानकारी होती है: उदाहरण के लिए, दो पासों के साथ, संख्या 7 कई तरीकों से प्राप्त की जा सकती है - 1 और 6, 5 और 2 फेंककर , या 4 और 3... लेकिन संख्या 2 प्राप्त करने की संभावना केवल एक है: 1 को दो बार रोल करना। इस प्रकार, 7 प्राप्त करने की संभावना 2 प्राप्त करने की तुलना में अधिक है! इसे संभाव्यता सिद्धांत कहा जाता है। कई खेल इस सिद्धांत से जुड़े हैं, विशेषकर पैसे के लिए खेल।

पासे के उपयोग के बारे में.
अन्य तत्वों के बिना, पासा एक अकेला खेल हो सकता है। एकमात्र चीज़ जो व्यावहारिक रूप से मौजूद नहीं है वह है एक ही क्यूब के लिए गेम। नियमों के अनुसार कम से कम दो (उदाहरण के लिए, क्रेप) की आवश्यकता होती है। पासा पोकर खेलने के लिए आपके पास पांच पासे, एक कलम और कागज होना चाहिए। लक्ष्य एक ही नाम के कार्ड गेम के समान संयोजनों को पूरा करना है, उनके लिए अंकों को एक विशेष तालिका में रिकॉर्ड करना है। इसके अलावा, क्यूब एक बहुत ही लोकप्रिय हिस्सा है बोर्ड के खेल जैसे शतरंज सांप सीढ़ी आदि, जो आपको टुकड़ों को स्थानांतरित करने या खेल की लड़ाइयों का परिणाम तय करने की अनुमति देता है।

डाई डाली जाती है.
49 ईसा पूर्व में. इ। युवा जूलियस सीज़र ने गॉल पर विजय प्राप्त की और पोम्पेई लौट आया। लेकिन उनकी शक्ति सीनेटरों के लिए चिंता का विषय थी, जिन्होंने उनकी वापसी से पहले उनकी सेना को भंग करने का फैसला किया। भावी सम्राट, गणतंत्र की सीमाओं पर पहुँचकर, अपनी सेना के साथ इसे पार करके आदेश का उल्लंघन करने का निर्णय लेता है। रूबिकॉन (वह नदी जो सीमा थी) पार करने से पहले, उसने अपने सेनापतियों से कहा "एलिया जैक्टा इस्ट" ("डाई डाली गई है")। यह कहावत एक तकिया कलाम बन गई है, जिसका अर्थ यह है कि जैसे खेल में, कुछ के बाद निर्णय किये गयेअब पीछे हटना संभव नहीं है.

नियमित पासों की तुलना में ऑनलाइन पासा जनरेटर का लाभ स्पष्ट है - यह कभी नहीं खोएगा! वर्चुअल क्यूब अपने कार्यों को वास्तविक क्यूब से कहीं बेहतर तरीके से संभालेगा - परिणामों में हेरफेर को पूरी तरह से बाहर रखा गया है और आप केवल महामहिम के मौके पर भरोसा कर सकते हैं। डाइस ऑनलाइन, अन्य बातों के अलावा, आपके खाली समय में बेहतरीन मनोरंजन है। परिणाम उत्पन्न करने में तीन सेकंड लगते हैं, जिससे खिलाड़ियों का उत्साह और रुचि बढ़ती है। पासा रोल का अनुकरण करने के लिए, आपको बस कीबोर्ड पर "1" बटन दबाना होगा, जो आपको विचलित नहीं होने देगा, उदाहरण के लिए, एक रोमांचक बोर्ड गेम से।

घनों की संख्या:

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जब हम "पासा" जैसा कोई वाक्यांश सुनते हैं, तो हम तुरंत कैसिनो के संघ में आ जाते हैं, जहां उनके बिना काम नहीं चल सकता। आरंभ करने के लिए, आइए थोड़ा याद रखें कि यह वस्तु क्या है।

पासे घन होते हैं, जिनके प्रत्येक तरफ 1 से 6 तक की संख्याओं को बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। जब हम उन्हें फेंकते हैं, तो हम हमेशा इस आशा में रहते हैं कि जो संख्या हमने कल्पना की है और वांछित है वह आ जाएगी। लेकिन ऐसे मामले भी होते हैं जब घन, अपने किनारे पर गिरने पर, संख्या नहीं दिखाता है। इसका मतलब यह है कि इस तरह छोड़ने वाला व्यक्ति किसी को भी चुन सकता है।

ऐसा भी होता है कि घन बिस्तर या कोठरी के नीचे लुढ़क सकता है और जब उसे वहां से हटाया जाता है, तो संख्या तदनुसार बदल जाती है। इस मामले में, पासे को फिर से घुमाया जाता है ताकि हर कोई संख्या को स्पष्ट रूप से देख सके।

1 क्लिक में ऑनलाइन पासा रोल

नियमित पासे वाले खेल में, धोखा देना बहुत आसान है। वांछित संख्या प्राप्त करने के लिए, आपको घन के इस पक्ष को शीर्ष पर रखना होगा और इसे मोड़ना होगा ताकि यह वही रहे (केवल पार्श्व भाग घूमता है)। यह पूरी गारंटी नहीं है, लेकिन जीत का प्रतिशत पचहत्तर प्रतिशत होगा।

यदि आप दो पासों का उपयोग करते हैं, तो संभावनाएँ घटकर तीस हो जाती हैं, लेकिन यह अभी भी काफी प्रतिशत है। धोखाधड़ी के कारण, कई खिलाड़ी अभियान पासे का उपयोग करना पसंद नहीं करते हैं।

हमारी अद्भुत सेवा ऐसी स्थितियों से बचने के लिए सटीक रूप से काम करती है। हमारे साथ धोखाधड़ी करना असंभव होगा, क्योंकि ऑनलाइन पासा रोल नकली नहीं हो सकता। पेज पर 1 से 6 तक की संख्या पूरी तरह से यादृच्छिक और अनियंत्रित तरीके से दिखाई देगी।

सुविधाजनक पासा जनरेटर

एक बहुत बड़ा लाभ यह है कि ऑनलाइन पासा जनरेटर खो नहीं सकता है (खासकर चूंकि इसे बुकमार्क किया जा सकता है), और एक साधारण छोटा पासा आसानी से कहीं खो सकता है। इसके अलावा एक बड़ा फायदा यह होगा कि परिणामों में हेरफेर को पूरी तरह से बाहर रखा जाएगा। जनरेटर में एक फ़ंक्शन होता है जो आपको एक ही समय में रोल करने के लिए एक से तीन पासों का चयन करने की अनुमति देता है।

ऑनलाइन पासा जनरेटर एक बहुत ही दिलचस्प मनोरंजन है, जो अंतर्ज्ञान विकसित करने के तरीकों में से एक है। हमारी सेवा का उपयोग करें और तुरंत और विश्वसनीय परिणाम प्राप्त करें।

5 में से 4.8 (रेटिंग: 116)

गामासूत्र पर डिजाइनर टायलर सिगमैन द्वारा लिखित। मैं प्यार से इसे "ऑर्क की नाक में बाल" लेख कहता हूं, लेकिन यह खेलों में संभावनाओं की मूल बातें बताने का बहुत अच्छा काम करता है।

इस सप्ताह का विषय

अब तक, हमने लगभग हर चीज के बारे में बात की है जो नियतिवादी रही है, और पिछले हफ्ते हमने ट्रांजिटिव मैकेनिक्स पर करीब से नज़र डाली और जितना मैं समझा सकता हूं उसे तोड़ दिया। लेकिन अब तक हमने कई खेलों के एक बड़े पहलू पर ध्यान नहीं दिया है, अर्थात् गैर-नियतात्मक पहलू, दूसरे शब्दों में - यादृच्छिकता। गेम डिजाइनरों के लिए यादृच्छिकता की प्रकृति को समझना बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि हम ऐसे सिस्टम बनाते हैं जो किसी दिए गए गेम में खिलाड़ी के अनुभव को प्रभावित करते हैं, इसलिए हमें यह जानना होगा कि वे सिस्टम कैसे काम करते हैं। यदि सिस्टम में अनियमितता है तो आपको समझने की जरूरत है प्रकृतियह यादृच्छिकता और हमें आवश्यक परिणाम प्राप्त करने के लिए इसे कैसे बदला जाए।

पासा

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें: पासा पलटना। जब अधिकांश लोग पासे के बारे में सोचते हैं, तो वे छह भुजाओं वाले पासे के बारे में सोचते हैं जिसे d6 के नाम से जाना जाता है। लेकिन अधिकांश गेमर्स ने कई अन्य पासे देखे हैं: चार-तरफा (डी4), अष्टकोणीय (डी8), बारह-तरफा (डी12), बीस-तरफा (डी20) ... और यदि आप असलीगीक, आपके पास कहीं 30-पक्षीय या 100-पक्षीय पासा हो सकता है। यदि आप इस शब्दावली से परिचित नहीं हैं, तो "डी" का अर्थ पासा है, और इसके बाद की संख्या यह बताती है कि इसकी कितनी भुजाएँ हैं। अगर पहले“d” एक संख्या है, इसका मतलब है मात्रापासा फेंकने पर. उदाहरण के लिए, मोनोपोली के खेल में आप 2d6 रोल करते हैं।

तो, में इस मामले मेंवाक्यांश "पासा" एक प्रतीक है। बड़ी संख्या में अन्य यादृच्छिक संख्या जनरेटर हैं जो प्लास्टिक की गांठ के आकार के नहीं होते हैं लेकिन 1 से n तक यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने का समान कार्य करते हैं। एक साधारण सिक्के को एक डायहेड्रल पासा d2 के रूप में भी सोचा जा सकता है। मैंने सात-तरफा पासों के दो डिज़ाइन देखे: उनमें से एक पासे जैसा दिखता था, और दूसरा सात-तरफा लकड़ी की पेंसिल जैसा दिखता था। टेट्राहेड्रल ड्रिडेल (जिसे टिटोटम भी कहा जाता है) टेट्राहेड्रल हड्डी के समान है। खेल "चूट्स एंड लैडर्स" में घूमने वाला तीर खेल का मैदान, जहां परिणाम 1 से 6 तक हो सकता है, छह-तरफा पासे से मेल खाता है। कंप्यूटर में एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर 1 से 19 तक कोई भी संख्या बना सकता है यदि डिजाइनर ऐसा आदेश निर्दिष्ट करता है, हालांकि कंप्यूटर में 19-पक्षीय पासा नहीं है (सामान्य तौर पर, मैं संख्याओं के प्रदर्शित होने की संभावना के बारे में अधिक बात करूंगा) कंप्यूटर में अगलासप्ताह)। हालाँकि ये सभी वस्तुएँ अलग-अलग दिखती हैं, वे वास्तव में एक ही हैं: आपके पास कई परिणामों में से एक प्राप्त करने का समान मौका है।

पासे में कुछ दिलचस्प गुण हैं जिनके बारे में हमें जानना आवश्यक है। सबसे पहले, किसी भी चेहरे को घुमाने की संभावना समान है (मैं मान रहा हूं कि आप एक नियमित पासा घुमा रहे हैं, अनियमित ज्यामितीय आकार वाला नहीं)। तो अगर आप जानना चाहते हैं औसत मूल्यफेंकें (संभावना के विषय में रुचि रखने वालों के बीच इसे "गणितीय अपेक्षित मूल्य" के रूप में भी जाना जाता है), सभी पक्षों के मूल्यों को जोड़ें और इस योग को विभाजित करें मात्राचेहरे के। एक मानक छह-तरफा पासे का औसत रोल 1+2+3+4+5+6 = 21 है, जिसे भुजाओं की संख्या (6) से विभाजित किया जाता है और औसत 21/6 = 3.5 होता है। यह एक विशेष मामला है क्योंकि हम मानते हैं कि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

यदि आपके पास विशेष पासा हो तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, मैंने षट्कोण वाला एक खेल देखा पासाकिनारों पर विशेष स्टिकर के साथ: 1, 1, 1, 2, 2, 3, इसलिए यह एक अजीब तीन तरफा पासे की तरह व्यवहार करता है जिसमें 2 की तुलना में 1 और 3 की तुलना में 2 रोल होने की अधिक संभावना है। इसके लिए औसत रोल क्या है यह हड्डी? तो, 1+1+1+2+2+3 = 10, 6 से विभाजित करने पर, 5/3 या लगभग 1.66 के बराबर होता है। इसलिए यदि आपके पास यह विशेष पासा है और खिलाड़ी तीन पासे फेंकते हैं और फिर परिणाम जोड़ते हैं, तो आप जानते हैं कि उनके पासे का कुल योग लगभग 5 होगा, और आप उस धारणा के आधार पर खेल को संतुलित कर सकते हैं।

पासा और स्वतंत्रता

जैसा कि मैंने पहले ही कहा, हम इस धारणा से आगे बढ़ते हैं कि प्रत्येक पक्ष के असफल होने की समान संभावना है। यह इस बात पर निर्भर नहीं करता कि आपने कितने पासे फेंके। पासे का हर फेंक ध्यान दिए बगैर, इसका मतलब यह है कि पिछले रोल बाद के रोल के परिणामों को प्रभावित नहीं करते हैं। पर्याप्त परीक्षण के साथ आप निश्चित रूप से ऐसा करेंगे सूचनासंख्याओं की एक "श्रृंखला", जैसे अधिकतर उच्च या निम्न संख्याओं को रोल करना, या अन्य विशेषताएं, और हम इसके बारे में बाद में बात करेंगे, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि पासा "गर्म" या "ठंडा" है। यदि आप एक मानक छह-तरफा पासा घुमाते हैं और लगातार दो बार नंबर 6 प्राप्त करते हैं, तो अगले रोल में 6 आने की संभावना भी 1/6 है। संभावना नहीं बढ़ती क्योंकि घन "गर्म" हो गया है। संभावना कम नहीं होती क्योंकि संख्या 6 पहले ही लगातार दो बार सामने आ चुकी है, जिसका मतलब है कि अब दूसरा पक्ष सामने आएगा। (निस्संदेह, यदि आप पासे को बीस बार घुमाते हैं और हर बार 6 प्राप्त करते हैं, तो इक्कीसवीं बार 6 आने की संभावना बहुत अधिक है... क्योंकि इसका शायद मतलब है कि आपके पास गलत पासा है!) लेकिन यदि आप सही पासा होने पर, प्रत्येक पक्ष के पासा गिरने की संभावना समान होती है, भले ही अन्य पासों के परिणाम कुछ भी हों। आप यह भी कल्पना कर सकते हैं कि हर बार जब हम पासा बदलते हैं, तो यदि संख्या 6 को लगातार दो बार घुमाया जाता है, तो खेल से "हॉट" पासे को हटा दें और इसे एक नए छह-तरफा पासे से बदल दें। अगर आपमें से किसी को इसके बारे में पहले से पता था तो मैं माफी चाहता हूं, लेकिन आगे बढ़ने से पहले मुझे इसे स्पष्ट करना होगा।

पासे को कम या ज्यादा यादृच्छिक कैसे घुमाया जाए

आइए इस बारे में बात करें कि अलग-अलग पासों पर अलग-अलग परिणाम कैसे प्राप्त करें। चाहे आप पासे को केवल एक बार घुमाएँ या कई बार, यदि पासे के अधिक पहलू होंगे तो खेल अधिक यादृच्छिक लगेगा। जितनी अधिक बार आप पासे को घुमाते हैं, या जितने अधिक पासों को घुमाते हैं, परिणाम उतने ही अधिक औसत की ओर बढ़ते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप 1d6+4 रोल करते हैं (यानी एक मानक छह-पक्षीय पासा एक बार और परिणाम में 4 जोड़ते हैं), तो औसत 5 और 10 के बीच की एक संख्या होगी। यदि आप 5d2 रोल करते हैं, तो औसत भी बीच की एक संख्या होगी 5 और 10. लेकिन छह भुजाओं वाला पासा फेंकने पर अंक 5, 8 या 10 मिलने की संभावना समान होती है। 5d2 को रोल करने का नतीजा मुख्य रूप से संख्या 7 और 8 होगा, कम अक्सर अन्य मान। एक ही श्रृंखला, एक ही औसत मान (दोनों मामलों में 7.5), लेकिन यादृच्छिकता की प्रकृति अलग है।

ज़रा ठहरिये। क्या मैंने यह नहीं कहा कि पासा न तो गर्म होता है और न ही ठंडा होता है? अब मैं कह रहा हूं कि यदि आप बहुत सारे पासे फेंकते हैं, तो पासे के परिणाम औसत के करीब होते हैं? क्यों?

मुझे समझाने दो। यदि आपने छोड़ दिया एकपासा, प्रत्येक पक्ष के गिरने की संभावना समान है। इसका मतलब यह है कि यदि आप बहुत सारे पासे घुमाते हैं, तो समय के साथ प्रत्येक पक्ष लगभग समान संख्या में दिखाई देगा। आप जितने अधिक पासे घुमाएंगे, कुल परिणाम उतना ही अधिक औसत के करीब पहुंचेगा। ऐसा इसलिए नहीं है क्योंकि जो संख्या निकाली जाती है वह किसी अन्य संख्या को निकालने के लिए "मजबूर" करती है जो अभी तक नहीं निकाली गई है। लेकिन क्योंकि संख्या 6 (या 20, या अन्य संख्या) को रोल आउट करने की एक छोटी सी श्रृंखला अंततः नहीं होगी काफी महत्व की, यदि आप पासे को दस हजार बार और घुमाते हैं और जो संख्याएँ आती हैं वे अधिकतर औसत होती हैं... हो सकता है कि आपको अभी कुछ ऊँची संख्याएँ मिलें, लेकिन हो सकता है कि बाद में कुछ कम संख्याएँ आएँ और समय के साथ वे औसत के करीब पहुँच जाएँ। औसत। इसलिए नहीं कि पिछले रोल पासों को प्रभावित करते हैं (गंभीरता से, पासे किससे बने होते हैं)। प्लास्टिक, उसके पास यह सोचने का दिमाग नहीं है, "ओह, मुझे 2 रोल किए हुए काफी समय हो गया है"), लेकिन क्योंकि जब आप बहुत सारे पासे पलटते हैं तो आमतौर पर ऐसा ही होता है। बड़ी संख्या में परिणामों में दोहराई जाने वाली संख्याओं की एक छोटी श्रृंखला लगभग अदृश्य होगी।

इस प्रकार, पासे के एक यादृच्छिक रोल के लिए गणना करना काफी सरल है, कम से कम जहां तक ​​रोल के औसत मूल्य की गणना का सवाल है। कोई चीज़ "कितनी यादृच्छिक" है, इसकी गणना करने के भी तरीके हैं, यह कहने का एक तरीका है कि 1d6+4 को रोल करने के परिणाम 5d2 की तुलना में "अधिक यादृच्छिक" होंगे, 5d2 के लिए रोल का वितरण अधिक समान होगा, आमतौर पर इसके लिए आप गणना करते हैं मानक विचलन, और मूल्य जितना बड़ा होगा, परिणाम उतने ही अधिक यादृच्छिक होंगे, लेकिन इसके लिए जितनी गणना मैं आज देना चाहूंगा उससे अधिक की आवश्यकता है (मैं इस विषय को बाद में समझाऊंगा)। केवल एक चीज जो मैं आपसे जानना चाहता हूं वह यह है कि, एक सामान्य नियम के रूप में, जितने कम पासे फेंके जाएंगे, यादृच्छिकता उतनी ही अधिक होगी। इस विषय पर एक और बात: पासे के जितने अधिक पहलू होंगे, यादृच्छिकता उतनी ही अधिक होगी, क्योंकि आपके पास अधिक विकल्प होते हैं।

गिनती का उपयोग करके संभाव्यता की गणना कैसे करें

आप सोच रहे होंगे: हम एक निश्चित परिणाम प्राप्त करने की सटीक संभावना की गणना कैसे कर सकते हैं? यह वास्तव में कई खेलों के लिए काफी महत्वपूर्ण है, क्योंकि यदि आप पासा फेंकते हैं, तो शुरुआत में किसी प्रकार का इष्टतम परिणाम मिलने की संभावना है। उत्तर यह है कि हमें दो मान गिनने की आवश्यकता है। सबसे पहले, पासा फेंकते समय परिणामों की अधिकतम संख्या गिनें (चाहे परिणाम कुछ भी हो)। फिर अनुकूल परिणामों की संख्या गिनें। दूसरे मान को पहले मान से विभाजित करने पर आपको वांछित संभावना प्राप्त होगी। प्रतिशत प्राप्त करने के लिए, परिणाम को 100 से गुणा करें।

उदाहरण:

यहाँ एक बहुत ही सरल उदाहरण है. आप चाहते हैं कि संख्या 4 या उससे अधिक संख्या वाले छह-तरफा पासे को एक बार घुमाया जाए। परिणामों की अधिकतम संख्या 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) है। इनमें से 3 परिणाम (4, 5, 6) अनुकूल हैं। इसका मतलब है कि संभाव्यता की गणना करने के लिए, हम 3 को 6 से विभाजित करते हैं और 0.5 या 50% प्राप्त करते हैं।

यहां एक उदाहरण थोड़ा अधिक जटिल है। 2d6 रोल करते समय आप एक सम संख्या चाहते हैं। परिणामों की अधिकतम संख्या 36 है (प्रत्येक पासे के लिए 6, और चूँकि एक पासा दूसरे को प्रभावित नहीं करता है, हम 6 परिणामों को 6 से गुणा करते हैं और 36 प्राप्त करते हैं)। इस प्रकार के प्रश्न में कठिनाई यह है कि दो बार गिनना आसान होता है। उदाहरण के लिए, 2d6 के रोल पर 3 के लिए वास्तव में दो विकल्प हैं: 1+2 और 2+1। वे समान दिखते हैं, लेकिन अंतर यह है कि पहले पासे पर कौन सी संख्या प्रदर्शित होती है और दूसरे पासे पर कौन सी संख्या प्रदर्शित होती है। आप यह भी कल्पना कर सकते हैं कि पासा अलग - अलग रंग, इसलिए, उदाहरण के लिए, इस मामले में एक पासा लाल है, दूसरा नीला है। फिर एक सम संख्या रोल करने के लिए विकल्पों की संख्या गिनें: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6)। यह पता चला है कि 36 में से अनुकूल परिणाम के लिए 18 विकल्प हैं, जैसा कि पिछले मामले में था, संभावना 0.5 या 50% के बराबर होगी। शायद अप्रत्याशित, लेकिन बिल्कुल सटीक.

मोंटे कार्लो सिमुलेशन

यदि आपके पास इस गणना के लिए बहुत सारे पासे हों तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, आप जानना चाहते हैं कि 8d6 को रोल करने पर कुल 15 या अधिक प्राप्त होने की संभावना क्या है। आठ पासों के लिए बहुत सारे अलग-अलग व्यक्तिगत परिणाम हैं और उन्हें हाथ से गिनने में बहुत लंबा समय लगेगा। भले ही हमें पासों के रोल की विभिन्न श्रृंखलाओं को समूहीकृत करने का कोई अच्छा समाधान मिल जाए, फिर भी इसे गिनने में बहुत लंबा समय लगेगा। इस मामले में, संभाव्यता की गणना करने का सबसे आसान तरीका मैन्युअल रूप से गणना करना नहीं है, बल्कि कंप्यूटर का उपयोग करना है। कंप्यूटर पर संभाव्यता की गणना करने के दो तरीके हैं।

पहली विधि आपको सटीक उत्तर दे सकती है, लेकिन इसमें थोड़ी प्रोग्रामिंग या स्क्रिप्टिंग शामिल होती है। अनिवार्य रूप से, कंप्यूटर प्रत्येक संभावना को देखेगा, कुल पुनरावृत्तियों की संख्या और वांछित परिणाम से मेल खाने वाली पुनरावृत्तियों की संख्या का मूल्यांकन और गणना करेगा, और फिर उत्तर प्रदान करेगा। आपका कोड कुछ इस तरह दिख सकता है:

int wincount=0, totalcount=0;

(int i=1; i के लिए)<=6; i++) {

(int j=1; j के लिए)<=6; j++) {

(int k=1; k के लिए)<=6; k++) {

... // यहां अधिक लूप डालें

यदि (i+j+k+… >= 15) (

फ़्लोट प्रायिकता = विनकाउंट/कुलकाउंट;

यदि आप प्रोग्रामिंग के बारे में ज्यादा नहीं जानते हैं और सटीक उत्तर के बजाय केवल अनुमानित उत्तर चाहते हैं, तो आप एक्सेल में इस स्थिति का अनुकरण कर सकते हैं, जहां आप 8d6 को कुछ हजार बार रोल करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं। Excel में 1d6 रोल करने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग करें:

मंजिल(रैंड()*6)+1

उस स्थिति का एक नाम है जब आपको उत्तर नहीं पता होता है और आप बार-बार प्रयास करते हैं - मोंटे कार्लो सिमुलेशन, और जब आप संभाव्यता की गणना करने का प्रयास कर रहे हों और यह बहुत जटिल हो तो यह एक बेहतरीन समाधान है। बड़ी बात यह है कि इस मामले में हमें यह समझने की ज़रूरत नहीं है कि गणित कैसे काम करता है, और हम जानते हैं कि उत्तर "बहुत अच्छा" होगा क्योंकि, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, रोल की संख्या जितनी अधिक होगी, परिणाम उतना ही करीब होगा औसत तक पहुँच जाता है.

स्वतंत्र परीक्षणों को कैसे संयोजित करें

यदि आप कई बार दोहराए गए लेकिन स्वतंत्र परीक्षणों के बारे में पूछते हैं, तो एक रोल का परिणाम अन्य रोल के परिणामों को प्रभावित नहीं करता है। इस स्थिति के लिए एक और सरल व्याख्या है.

किसी चीज़ पर निर्भर और स्वतंत्र के बीच अंतर कैसे करें? मूल रूप से, यदि आप पासे के प्रत्येक थ्रो (या थ्रो की श्रृंखला) को एक अलग घटना के रूप में अलग कर सकते हैं, तो यह स्वतंत्र है। उदाहरण के लिए, यदि हम 8डी6 घुमाते समय कुल 15 चाहते हैं, तो इस स्थिति को कई स्वतंत्र पासों के रोल में विभाजित नहीं किया जा सकता है। चूँकि आप परिणाम के लिए सभी पासों के मानों का योग गिनते हैं, एक पासे पर जो परिणाम आता है वह दूसरे पासे पर आने वाले परिणामों को प्रभावित करता है, क्योंकि सभी मानों को जोड़ने पर ही आप आवश्यक परिणाम प्राप्त करें.

यहां स्वतंत्र रोल का एक उदाहरण दिया गया है: आप एक पासा खेल खेल रहे हैं, और आप छह तरफा पासा कई बार घुमा रहे हैं। खेल में बने रहने के लिए, आपको अपने पहले रोल में 2 या उससे अधिक नंबर रोल करना होगा। दूसरे रोल के लिए - 3 या अधिक. तीसरे के लिए 4 या अधिक की आवश्यकता है, चौथे के लिए 5 या अधिक की आवश्यकता है, पांचवें के लिए 6 की आवश्यकता है। यदि सभी पांच रोल सफल होते हैं, तो आप जीत जाते हैं। इस मामले में, सभी थ्रो स्वतंत्र हैं। हां, यदि एक थ्रो असफल होता है, तो यह पूरे खेल के परिणाम को प्रभावित करेगा, लेकिन एक थ्रो दूसरे थ्रो को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, यदि आपका पासा का दूसरा रोल बहुत सफल है, तो इससे इस संभावना पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है कि अगला रोल भी उतना ही सफल होगा। इसलिए, हम पासे के प्रत्येक रोल की संभावना पर अलग से विचार कर सकते हैं।

यदि आपके पास अलग-अलग, स्वतंत्र संभावनाएँ हैं और आप जानना चाहते हैं कि वह संभावना क्या है सभीघटनाएँ घटित होंगी, आप प्रत्येक व्यक्तिगत संभावना निर्धारित करते हैं और उन्हें गुणा करते हैं।दूसरा तरीका: यदि आप कई स्थितियों का वर्णन करने के लिए संयोजन "और" का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए, किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की संभावना क्या है) औरकोई अन्य स्वतंत्र यादृच्छिक घटना?), व्यक्तिगत संभावनाओं की गणना करें और उन्हें गुणा करें।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप क्या सोचते हैं कभी नहींस्वतंत्र संभावनाओं को न जोड़ें. यह एक सामान्य गलती है. यह समझने के लिए कि यह गलत क्यों है, एक ऐसी स्थिति की कल्पना करें जहां आप 50/50 का सिक्का उछाल रहे हैं और जानना चाहते हैं कि लगातार दो बार चित आने की संभावना क्या है। प्रत्येक पक्ष के उतरने की 50% संभावना है, इसलिए यदि आप उन दो संभावनाओं को एक साथ जोड़ते हैं, तो आपको चित आने की 100% संभावना मिलती है, लेकिन हम जानते हैं कि यह सच नहीं है क्योंकि यह लगातार दो बार पट हो सकता था। यदि आप इसके बजाय दोनों संभावनाओं को गुणा करते हैं, तो आपको 50%*50% = 25% मिलता है, जो लगातार दो बार चित आने की संभावना की गणना के लिए सही उत्तर है।

उदाहरण

आइए छह-तरफा पासों के खेल पर वापस जाएं, जहां आपको पहले 2 से अधिक संख्या, फिर 3 से अधिक और इसी तरह आगे बढ़ना होगा। से 6. क्या संभावना है कि 5 टॉस की दी गई श्रृंखला में सभी परिणाम अनुकूल होंगे?

जैसा कि ऊपर कहा गया है, ये स्वतंत्र परीक्षण हैं और इसलिए हम प्रत्येक व्यक्तिगत रोल के लिए संभाव्यता की गणना करते हैं और फिर उन्हें गुणा करते हैं। प्रथम रोल का परिणाम अनुकूल होने की प्रायिकता 5/6 है। दूसरा - 4/6. तीसरा - 3/6. चौथा - 2/6, पाँचवाँ - 1/6। इन सभी परिणामों को गुणा करें और आपको लगभग 1.5% प्राप्त होगा... इसलिए, इस गेम में जीतना काफी दुर्लभ है, इसलिए यदि आप इस तत्व को अपने गेम में जोड़ते हैं, तो आपको काफी बड़े जैकपॉट की आवश्यकता होगी।

नकार

यहां एक और उपयोगी युक्ति है: कभी-कभी किसी घटना के घटित होने की संभावना की गणना करना मुश्किल होता है, लेकिन यह निर्धारित करना आसान होता है कि किसी घटना के घटित होने की कितनी संभावना है। नहीं आएगा.

उदाहरण के लिए, मान लें कि हमारे पास एक और गेम है और आप 6d6 रोल करते हैं, और यदि कम से कम एक बारयदि आप 6 बनाते हैं, तो आप जीत जाते हैं। जीतने की संभावना क्या है?

ऐसे में आपको कई विकल्पों पर विचार करने की जरूरत है। शायद एक संख्या दिखाई देगी, 6, अर्थात्। एक पासे पर संख्या 6 दिखाई देगी, और दूसरे पासों पर 1 से 5 तक संख्याएँ होंगी, और ऐसी 6 संभावनाएँ हैं कि कौन सा पासा संख्या 6 दिखाएगा। फिर आप दो पासों पर, या तीन पर, संख्या 6 प्राप्त कर सकते हैं। या इससे भी अधिक, और हर बार हमें एक अलग गणना करने की आवश्यकता होती है, इसलिए भ्रमित होना आसान है।

लेकिन इस समस्या को हल करने का एक और तरीका है, आइए इसे दूसरी तरफ से देखें। आप तुम हार जाओगेअगर किसी पर नहींपासा संख्या 6 नहीं फेंकेगा। इस मामले में, हमारे पास छह स्वतंत्र परीक्षण हैं, उनमें से प्रत्येक की संभावना 5/6 है (6 को छोड़कर कोई भी अन्य संख्या पासे पर गिर सकती है)। उन्हें गुणा करें और आपको लगभग 33% प्राप्त होता है। इस प्रकार, हारने की संभावना 3 में से 1 है।

इसलिए, जीतने की संभावना 67% (या 2 से 3) है।

इस उदाहरण से यह स्पष्ट है कि यदि आप इस संभावना की गणना करते हैं कि कोई घटना घटित नहीं होगी, तो आपको परिणाम को 100% से घटाना होगा।यदि जीतने की संभावना 67% है, तो संभावना खोना — 100% ऋण 67%, या 33%। और इसके विपरीत। यदि एक संभावना की गणना करना कठिन है, लेकिन विपरीत की गणना करना आसान है, तो विपरीत की गणना करें और फिर 100% से घटा दें।

हम एक स्वतंत्र परीक्षण के लिए शर्तों को जोड़ते हैं

मैंने ऊपर ही कहा था कि आपको कभी भी स्वतंत्र परीक्षणों में संभावनाएँ नहीं जोड़नी चाहिए। क्या ऐसे कोई मामले हैं जब कर सकनासंभावनाओं का योग करें? - हाँ, एक विशेष परिस्थिति में।

यदि आप एक ही परीक्षण पर कई असंबंधित अनुकूल परिणामों की संभावना की गणना करना चाहते हैं, तो प्रत्येक अनुकूल परिणाम की संभावनाओं को जोड़ें। उदाहरण के लिए, संख्या 4, 5 या 6 को 1d6 पर घुमाने की प्रायिकता है मात्रासंख्या 4 प्राप्त करने की संभावना, संख्या 5 प्राप्त करने की संभावना, और संख्या 6 प्राप्त करने की संभावना। आप इस स्थिति की कल्पना इस प्रकार भी कर सकते हैं: यदि आप संभाव्यता के बारे में एक प्रश्न में संयोजन "या" का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए) , इसकी क्या सम्भावना है याएक यादृच्छिक घटना के अलग-अलग परिणाम?), व्यक्तिगत संभावनाओं की गणना करें और उन्हें सारांशित करें।

कृपया ध्यान दें कि जब आप योग करते हैं सभी संभावित परिणामखेल, सभी संभावनाओं का योग 100% के बराबर होना चाहिए। यदि योग 100% के बराबर नहीं है, तो आपकी गणना गलत तरीके से की गई है। यह अपनी गणनाओं को दोबारा जांचने का एक अच्छा तरीका है। उदाहरण के लिए, आपने पोकर में सभी संयोजन प्राप्त करने की संभावना का विश्लेषण किया है, यदि आप प्राप्त सभी परिणामों को जोड़ते हैं, तो आपको बिल्कुल 100% (या कम से कम 100% के काफी करीब का मान, यदि आप कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो आपको प्राप्त होना चाहिए) एक छोटी सी पूर्णांकन त्रुटि, लेकिन यदि आप मैन्युअल रूप से सटीक संख्याएँ जोड़ते हैं, तो सब कुछ जुड़ जाना चाहिए)। यदि योग नहीं जुड़ता है, तो इसका मतलब है कि संभवतः आपने कुछ संयोजनों को ध्यान में नहीं रखा है, या आपने कुछ संयोजनों की संभावनाओं की गलत गणना की है और फिर आपको अपनी गणनाओं को दोबारा जांचने की आवश्यकता है।

असमान संभावनाएँ

अब तक, हमने माना है कि पासे के प्रत्येक पक्ष को एक ही आवृत्ति पर घुमाया जाता है, क्योंकि पासा इसी तरह काम करता है। लेकिन कभी-कभी आपको ऐसी स्थिति का सामना करना पड़ता है जहां अलग-अलग परिणाम संभव होते हैं और वे अलगसंभावनाएँ कम करो। उदाहरण के लिए, कार्ड गेम "परमाणु युद्ध" के विस्तारों में से एक में एक तीर के साथ एक खेल का मैदान है जिस पर रॉकेट लॉन्च का परिणाम निर्भर करता है: मूल रूप से, यह सामान्य क्षति, मजबूत या कमजोर, का सामना करता है, लेकिन कभी-कभी क्षति होती है दोगुना या तिगुना हो जाता है, या रॉकेट लॉन्च पैड पर फट जाता है और आपको नुकसान पहुंचाता है, या कोई अन्य घटना घटती है। "चूट्स एंड लैडर्स" या "ए गेम ऑफ लाइफ" में तीर बोर्ड के विपरीत, "परमाणु युद्ध" में गेम बोर्ड के परिणाम असमान होते हैं। खेल के मैदान के कुछ खंड बड़े हैं और तीर उन पर अधिक बार रुकता है, जबकि अन्य खंड बहुत छोटे हैं और उन पर तीर कम ही रुकता है।

तो, पहली नज़र में, हड्डी कुछ इस तरह दिखती है: 1, 1, 1, 2, 2, 3; हम इसके बारे में पहले ही बात कर चुके हैं, यह भारित 1d3 जैसा कुछ है, इसलिए हमें इन सभी वर्गों को समान भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है, माप की सबसे छोटी इकाई ढूंढें जिसका सभी गुणज हैं और फिर स्थिति को d522 (या किसी अन्य) के रूप में प्रस्तुत करें, जहां कई पासों के फलक एक ही स्थिति का प्रतिनिधित्व करेंगे, लेकिन अधिक परिणामों के साथ। और यह समस्या को हल करने का एक तरीका है, और यह तकनीकी रूप से संभव है, लेकिन एक आसान तरीका भी है।

आइए अपने मानक छह-तरफा पासे पर वापस जाएं। हमने कहा कि एक सामान्य पासे के लिए एक रोल के औसत मूल्य की गणना करने के लिए, आपको सभी चेहरों पर मूल्यों का योग करना होगा और उन्हें चेहरों की संख्या से विभाजित करना होगा, लेकिन कैसे बिल्कुलक्या कोई गणना चल रही है? इसे व्यक्त करने का एक और तरीका है. छह-पक्षीय पासे के लिए, प्रत्येक पक्ष के लुढ़कने की संभावना बिल्कुल 1/6 है। अब हम गुणा करते हैं एक्सोदेसप्रत्येक चेहरे पर संभावनाइस परिणाम का (इस मामले में प्रत्येक पक्ष के लिए 1/6), फिर हम परिणामी मूल्यों का योग करते हैं। इस प्रकार, योग (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6 ) , हमें उपरोक्त गणना के समान परिणाम (3.5) मिलता है। वास्तव में, हम हर बार इस तरह से गिनती करते हैं: हम प्रत्येक परिणाम को उस परिणाम की संभावना से गुणा करते हैं।

क्या हम खेल "परमाणु युद्ध" में खेल के मैदान पर तीर के लिए समान गणना कर सकते हैं? बिलकुल हम कर सकते हैं। और यदि हम पाए गए सभी परिणामों को जोड़ दें, तो हमें औसत मूल्य प्राप्त होगा। हमें बस गेम बोर्ड पर तीर के प्रत्येक परिणाम की संभावना की गणना करनी है और परिणाम से गुणा करना है।

एक और उदाहरण

प्रत्येक परिणाम को उसकी व्यक्तिगत संभावना से गुणा करके औसत की गणना करने की यह विधि भी उपयुक्त है यदि परिणाम समान रूप से संभावित हैं लेकिन उनके अलग-अलग फायदे हैं, उदाहरण के लिए यदि आप एक पासा फेंकते हैं और कुछ पक्षों पर दूसरों की तुलना में अधिक जीतते हैं। उदाहरण के लिए, आइए एक कैसीनो गेम लें: आप दांव लगाते हैं और 2d6 रोल करते हैं। यदि आप तीन कम मूल्य वाली संख्याएँ (2, 3, 4) या चार उच्च मूल्य वाली संख्याएँ (9, 10, 11, 12) मारते हैं, तो आप अपनी शर्त के बराबर राशि जीतेंगे। न्यूनतम और उच्चतम मान वाली संख्याएँ विशेष होती हैं: यदि आप 2 या 12 लाते हैं, तो आप जीत जाते हैं दोगुना ज्यादाआपकी बोली से. यदि कोई अन्य संख्या (5, 6, 7, 8) लुढ़कती है, तो आप अपना दांव हार जाएंगे। यह काफी सरल गेम है. लेकिन जीतने की संभावना क्या है?

आइए गिनकर शुरू करें कि आप कितनी बार जीत सकते हैं:

• 2d6 को रोल करने पर परिणामों की अधिकतम संख्या 36 है। अनुकूल परिणामों की संख्या क्या है?
• दो को रोल करने के लिए 1 विकल्प और बारह को रोल करने के लिए 1 विकल्प है।
• तीन और ग्यारह रोल करने के लिए 2 विकल्प हैं।
• चार को रोल करने के लिए 3 विकल्प और दस को रोल करने के लिए 3 विकल्प हैं।
• नौ रोल करने के लिए 4 विकल्प हैं।
• सभी विकल्पों का योग करने पर हमें अनुकूल परिणामों की संख्या 36 में से 16 प्राप्त होती है।

तो, सामान्य परिस्थितियों में, आप संभावित 36 में से 16 बार जीतेंगे... जीतने की संभावना 50% से थोड़ी कम है।

लेकिन इन 16 में से दो मामलों में आप दोगुनी यानी दोगुनी जीत हासिल करेंगे। यह दो बार जीतने जैसा है! यदि आप इस गेम को 36 बार खेलते हैं, हर बार $1 का दांव लगाते हैं, और सभी संभावित परिणाम एक बार आते हैं, तो आप कुल $18 जीतेंगे (आप वास्तव में 16 बार जीतेंगे, लेकिन उनमें से दो बार दो जीत के रूप में गिना जाएगा)। यदि आप 36 बार खेलते हैं और $18 जीतते हैं, तो क्या इसका मतलब यह नहीं है कि यह एक समान मौका है?

पर्याप्त समय लो। यदि आप यह गिनें कि आप कितनी बार हार सकते हैं, तो आपको 20 मिलेंगे, 18 नहीं। यदि आप 36 बार खेलते हैं, हर बार 1 डॉलर का दांव लगाते हुए, यदि आप सभी जीतने वाली पिक्स मारते हैं, तो आप कुल 18 डॉलर जीतेंगे... लेकिन यदि सभी 20 प्रतिकूल परिणाम आते हैं तो आप $20 की कुल राशि खो देंगे! परिणामस्वरूप, आप थोड़ा पीछे रह जाएंगे: आप प्रत्येक 36 खेलों के लिए औसतन $2 का नेट खो देते हैं (आप यह भी कह सकते हैं कि आप प्रति दिन औसतन 1/18 डॉलर का नुकसान करते हैं)। अब आप देख सकते हैं कि इस मामले में गलती करना और संभाव्यता की गलत गणना करना कितना आसान है!

विपर्यय

अब तक हम यही मानते आए हैं कि पासा फेंकते समय संख्याओं का क्रम कोई मायने नहीं रखता। 2+4 रोल करना 4+2 रोल करने के समान है। ज्यादातर मामलों में, हम मैन्युअल रूप से अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करते हैं, लेकिन कभी-कभी यह विधि अव्यावहारिक होती है और गणितीय सूत्र का उपयोग करना बेहतर होता है।

इस स्थिति का एक उदाहरण पासा खेल "फ़ार्कल" से है। प्रत्येक नए दौर के लिए, आप 6d6 रोल करते हैं। यदि आप भाग्यशाली हैं और सभी संभावित परिणाम 1-2-3-4-5-6 ("सीधे") प्राप्त करते हैं, तो आपको एक बड़ा बोनस प्राप्त होगा। ऐसा होने की संभावना क्या है? इस मामले में, इस संयोजन को प्राप्त करने के लिए कई विकल्प हैं!

समाधान इस प्रकार है: पासों में से एक (और केवल एक) का नंबर 1 होना चाहिए! एक पासे पर नंबर 1 को कितने तरीकों से घुमाया जा सकता है? छह, चूंकि 6 पासे हैं और उनमें से कोई भी 1 नंबर प्राप्त कर सकता है। तदनुसार, एक पासा लें और इसे एक तरफ रख दें। अब बचे हुए पासों में से एक पासे पर 2 नंबर फेंकना चाहिए। इसके लिए पांच विकल्प हैं। दूसरा पासा लें और उसे एक तरफ रख दें। फिर बचे हुए चार पासों पर 3 आ सकता है, बचे हुए पासों में से तीन पर 4 आ सकता है, दो पर 5 आ सकता है, और अंत में आपके पास एक पासा होगा जिस पर 6 आएगा (बाद वाले मामले में केवल एक ही पासा होता है और कोई विकल्प नहीं है)। सीधे प्रहार के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करने के लिए, हम सभी अलग-अलग, स्वतंत्र विकल्पों को गुणा करते हैं: 6x5x4x3x2x1 = 720 - इस संयोजन के आने के लिए काफी बड़ी संख्या में संभावनाएं प्रतीत होती हैं।

सीधी रेखा प्राप्त करने की संभावना की गणना करने के लिए, हमें 6d6 को रोल करने के सभी संभावित परिणामों की संख्या से 720 को विभाजित करने की आवश्यकता है। सभी संभावित परिणामों की संख्या क्या है? प्रत्येक पासे की 6 भुजाएँ हो सकती हैं, इसलिए हम 6x6x6x6x6x6 = 46656 गुणा करते हैं (संख्या बहुत अधिक है!)। 720/46656 को विभाजित करें और लगभग 1.5% की संभावना प्राप्त करें। यदि आप इस गेम को डिज़ाइन कर रहे थे, तो यह जानना आपके लिए उपयोगी होगा ताकि आप तदनुसार स्कोरिंग प्रणाली बना सकें। अब हम समझ गए हैं कि फ़ार्कल में आपको स्ट्रेट मिलने पर इतना बड़ा बोनस क्यों मिलेगा, क्योंकि यह स्थिति काफी दुर्लभ है!

नतीजा एक और वजह से भी दिलचस्प है. उदाहरण से पता चलता है कि कितनी कम संभावना है, वास्तव में, संभाव्यता के अनुरूप परिणाम छोटी अवधि में होता है। निःसंदेह, यदि हम कई हजार पासे उछाल रहे होते, तो पासे के अलग-अलग पहलू अक्सर सामने आते। लेकिन जब हम केवल छह पासे ही पलटते हैं, लगभग कभी नहींऐसा नहीं होता कि हर एक चेहरा उतर जाए! इसके आधार पर, यह स्पष्ट हो जाता है कि यह उम्मीद करना बेवकूफी है कि अब एक और चेहरा सामने आएगा, जो अभी तक गिरा नहीं है "क्योंकि हमने नंबर 6 को लंबे समय से रोल नहीं किया है, जिसका मतलब है कि यह अब गिर जाएगा।"

सुनो, तुम्हारा यादृच्छिक संख्या जनरेटर टूट गया है...

यह हमें संभाव्यता के बारे में एक आम ग़लतफ़हमी की ओर ले जाता है: यह धारणा कि सभी परिणाम एक ही आवृत्ति पर घटित होते हैं। थोड़े समय में, जो वास्तव में मामला नहीं है। यदि हम पासे को कई बार फेंकें, तो प्रत्येक पक्ष के गिरने की आवृत्ति समान नहीं होगी।

यदि आपने पहले कभी किसी प्रकार के यादृच्छिक संख्या जनरेटर के साथ ऑनलाइन गेम पर काम किया है, तो आपने संभवतः ऐसी स्थिति का सामना किया होगा जहां एक खिलाड़ी तकनीकी सहायता को यह कहने के लिए लिखता है कि आपका यादृच्छिक संख्या जनरेटर टूट गया है और यादृच्छिक संख्या नहीं दिखा रहा है। और वह इस निष्कर्ष पर पहुंचा क्योंकि उसने लगातार 4 राक्षसों को मार डाला और 4 बिल्कुल समान पुरस्कार प्राप्त किए, और ये पुरस्कार केवल 10% बार ही दिखाई देने चाहिए, इसलिए यह लगभग नहींनहीं करना चाहिए जगह लें, जिसका मतलब यह है ज़ाहिर तौर सेकि आपका यादृच्छिक संख्या जनरेटर टूट गया है।

आप गणितीय गणना कर रहे हैं. 1/10*1/10*1/10*1/10 10,000 में 1 के बराबर है, जिसका अर्थ है कि यह काफी दुर्लभ है। और यह वही है जो खिलाड़ी आपको बताने की कोशिश कर रहा है। क्या इस मामले में कोई समस्या है?

यह सब परिस्थितियों पर निर्भर करता है. आपके सर्वर पर वर्तमान में कितने खिलाड़ी हैं? मान लीजिए कि आपके पास एक काफी लोकप्रिय गेम है और प्रतिदिन 100,000 लोग इसे खेलते हैं। कितने खिलाड़ी लगातार चार राक्षसों को मार सकते हैं? कुछ भी संभव है, दिन में कई बार, लेकिन मान लें कि उनमें से आधे सिर्फ नीलामी में विभिन्न वस्तुओं का व्यापार कर रहे हैं या आरपी सर्वर पर चैट कर रहे हैं, या अन्य इन-गेम गतिविधियां कर रहे हैं, तो उनमें से केवल आधे ही वास्तव में राक्षसों का शिकार कर रहे हैं। इसकी क्या सम्भावना है किसी के लिएक्या वही इनाम दिखाई देगा? इस स्थिति में, आप उम्मीद कर सकते हैं कि एक ही इनाम प्रति दिन कई बार दिखाई दे सकता है, कम से कम!

वैसे, यही कारण है कि कम से कम हर कुछ हफ्तों में ऐसा लगता है कोई व्यक्तिलॉटरी जीतता है, भले ही वह कोई भी हो कभी नहींयह आप या आपके मित्र नहीं हैं। यदि हर सप्ताह पर्याप्त लोग खेलें, तो संभावना है कि कम से कम वहाँ तो होंगे एकभाग्यशाली...लेकिन अगर आपयदि आप लॉटरी खेलते हैं, तो आपके जीतने की संभावना इस संभावना से कम है कि आपको इन्फिनिटी वार्ड में काम करने के लिए आमंत्रित किया जाएगा।

कार्ड और लत

हमने स्वतंत्र घटनाओं पर चर्चा की है, जैसे पासा घुमाना, और अब कई खेलों में यादृच्छिकता का विश्लेषण करने के लिए कई शक्तिशाली उपकरण जानते हैं। जब डेक से कार्ड निकालने की बात आती है तो संभाव्यता की गणना करना थोड़ा अधिक जटिल होता है, क्योंकि हमारे द्वारा निकाला गया प्रत्येक कार्ड डेक में शेष कार्डों को प्रभावित करता है। यदि आपके पास एक मानक 52-कार्ड डेक है और आप उदाहरण के लिए, 10 दिल निकालते हैं और संभावना जानना चाहते हैं कि अगला कार्ड उसी सूट का होगा, तो संभावना बदल गई है क्योंकि आपने पहले ही सूट का एक कार्ड हटा दिया है डेक से दिलों की. आपके द्वारा हटाया गया प्रत्येक कार्ड डेक में अगले कार्ड की संभावना को बदल देता है। चूँकि इस मामले में पिछली घटना अगली घटना को प्रभावित करती है, इसलिए हम इसे संभाव्यता कहते हैं आश्रित.

कृपया ध्यान दें कि जब मैं "कार्ड" कहता हूं तो मेरा मतलब होता है कोईखेल यांत्रिकी जिसमें वस्तुओं का एक सेट होता है और आप वस्तुओं में से एक को बिना बदले हटा देते हैं, इस मामले में "ताश का डेक" चिप्स के एक बैग के समान होता है जिसमें से आप एक चिप निकालते हैं और इसे प्रतिस्थापित नहीं करते हैं, या एक कलश जिसमें से आप रंगीन कंचे निकालते हैं (मैंने वास्तव में ऐसा खेल कभी नहीं देखा जिसमें एक कलश हो जिसमें से रंगीन कंचे निकाले गए हों, लेकिन ऐसा लगता है कि संभाव्यता शिक्षक किसी कारण से इस उदाहरण को पसंद करते हैं)।

निर्भरता गुण

मैं यह स्पष्ट करना चाहता हूं कि जब कार्डों की बात आती है, तो मैं मान रहा हूं कि आप कार्ड बनाएं, उन्हें देखें, और उन्हें डेक से हटा दें। इनमें से प्रत्येक क्रिया एक महत्वपूर्ण संपत्ति है।

यदि मेरे पास 1 से 6 नंबर वाले छह कार्डों का एक डेक होता, और मैं उन्हें फेंटता और एक कार्ड निकालता और फिर सभी छह कार्डों को फिर से फेंटता, तो यह छह-तरफा पासा फेंकने के समान होता; एक परिणाम अगले परिणाम को प्रभावित नहीं करता. केवल अगर मैं कार्ड निकालता हूं और उन्हें बदलता नहीं हूं, तो मेरे द्वारा नंबर 1 वाला कार्ड निकालने से संभावना बढ़ जाएगी कि अगली बार जब मैं नंबर 6 वाला कार्ड निकालूंगा (संभावना तब तक बढ़ेगी जब तक कि मैं अंततः वह कार्ड नहीं निकाल लेता या जब तक मैं कार्ड नहीं फेंटता)।

तथ्य यह है कि हम देखनाकार्डों पर भी महत्वपूर्ण है. यदि मैं डेक से एक कार्ड निकालता हूं और उसे नहीं देखता हूं, तो मेरे पास कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं होती है और संभावना वास्तव में नहीं बदलती है। यह उल्टा लग सकता है. केवल कार्ड उछालने से संभावनाएँ जादुई ढंग से कैसे बदल सकती हैं? लेकिन यह संभव है क्योंकि आप केवल अपने आधार पर अज्ञात वस्तुओं की संभावना की गणना कर सकते हैं आपको पता है. उदाहरण के लिए, यदि आप ताश के एक मानक डेक को फेंटते हैं और 51 पत्ते प्रकट करते हैं और उनमें से कोई भी क्लबों की रानी नहीं है, तो आपको 100% निश्चितता के साथ पता चल जाएगा कि शेष कार्ड क्लबों की रानी है। यदि आप ताश के एक मानक डेक को फेंटते हैं और 51 पत्ते निकालते हैं, इसके बावजूदउन पर, शेष कार्ड के क्लबों की रानी होने की संभावना अभी भी 1/52 होगी। जैसे ही आप प्रत्येक कार्ड खोलते हैं, आपको अधिक जानकारी मिलती है।

आश्रित घटनाओं के लिए संभाव्यता की गणना स्वतंत्र घटनाओं के लिए समान सिद्धांतों का पालन करती है, सिवाय इसके कि यह थोड़ा अधिक जटिल है क्योंकि जैसे ही आप कार्ड प्रकट करते हैं संभावनाएं बदल जाती हैं। इसलिए आपको एक ही मान को गुणा करने के बजाय कई अलग-अलग मानों को गुणा करने की आवश्यकता है। इसका वास्तव में मतलब यह है कि हमें अपने द्वारा की गई सभी गणनाओं को एक संयोजन में संयोजित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण

आप एक मानक 52-कार्ड डेक को फेरबदल करते हैं और दो कार्ड निकालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि आप एक जोड़ा निकालेंगे? इस संभावना की गणना करने के कई तरीके हैं, लेकिन शायद सबसे सरल इस प्रकार है: क्या संभावना है कि यदि आप एक कार्ड निकालते हैं, तो आप एक जोड़ी नहीं निकाल पाएंगे? यह संभावना शून्य है, इसलिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन सा पहला कार्ड निकालते हैं, जब तक कि वह दूसरे से मेल खाता हो। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम पहले कौन सा कार्ड निकालते हैं, हमारे पास अभी भी एक जोड़ी निकालने का मौका है, इसलिए पहला कार्ड निकालने के बाद हम एक जोड़ी निकालने की संभावना 100% है।

इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा कार्ड पहले से मेल खाता है? डेक में 51 कार्ड बचे हैं और उनमें से 3 पहले कार्ड से मेल खाते हैं (वास्तव में 52 में से 4 होंगे, लेकिन जब आपने पहला कार्ड निकाला तो आपने पहले ही मेल खाने वाले कार्डों में से एक को हटा दिया था!), इसलिए संभावना 1 है /17. (तो अगली बार जब आपके सामने टेबल के पार बैठा लड़का टेक्सास होल्डम खेल रहा है और कहता है, "अच्छा है, एक और जोड़ी? मैं आज भाग्यशाली महसूस कर रहा हूं," आपको पता चल जाएगा कि इस बात की बहुत अच्छी संभावना है कि वह धोखा दे रहा है।)

क्या होगा यदि हम दो जोकर जोड़ते हैं और अब हमारे पास डेक में 54 कार्ड हैं और हम जानना चाहते हैं कि एक जोड़ी निकलने की संभावना क्या है? पहला कार्ड एक जोकर हो सकता है और उसके बाद डेक में केवल एक जोकर होगा एककार्ड, तीन नहीं, जो मेल खाएगा। इस मामले में प्रायिकता कैसे ज्ञात करें? हम संभावनाओं को विभाजित करेंगे और प्रत्येक संभावना को गुणा करेंगे।

हमारा पहला कार्ड जोकर या कोई अन्य कार्ड हो सकता है। एक जोकर निकालने की प्रायिकता 2/54 है, कोई अन्य कार्ड निकालने की प्रायिकता 52/54 है।

यदि पहला कार्ड जोकर (2/54) है, तो दूसरे कार्ड के पहले से मेल खाने की प्रायिकता 1/53 है। मानों को गुणा करना (हम उन्हें गुणा कर सकते हैं क्योंकि ये अलग-अलग घटनाएँ हैं और हम चाहते हैं दोनोंघटनाएँ घटित हुईं) और हमें 1/1431 मिलता है - एक प्रतिशत के दसवें हिस्से से भी कम।

यदि आप पहले कोई अन्य कार्ड निकालते हैं (52/54), तो दूसरे कार्ड के मिलान की संभावना 3/53 है। हम मानों को गुणा करते हैं और 78/1431 (5.5% से थोड़ा अधिक) प्राप्त करते हैं।

हम इन दो परिणामों के साथ क्या करेंगे? वे प्रतिच्छेद नहीं करते और हम संभाव्यता जानना चाहते हैं सब लोगउनमें से, इसलिए हम मूल्यों का योग करते हैं! हमें अंतिम परिणाम 79/1431 (अभी भी लगभग 5.5%) मिलता है।

यदि हम उत्तर की सटीकता के बारे में आश्वस्त होना चाहते हैं, तो हम अन्य सभी संभावित परिणामों की संभावना की गणना कर सकते हैं: एक जोकर निकालना और दूसरे कार्ड से मेल नहीं खाना, या कोई अन्य कार्ड बनाना और दूसरे कार्ड से मेल नहीं खाना, और उन्हें जोड़ना जीतने की संभावना के साथ, हमें बिल्कुल 100% मिलेगा। मैं यहां गणित नहीं बताऊंगा, लेकिन दोबारा जांच करने के लिए आप गणित का प्रयास कर सकते हैं।

मोंटी हॉल विरोधाभास

यह हमें एक प्रसिद्ध विरोधाभास की ओर ले जाता है जो अक्सर कई लोगों को भ्रमित करता है - मोंटी हॉल विरोधाभास। इस विरोधाभास का नाम टीवी शो "लेट्स मेक अ डील" के होस्ट मोंटी हॉल के नाम पर रखा गया है। यदि आपने यह शो कभी नहीं देखा है, तो यह टीवी शो "द प्राइस इज़ राइट" के विपरीत था। "द प्राइस इज़ राइट" में, मेज़बान (मेज़बान बॉब बार्कर हुआ करते थे, अब यह...ड्रू केरी हैं? वैसे भी...) आपका मित्र है। वह चाहता हेताकि आप पैसे या शानदार पुरस्कार जीत सकें। यह आपको जीतने का हर मौका देने की कोशिश करता है, जब तक आप अनुमान लगा सकते हैं कि प्रायोजकों द्वारा खरीदी गई वस्तुओं का वास्तव में मूल्य कितना है।

मोंटी हॉल ने अलग व्यवहार किया। वह बॉब बार्कर के दुष्ट जुड़वां की तरह था। उनका लक्ष्य आपको राष्ट्रीय टेलीविजन पर एक बेवकूफ की तरह दिखाना था। यदि आप शो में थे, तो वह आपका प्रतिद्वंद्वी था, आप उसके खिलाफ खेले, और हालात उसके पक्ष में थे। शायद मैं बहुत अधिक कठोर हो रहा हूं, लेकिन जब एक प्रतियोगी के रूप में चुने जाने की संभावना सीधे तौर पर इस बात पर निर्भर करती है कि आपने हास्यास्पद सूट पहना है या नहीं, तो मैं इस प्रकार के निष्कर्षों पर पहुंचता हूं।

लेकिन शो के सबसे प्रसिद्ध मीम्स में से एक यह था: आपके सामने तीन दरवाजे थे, और उन्हें दरवाज़ा नंबर 1, दरवाज़ा नंबर 2, और दरवाज़ा नंबर 3 कहा जाता था। आप एक दरवाज़ा चुन सकते हैं... मुफ़्त में! इनमें से एक दरवाजे के पीछे एक शानदार पुरस्कार था, उदाहरण के लिए, एक नई कार। अन्य दरवाज़ों के पीछे कोई पुरस्कार नहीं थे; इन दोनों दरवाज़ों का कोई मूल्य नहीं था। उनका लक्ष्य आपको अपमानित करना था और इसलिए ऐसा नहीं है कि उनके पीछे कुछ भी नहीं था, उनके पीछे कुछ ऐसा था जो बेवकूफी भरा लग रहा था, जैसे उनके पीछे एक बकरी थी या टूथपेस्ट की एक बड़ी ट्यूब या कुछ और... कुछ, वास्तव में क्या घटित नहींएक नई यात्री कार.

आप इनमें से एक दरवाज़ा चुन रहे थे और मोंटी उसे खोलने वाला था ताकि आपको पता चल सके कि आप जीते या नहीं... लेकिन रुकिए, इससे पहले कि हम जानें, आइए इनमें से एक को देखें वेदरवाजा तुम नहीं चुना गया. चूंकि मोंटी जानता है कि पुरस्कार किस दरवाजे के पीछे है, और केवल एक ही पुरस्कार है दोजो दरवाज़े आपने नहीं चुने, चाहे कुछ भी हो, वह हमेशा एक दरवाज़ा खोल सकता है जिसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं है। “क्या आप दरवाजा नंबर 3 चुन रहे हैं? तो फिर, आइए यह दिखाने के लिए दरवाजा नंबर 1 खोलें कि इसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं था।" और अब, उदारता के कारण, वह आपको अपने चुने हुए द्वार संख्या 3 को द्वार संख्या 2 के पीछे वाले स्थान पर बदलने का अवसर प्रदान करता है। यह इस बिंदु पर है कि संभाव्यता का प्रश्न उठता है: क्या कोई अन्य द्वार चुनने में सक्षम होने से आपकी संभावना बढ़ जाती है जीतना, या इसे कम करना, या क्या यह वही रहता है? आप क्या सोचते है?

सही उत्तर: दूसरा दरवाजा चुनने की क्षमता बढ़ती हैजीतने की संभावना 1/3 से 2/3 तक। यह अतार्किक है. यदि आपने पहले इस विरोधाभास का सामना नहीं किया है, तो आप शायद सोच रहे होंगे: रुकिए, क्या हमने जादुई तरीके से एक दरवाजा खोलकर संभावना को बदल दिया है? लेकिन जैसा कि हम ऊपर दिए गए कार्ड के उदाहरण में पहले ही देख चुके हैं, यह बिल्कुलजब हमें अधिक जानकारी मिलती है तो क्या होता है. यह स्पष्ट है कि जब आप पहली बार चुनते हैं तो जीतने की संभावना 1/3 होती है, और मेरा मानना ​​है कि हर कोई इससे सहमत होगा। जब एक दरवाजा बंद हो जाता है, तो इससे पहली पसंद के जीतने की संभावना बिल्कुल भी नहीं बदलती है, संभावना अभी भी 1/3 है, लेकिन इसका मतलब यह है कि संभावना अन्यदरवाज़ा अब 2/3 सही है।

आइए इस उदाहरण को एक अलग दृष्टिकोण से देखें। आप एक दरवाजा चुनें. जीतने की संभावना 1/3 है. मेरा सुझाव है कि आप बदल जाएं दोअन्य दरवाजे, जो मोंटी हॉल वास्तव में करने का प्रस्ताव करता है। बेशक, वह यह दिखाने के लिए एक दरवाज़ा खोलता है कि इसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं है, बल्कि वह है हमेशाऐसा कर सकता है, इसलिए यह वास्तव में कुछ भी नहीं बदलता है। बेशक आप एक अलग दरवाज़ा चुनना चाहेंगे!

यदि आप इस मुद्दे पर बिल्कुल स्पष्ट नहीं हैं और अधिक ठोस स्पष्टीकरण की आवश्यकता है, तो एक महान छोटे फ़्लैश एप्लिकेशन पर जाने के लिए इस लिंक पर क्लिक करें जो आपको इस विरोधाभास को और अधिक विस्तार से जानने की अनुमति देगा। आप लगभग 10 दरवाजों से शुरू करके खेल सकते हैं और फिर धीरे-धीरे तीन दरवाजों वाले खेल की ओर बढ़ सकते हैं; एक सिम्युलेटर भी है जहां आप 3 से 50 तक किसी भी संख्या में दरवाजे चुन सकते हैं और खेल सकते हैं या कई हजार सिमुलेशन चला सकते हैं और देख सकते हैं कि यदि आपने खेला तो आप कितनी बार जीतेंगे।

उच्च गणित शिक्षक और खेल संतुलन विशेषज्ञ मैक्सिम सोल्तोव की एक टिप्पणी, जो निश्चित रूप से, श्रेइबर के पास नहीं थी, लेकिन जिसके बिना इस जादुई परिवर्तन को समझना काफी मुश्किल है:

आप एक दरवाजा चुनते हैं, तीन में से एक, "जीतने" की संभावना 1/3 है। अब आपके पास 2 रणनीतियाँ हैं: गलत दरवाजा खोलने के बाद बदलाव करें, विकल्प चुनें या नहीं। यदि आप अपनी पसंद नहीं बदलते हैं, तो संभावना 1/3 रहेगी, क्योंकि चुनाव केवल पहले चरण में होता है, और आपको तुरंत अनुमान लगाना होगा, लेकिन यदि आप बदलते हैं, तो आप जीत सकते हैं यदि आप पहले गलत चुनते हैं दरवाजा (फिर वे एक और गलत दरवाजा खोलते हैं, वफादार रहेंगे, आप अपना मन बदल लें और उसे ले लें)
शुरुआत में गलत दरवाजा चुनने की संभावना 2/3 है, इसलिए यह पता चलता है कि अपना निर्णय बदलकर आप जीतने की संभावना 2 गुना अधिक कर देते हैं

और फिर से मोंटी हॉल विरोधाभास के बारे में

जहां तक ​​शो की बात है, मोंटी हॉल को यह पता था क्योंकि भले ही उसके प्रतिस्पर्धी गणित में अच्छे नहीं थे, वहइसे अच्छी तरह समझता है. यहाँ उन्होंने खेल को थोड़ा बदलने के लिए क्या किया। यदि आपने कोई ऐसा दरवाज़ा चुना जिसके पीछे पुरस्कार था, जिसकी संभावना 1/3 है, तो यह हमेशाआपको दूसरा दरवाजा चुनने का अवसर प्रदान किया। आख़िरकार, आपने एक यात्री कार चुनी और फिर आप इसे एक बकरी के बदले बदल देंगे और आप बहुत बेवकूफ दिखेंगे, जो बिल्कुल वही है जिसकी उसे ज़रूरत है क्योंकि वह एक प्रकार का दुष्ट व्यक्ति है। लेकिन अगर आप दरवाजा चुनते हैं जिसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं होगा, केवल आधे मेंऐसे मामलों में, वह आपको दूसरा दरवाज़ा चुनने के लिए प्रेरित करेगा, और अन्य मामलों में, वह आपको बस आपकी नई बकरी दिखाएगा और आप घटनास्थल से चले जाएंगे। आइए इस नए गेम का विश्लेषण करें जिसमें मोंटी हॉल कर सकता है चुननाआपको दूसरा दरवाजा चुनने का मौका देता है या नहीं।

मान लीजिए कि वह इस एल्गोरिदम का पालन करता है: यदि आप पुरस्कार के साथ एक दरवाजा चुनते हैं, तो वह हमेशा आपको एक और दरवाजा चुनने का अवसर प्रदान करता है, अन्यथा 50/50 संभावना है कि वह आपको एक और दरवाजा चुनने या आपको एक बकरी देने की पेशकश करेगा। आपके जीतने की संभावना क्या है?

तीन विकल्पों में से एक में, आप तुरंत वह दरवाजा चुनते हैं जिसके पीछे पुरस्कार स्थित है, और प्रस्तुतकर्ता आपको दूसरा दरवाजा चुनने के लिए आमंत्रित करता है।

तीन में से शेष दो विकल्पों में से (आप शुरू में पुरस्कार के बिना एक दरवाजा चुनते हैं), आधे मामलों में प्रस्तुतकर्ता आपको दूसरा दरवाजा चुनने की पेशकश करेगा, और दूसरे आधे मामलों में - नहीं। 2/3 का आधा 1/3 है, अर्थात तीन में से एक मामले में आपको एक बकरी मिलेगी, तीन में से एक मामले में आप गलत दरवाज़ा चुनेंगे और मेज़बान आपसे दूसरा दरवाज़ा चुनने के लिए कहेगा और तीन में से एक मामले में आप चुनेंगे सही दरवाज़ाऔर वह आपसे दूसरा दरवाजा चुनने के लिए कहेगा।

यदि प्रस्तुतकर्ता दूसरा दरवाजा चुनने की पेशकश करता है, तो हम पहले से ही जानते हैं कि तीन में से एक मामला जब वह हमें एक बकरी देता है और हम चले जाते हैं, ऐसा नहीं हुआ। यह उपयोगी जानकारी है क्योंकि इसका मतलब है कि हमारे जीतने की संभावना बदल गई है। तीन में से दो मामलों में, जब हमें चुनने का अवसर मिलता है, तो एक मामले में इसका मतलब है कि हमने सही अनुमान लगाया है, और दूसरे में हमने गलत अनुमान लगाया है, इसलिए यदि हमें चुनने का अवसर दिया गया, तो इसका मतलब है कि हमारे जीतने की संभावना 50/50 है, और नहीं है गणितीयलाभ, अपनी पसंद के साथ रहें या कोई अन्य दरवाजा चुनें।

पोकर की तरह, यह अब गणितीय नहीं बल्कि एक मनोवैज्ञानिक खेल है। मोंटी ने आपको एक विकल्प दिया क्योंकि वह सोचता है कि आप एक मूर्ख हैं जो नहीं जानता कि दूसरा दरवाजा चुनना "सही" निर्णय है, और आप जिद करके अपनी पसंद पर कायम रहेंगे क्योंकि मनोवैज्ञानिक रूप से स्थिति तब होती है जब आपने विकल्प चुना होता है। कार, ​​और फिर उसे खो दिया, कठिन? या क्या वह सोचता है कि आप चतुर हैं और दूसरा दरवाजा चुनते हैं, और वह आपको यह मौका देता है क्योंकि वह जानता है कि आपने पहली बार में सही अनुमान लगाया था और आप फंस जाएंगे और फंस जाएंगे? या हो सकता है कि वह अपने प्रति अस्वाभाविक रूप से दयालु हो और आपको अपने व्यक्तिगत हित में कुछ करने के लिए प्रेरित कर रहा हो क्योंकि उसने कुछ समय से कार नहीं दी है और उसके निर्माता उससे कह रहे हैं कि दर्शक ऊब रहे हैं और बेहतर होगा कि वह कार दे दे। जल्द ही बड़ा पुरस्कार ताकि रेटिंग न गिरे?

इस तरह, मोंटी विकल्पों की पेशकश करने में कामयाब होता है (कभी-कभी) और फिर भी जीतने की कुल संभावना को 1/3 पर बनाए रखता है। याद रखें कि आपके सीधे तौर पर हारने की संभावना 1/3 है। संभावना है कि आप तुरंत सही अनुमान लगा लेंगे 1/3 है, और 50% बार आप जीतेंगे (1/3 x 1/2 = 1/6)। शुरुआत में आपके गलत अनुमान लगाने और फिर दूसरा दरवाज़ा चुनने का मौका मिलने की संभावना 1/3 है, और उनमें से 50% बार आप जीतेंगे (1/6 भी)। जीतने की दो स्वतंत्र संभावनाओं को जोड़ें और आपको 1/3 की संभावना मिलती है, इसलिए चाहे आप अपनी पसंद पर कायम रहें या कोई अन्य दरवाजा चुनें, पूरे खेल में आपके जीतने की कुल संभावना 1/3 है... संभावना अधिक नहीं होती है ऐसी स्थिति में जहां आप दरवाजे का अनुमान लगाएंगे और प्रस्तुतकर्ता आपको दिखाएगा कि इस दरवाजे के पीछे क्या है, दूसरा दरवाजा चुनने का अवसर दिए बिना! इसलिए एक अलग दरवाजा चुनने का विकल्प देने का उद्देश्य संभावना को बदलना नहीं है, बल्कि निर्णय लेने की प्रक्रिया को टेलीविजन पर देखने के लिए और अधिक मजेदार बनाना है।

वैसे, यह एक कारण है कि पोकर इतना दिलचस्प क्यों हो सकता है: अधिकांश प्रारूपों में, राउंड के बीच जब दांव लगाए जाते हैं (उदाहरण के लिए, टेक्सास होल्डम में फ्लॉप, टर्न और रिवर), कार्ड धीरे-धीरे सामने आते हैं, और यदि खेल की शुरुआत में आपके जीतने की एक संभावना है, तो सट्टेबाजी के प्रत्येक दौर के बाद, जब अधिक कार्ड खुलते हैं, तो यह संभावना बदल जाती है।

लड़का और लड़की विरोधाभास

यह हमें एक और प्रसिद्ध विरोधाभास की ओर ले जाता है जो आमतौर पर हर किसी को हैरान कर देता है - लड़का-लड़की विरोधाभास। आज मैं जिस एकमात्र चीज के बारे में लिख रहा हूं वह सीधे तौर पर गेम से संबंधित नहीं है (हालांकि मुझे लगता है कि इसका सीधा सा मतलब है कि मुझे आपको प्रासंगिक गेम मैकेनिक्स बनाने के लिए प्रोत्साहित करना चाहिए)। यह एक पहेली है, लेकिन दिलचस्प है, और इसे हल करने के लिए, आपको सशर्त संभाव्यता को समझने की आवश्यकता है, जिसके बारे में हमने ऊपर बात की थी।

समस्या: मेरा एक दोस्त है जिसके दो बच्चे हैं, कम से कम एकबच्चा एक लड़की है. क्या संभावना है कि दूसरा बच्चा होगा वहीलड़की? आइए मान लें कि किसी भी परिवार में लड़की या लड़का होने की 50/50 संभावना है, और यह प्रत्येक बच्चे के लिए सच है (वास्तव में, कुछ पुरुषों में एक्स गुणसूत्र या वाई गुणसूत्र के साथ अधिक शुक्राणु होते हैं, इसलिए संभावना बदल जाती है) यदि आप जानते हैं कि एक बच्चा लड़की है, तो लड़की होने की संभावना थोड़ी अधिक है, इसके अलावा अन्य स्थितियाँ भी हैं, उदाहरण के लिए, उभयलिंगीपन, लेकिन इस समस्या को हल करने के लिए, हम इसे ध्यान में नहीं रखेंगे और मान लेंगे कि बच्चे का जन्म एक स्वतंत्र घटना है और लड़का या लड़की होने की संभावना समान होती है)।

चूँकि हम 1/2 मौके के बारे में बात कर रहे हैं, सहज रूप से हम उम्मीद करेंगे कि उत्तर शायद 1/2 या 1/4 होगा, या कोई अन्य गोल संख्या जो दो का गुणज हो। लेकिन उत्तर यह है: 1/3 . रुको, क्यों?

यहां कठिनाई यह है कि हमारे पास जो जानकारी है वह संभावनाओं की संख्या को कम कर देती है। मान लीजिए कि माता-पिता सेसमी स्ट्रीट के प्रशंसक हैं और इस बात की परवाह किए बिना कि बच्चा लड़का पैदा हुआ या लड़की, उन्होंने अपने बच्चों का नाम ए और बी रखा। सामान्य परिस्थितियों में, चार समान रूप से संभावित संभावनाएं हैं: ए और बी दो लड़के हैं, ए और B दो लड़कियाँ हैं, A एक लड़का है और B एक लड़की है, A एक लड़की है और B एक लड़का है। चूँकि हम यह जानते हैं कम से कम एकबच्चा एक लड़की है, हम इस संभावना को खत्म कर सकते हैं कि ए और बी दो लड़के हैं, इसलिए हमारे पास तीन (अभी भी समान रूप से संभावित) संभावनाएं बची हैं। यदि सभी संभावनाएँ समान रूप से संभाव्य हैं और उनमें से तीन हैं, तो हम जानते हैं कि उनमें से प्रत्येक की संभावना 1/3 है। इन तीन विकल्पों में से केवल एक में दोनों बच्चे लड़कियाँ हैं, इसलिए उत्तर 1/3 है।

और फिर एक लड़के और एक लड़की के विरोधाभास के बारे में

समस्या का समाधान और भी अतार्किक हो जाता है। कल्पना कीजिए कि मैं आपको बताऊं कि मेरे मित्र के दो बच्चे और एक बच्चा है - वह लड़की जिसका जन्म मंगलवार को हुआ. आइए मान लें कि सामान्य परिस्थितियों में सप्ताह के सात दिनों में से किसी एक दिन बच्चे के जन्म की संभावना समान है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा बच्चा भी लड़की हो? आप सोच सकते हैं कि उत्तर अभी भी 1/3 होगा; मंगलवार का क्या महत्व है? लेकिन इस मामले में भी, अंतर्ज्ञान हमें विफल कर देता है। उत्तर: 13/27 , जो न केवल अकल्पनीय है, बल्कि बहुत अजीब है। क्या बात क्या बात इस मामले में?

दरअसल मंगलवार संभावना बदल देता है क्योंकि हम नहीं जानते कौनबच्चे का जन्म मंगलवार को हुआ था या शायद दो बच्चोंमंगलवार को पैदा हुआ. इस मामले में, हम ऊपर बताए गए समान तर्क का उपयोग करते हैं, हम सभी संभावित संयोजनों की गणना करते हैं जब कम से कम एक बच्चा मंगलवार को पैदा हुई लड़की हो। पिछले उदाहरण की तरह, मान लें कि बच्चों के नाम ए और बी हैं, संयोजन इस तरह दिखते हैं:

• A एक लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ था, B एक लड़का है (इस स्थिति में 7 संभावनाएँ हैं, सप्ताह के प्रत्येक दिन के लिए एक जब लड़का पैदा हो सकता है)।
• B एक लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ है, A एक लड़का है (7 संभावनाएं भी)।
• A वह लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ था, B वह लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ था एक औरसप्ताह का दिन (6 संभावनाएँ)।
• B वह लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ था, A वह लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को नहीं हुआ था (6 संभावनाएँ भी)।
• ए और बी दो लड़कियां हैं जिनका जन्म मंगलवार को हुआ था (1 संभावना, आपको इस पर ध्यान देने की जरूरत है ताकि दो बार गिनती न करनी पड़े)।

हम जोड़ते हैं और बच्चों के जन्म और दिनों के 27 अलग-अलग समान रूप से संभावित संयोजन प्राप्त करते हैं, जिसमें कम से कम एक संभावना मंगलवार को लड़की के जन्म की होती है। इनमें से 13 संभावनाएं तब होती हैं जब दो लड़कियां पैदा होती हैं। यह पूरी तरह से अतार्किक भी लगता है और ऐसा लगता है कि यह कार्य सिर्फ सिरदर्द पैदा करने के लिए ही बनाया गया है। यदि आप अभी भी इस उदाहरण से भ्रमित हैं, तो गेम सिद्धांतकार जेस्पर जुहल ने अपनी वेबसाइट पर इस मुद्दे की अच्छी व्याख्या की है।

यदि आप वर्तमान में किसी गेम पर काम कर रहे हैं...

यदि आप जिस गेम को डिज़ाइन कर रहे हैं उसमें कोई यादृच्छिकता है, तो इसका विश्लेषण करने का यह एक अच्छा समय है। कुछ तत्व चुनें जिसका आप विश्लेषण करना चाहते हैं। सबसे पहले अपने आप से पूछें कि आपकी अपेक्षाओं के अनुसार किसी दिए गए तत्व की संभावना क्या है, आप क्या सोचते हैं कि यह खेल के संदर्भ में क्या होना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि आप एक आरपीजी बना रहे हैं और सोच रहे हैं कि क्या संभावना होनी चाहिए कि खिलाड़ी युद्ध में एक राक्षस को हराने में सक्षम होगा, तो अपने आप से पूछें कि जीत का प्रतिशत आपको क्या सही लगता है। आम तौर पर कंसोल आरपीजी खेलते समय, खिलाड़ी हारने पर बहुत परेशान हो जाते हैं, इसलिए बेहतर होगा कि वे बार-बार न हारें... शायद 10% समय या उससे कम? यदि आप एक आरपीजी डिजाइनर हैं, तो आप शायद मुझसे बेहतर जानते हैं, लेकिन आपके पास एक बुनियादी विचार होना चाहिए कि संभावना क्या होनी चाहिए।

फिर अपने आप से पूछें कि क्या यह कुछ है आश्रित(कार्ड की तरह) या स्वतंत्र(पासे की तरह)। सभी संभावित परिणामों और उनकी संभावनाओं का विश्लेषण करें। सुनिश्चित करें कि सभी संभावनाओं का योग 100% है। और अंत में, निश्चित रूप से, अपने परिणामों की तुलना अपनी उम्मीदों के परिणामों से करें। क्या पासा पलटना या कार्ड बनाना आपके इच्छित तरीके से हो रहा है या क्या आप देखते हैं कि आपको मूल्यों को समायोजित करने की आवश्यकता है। और, निःसंदेह, यदि आप आप पाएंगेक्या समायोजित करने की आवश्यकता है, आप उसी गणना का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकते हैं कि किसी चीज़ को कितना समायोजित करने की आवश्यकता है!

होमवर्क असाइनमेंट

इस सप्ताह आपका "होमवर्क" आपके संभाव्यता कौशल को निखारने में मदद करेगा। यहां दो पासा गेम और एक कार्ड गेम है जिसका आप संभाव्यता का उपयोग करके विश्लेषण करेंगे, साथ ही एक अजीब गेम मैकेनिक भी है जिसे मैंने एक बार विकसित किया था जो मोंटे कार्लो पद्धति का परीक्षण करेगा।

गेम #1 - ड्रैगन बोन्स

यह एक पासा खेल है जिसे मैंने और मेरे सहयोगियों ने एक बार खोजा था (जेब हेवेन्स और जेसी किंग को धन्यवाद!), और जो विशेष रूप से अपनी संभावनाओं से लोगों के दिमाग को चकित कर देता है। यह एक साधारण कैसीनो गेम है जिसे "ड्रैगन डाइस" कहा जाता है और यह खिलाड़ी और घर के बीच जुआ पासा प्रतियोगिता है। आपको एक सामान्य 1d6 पासा दिया जाता है। खेल का लक्ष्य घर से अधिक संख्या में रोल करना है। टॉम को एक गैर-मानक 1d6 दिया गया है - आपके जैसा ही, लेकिन एक तरफ 1 के बजाय एक ड्रैगन की छवि है (इस प्रकार, कैसीनो में एक ड्रैगन पासा है - 2-3-4-5-6)। यदि घर को ड्रैगन मिल जाता है, तो वह स्वतः ही जीत जाता है और आप हार जाते हैं। यदि आप दोनों को समान संख्या मिलती है, तो यह टाई है और आप फिर से पासा पलटते हैं। जो सबसे अधिक संख्या में आता है वह जीतता है।

बेशक, सब कुछ पूरी तरह से खिलाड़ी के पक्ष में काम नहीं करता है, क्योंकि कैसीनो में ड्रैगन एज के रूप में एक फायदा है। लेकिन क्या यह वास्तव में सच है? इसका हिसाब आपको लगाना होगा. लेकिन उससे पहले, अपने अंतर्ज्ञान की जांच करें। मान लीजिए कि जीत 2 से 1 है। इसलिए यदि आप जीतते हैं, तो आप अपना दांव बरकरार रखते हैं और अपने दांव से दोगुना प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप $1 का दांव लगाते हैं और जीतते हैं, तो आप उस डॉलर को रखते हैं और कुल $3 के लिए शीर्ष पर 2 और प्राप्त करते हैं। यदि आप हारते हैं, तो आप केवल अपना दांव हारते हैं। क्या आप खेलेंगे? तो, क्या आप सहज रूप से महसूस करते हैं कि संभावना 2 से 1 से अधिक है, या क्या आप अभी भी सोचते हैं कि यह कम है? दूसरे शब्दों में, औसतन 3 से अधिक खेलों में, क्या आप एक से अधिक, या कम, या एक बार जीतने की उम्मीद करते हैं?

एक बार जब आप अपने अंतर्ज्ञान को सुलझा लें, तो गणित का उपयोग करें। दोनों पासों के लिए केवल 36 संभावित स्थितियाँ हैं, इसलिए आप उन सभी को बिना किसी समस्या के गिन सकते हैं। यदि आप उस 2-फॉर-1 ऑफर के बारे में निश्चित नहीं हैं, तो इस पर विचार करें: मान लीजिए कि आपने गेम 36 बार खेला (हर बार $1 का दांव लगाया)। प्रत्येक जीत के लिए आपको 2 डॉलर मिलते हैं, प्रत्येक हार के लिए 1 डॉलर मिलता है, और ड्रॉ से कुछ भी नहीं बदलता है। अपनी सभी संभावित जीत और हानि की गणना करें और तय करें कि आपको कुछ डॉलर का नुकसान होगा या लाभ होगा। फिर अपने आप से पूछें कि आपका अंतर्ज्ञान कितना सही था। और तब एहसास हुआ कि मैं कितना खलनायक हूं।

और, हाँ, यदि आपने पहले से ही इस प्रश्न के बारे में सोचा है - तो मैं जानबूझकर पासा खेल के वास्तविक यांत्रिकी को गलत तरीके से प्रस्तुत करके आपको भ्रमित कर रहा हूँ, लेकिन मुझे यकीन है कि आप थोड़े से विचार से इस बाधा को दूर कर सकते हैं। इस समस्या को स्वयं सुलझाने का प्रयास करें. मैं अगले सप्ताह सभी उत्तर यहां पोस्ट करूंगा।

गेम नंबर 2 - भाग्य के लिए फेंकें

यह पासों का एक जुआ खेल है जिसे "रोल फॉर लक" कहा जाता है (जिसे "बर्डकेज" भी कहा जाता है क्योंकि कभी-कभी पासों को फेंका नहीं जाता है, बल्कि एक बड़े तार के पिंजरे में रखा जाता है, जो "बिंगो" के पिंजरे की याद दिलाता है)। यह एक सरल गेम है जो मूल रूप से इस तक सीमित है: 1 से 6 तक की संख्या पर $1 का दांव लगाएं। फिर आप 3डी6 रोल करते हैं। आपके नंबर पर आने वाले प्रत्येक पासे के लिए, आपको $1 मिलता है (और अपना मूल दांव बनाए रखें)। यदि आपका नंबर किसी भी पासे पर नहीं आता है, तो कैसीनो को आपका डॉलर मिल जाता है और आपको कुछ नहीं मिलता है। इसलिए यदि आप 1 पर दांव लगाते हैं और आपको तीन बार किनारे पर 1 मिलता है, तो आपको $3 मिलते हैं।

सहज रूप से, ऐसा लगता है कि इस खेल में समान संभावनाएँ हैं। प्रत्येक पासे में जीतने की 6 में से 1 संभावना होती है, इसलिए जब आप तीनों को जोड़ते हैं, तो आपके जीतने की संभावना 6 में से 3 होती है। हालाँकि, निश्चित रूप से, याद रखें कि आप तीन अलग-अलग पासे जोड़ रहे हैं, और आपको केवल जोड़ने की अनुमति है यदि हम एक ही पासे के अलग-अलग विजेता संयोजनों के बारे में बात कर रहे हैं। कुछ ऐसा जिसे आपको गुणा करने की आवश्यकता होगी।

एक बार जब आप सभी संभावित परिणामों की गणना कर लेते हैं (संभवतः एक्सेल में हाथ से करना आसान होता है, क्योंकि उनमें से 216 हैं), तो गेम अभी भी पहली नज़र में विषम-सम दिखता है। लेकिन वास्तव में, कैसीनो में अभी भी जीतने की बेहतर संभावना है—कितना अधिक? विशेष रूप से, आप खेल के प्रत्येक दौर में औसतन कितना पैसा खोने की उम्मीद करते हैं? आपको बस सभी 216 परिणामों की जीत और हार को जोड़ना है और फिर 216 से विभाजित करना है, जो बहुत आसान होना चाहिए... लेकिन जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ जाल हैं जिनमें आप फंस सकते हैं, और इसीलिए मैं मैं आपको बता रहा हूं: अगर आपको लगता है कि इस गेम में जीतने की समान संभावना है, तो आप बिल्कुल गलत हैं।

गेम #3 - 5 कार्ड स्टड पोकर

यदि आप पहले से ही पिछले खेलों से परिचित हो चुके हैं, तो आइए उदाहरण के तौर पर इस कार्ड गेम का उपयोग करके देखें कि हम सशर्त संभाव्यता के बारे में क्या जानते हैं। विशेष रूप से, आइए 52-कार्ड डेक वाले पोकर गेम की कल्पना करें। आइए 5 कार्ड स्टड की भी कल्पना करें, जहां प्रत्येक खिलाड़ी को केवल 5 कार्ड मिलते हैं। आप एक कार्ड को त्याग नहीं सकते, आप एक नया कार्ड नहीं निकाल सकते, कोई साझा डेक नहीं है - आपको केवल 5 कार्ड मिलते हैं।

एक रॉयल फ्लश एक हाथ में 10-जे-क्यू-के-ए है, कुल मिलाकर चार हैं, इसलिए रॉयल फ्लश प्राप्त करने के चार संभावित तरीके हैं। इस संभावना की गणना करें कि आपको ऐसा एक संयोजन मिलेगा।

मुझे आपको एक बात के बारे में चेतावनी देनी चाहिए: याद रखें कि आप इन पांच कार्डों को किसी भी क्रम में निकाल सकते हैं। यानी, पहले आप इक्का या दस निकाल सकते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। इसलिए इसकी गणना करते समय, ध्यान रखें कि रॉयल फ्लश प्राप्त करने के वास्तव में चार से अधिक तरीके हैं, यह मानते हुए कि कार्ड क्रम में बांटे गए थे!

गेम नंबर 4 - आईएमएफ लॉटरी

चौथी समस्या को उन तरीकों का उपयोग करके इतनी आसानी से हल नहीं किया जा सकता है जिनके बारे में हमने आज बात की है, लेकिन आप प्रोग्रामिंग या एक्सेल का उपयोग करके स्थिति का आसानी से अनुकरण कर सकते हैं। इस समस्या के उदाहरण पर आप मोंटे कार्लो पद्धति पर काम कर सकते हैं।

मैंने पहले गेम "क्रोन एक्स" का उल्लेख किया था, जिस पर मैंने एक बार काम किया था, और वहां एक बहुत ही दिलचस्प कार्ड था - आईएमएफ लॉटरी। यहां बताया गया है कि यह कैसे काम करता है: आपने इसे गेम में उपयोग किया है। राउंड समाप्त होने के बाद, कार्ड फिर से वितरित किए गए और 10% संभावना थी कि कार्ड खेल से बाहर हो जाएगा और एक यादृच्छिक खिलाड़ी को प्रत्येक प्रकार के संसाधन की 5 इकाइयाँ प्राप्त होंगी जिनका टोकन उस कार्ड पर मौजूद था। कार्ड को एक चिप के बिना खेल में शामिल किया गया था, लेकिन हर बार जब यह अगले राउंड की शुरुआत में खेल में रहता था, तो इसे एक चिप प्राप्त होती थी। तो 10% संभावना थी कि यदि आप इसे खेल में डालते हैं, तो राउंड समाप्त हो जाएगा, कार्ड खेल छोड़ देगा, और किसी को कुछ भी नहीं मिलेगा। यदि ऐसा नहीं होता है (90% संभावना), तो 10% संभावना है (वास्तव में 9%, क्योंकि यह 90% का 10% है) कि अगले दौर में वह खेल छोड़ देगी और किसी को 5 यूनिट संसाधन प्राप्त होंगे। यदि कार्ड एक राउंड के बाद खेल छोड़ देता है (उपलब्ध 81% में से 10%, तो संभावना 8.1% है), किसी को 10 इकाइयाँ प्राप्त होंगी, दूसरे राउंड में - 15, दूसरे को - 20, और इसी तरह। प्रश्न: इस कार्ड के अंततः खेल छोड़ने पर आपको इससे प्राप्त होने वाले संसाधनों की संख्या का सामान्य अपेक्षित मूल्य क्या है?

आम तौर पर हम प्रत्येक परिणाम की संभावना ज्ञात करके और सभी परिणामों की संख्या से गुणा करके इस समस्या को हल करने का प्रयास करेंगे। तो 10% संभावना है कि आपको 0 (0.1*0 = 0) मिलेगा। 9% कि आपको संसाधनों की 5 इकाइयाँ प्राप्त होंगी (9%*5 = 0.45 संसाधन)। आपको जो मिलता है उसका 8.1% 10 (8.1%*10 = कुल 0.81 संसाधन, अपेक्षित मूल्य) है। और इसी तरह। और फिर हम इसका पूरा सारांश निकालेंगे।

और अब समस्या आपके लिए स्पष्ट है: हमेशा एक मौका है कि कार्ड नहींवह खेल छोड़ देगी ताकि वह खेल में बनी रह सके हमेशा के लिए, अनंत संख्या में राउंड के लिए, इसलिए गणना करना संभव है हर संभावनामौजूद नहीं होना। आज हमने जो विधियाँ सीखी हैं वे हमें अनंत पुनरावृत्ति की गणना करने की अनुमति नहीं देती हैं, इसलिए हमें इसे कृत्रिम रूप से बनाना होगा।

यदि आप प्रोग्रामिंग में काफी अच्छे हैं, तो एक प्रोग्राम लिखें जो इस मानचित्र का अनुकरण करेगा। आपके पास एक टाइम लूप होना चाहिए जो वेरिएबल को शून्य की शुरुआती स्थिति में लाता है, एक यादृच्छिक संख्या दिखाता है और 10% संभावना के साथ वेरिएबल लूप से बाहर निकलता है। अन्यथा, यह वेरिएबल में 5 जोड़ता है और चक्र दोहराता है। जब यह अंततः लूप से बाहर निकलता है, तो ट्रायल रन की कुल संख्या 1 और संसाधनों की कुल संख्या (कितनी इस पर निर्भर करती है कि चर कहां समाप्त होता है) बढ़ा दें। फिर वेरिएबल को रीसेट करें और फिर से शुरू करें। प्रोग्राम को कई हजार बार चलाएँ। अंत में, संसाधनों की कुल संख्या को रनों की कुल संख्या से विभाजित करें - यह आपका अपेक्षित मोंटे कार्लो मूल्य होगा। यह सुनिश्चित करने के लिए प्रोग्राम को कई बार चलाएँ कि आपको प्राप्त संख्याएँ लगभग समान हैं; यदि बिखराव अभी भी बड़ा है, तो बाहरी लूप में दोहराव की संख्या तब तक बढ़ाएं जब तक आपको मिलान मिलना शुरू न हो जाए। आप निश्चिंत हो सकते हैं कि आपको जो भी संख्याएँ मिलेंगी वे लगभग सही होंगी।

यदि आप प्रोग्रामिंग से अपरिचित हैं (और यदि हैं भी), तो यहां आपके एक्सेल कौशल को बेहतर बनाने के लिए एक छोटा सा अभ्यास दिया गया है। यदि आप एक गेम डिजाइनर हैं, तो एक्सेल कौशल कभी भी बुरी चीज नहीं है।

अब आपको IF और RAND फ़ंक्शंस बहुत उपयोगी लगेंगे। RAND को मानों की आवश्यकता नहीं है, यह केवल 0 और 1 के बीच एक यादृच्छिक दशमलव संख्या उगलता है। हम आम तौर पर पासा पलटने का अनुकरण करने के लिए इसे FLOOR और प्लस और माइनस के साथ जोड़ते हैं, जिसका मैंने पहले उल्लेख किया था। हालाँकि, इस मामले में हम केवल 10% संभावना छोड़ रहे हैं कि कार्ड गेम छोड़ देगा, इसलिए हम केवल यह देखने के लिए जाँच कर सकते हैं कि RAND मान 0.1 से कम है या नहीं और अब इसके बारे में चिंता न करें।

IF के तीन अर्थ हैं. क्रम में: एक शर्त जो या तो सत्य या गलत है, फिर एक मान जो शर्त सत्य होने पर लौटाया जाता है, और एक मान जो शर्त गलत होने पर लौटाया जाता है। तो निम्नलिखित फ़ंक्शन 5% समय लौटाएगा, और 0 अन्य 90% समय लौटाएगा:
=आईएफ(रैंड()<0.1,5,0)

इस कमांड को सेट करने के कई तरीके हैं, लेकिन मैं इस फॉर्मूले का उपयोग उस सेल के लिए करूंगा जो पहले राउंड का प्रतिनिधित्व करता है, मान लें कि यह सेल A1 है:

अगर(रैंड()<0.1,0,-1)

यहां मैं एक नकारात्मक चर का उपयोग करता हूं जिसका अर्थ है "इस कार्ड ने खेल नहीं छोड़ा है और अभी तक कोई संसाधन नहीं छोड़ा है।" इसलिए यदि पहला राउंड ख़त्म हो गया है और कार्ड खेलना बंद कर देता है, तो A1 0 है; अन्यथा यह -1 है.

दूसरे दौर का प्रतिनिधित्व करने वाले अगले सेल के लिए:

IF(A1>-1, A1, IF(RAND())<0.1,5,-1))

इसलिए यदि पहला राउंड समाप्त हो गया और कार्ड ने तुरंत गेम छोड़ दिया, तो A1 0 (संसाधनों की संख्या) है और यह सेल बस उस मान को कॉपी कर लेगा। अन्यथा, A1 -1 है (कार्ड ने अभी तक खेल नहीं छोड़ा है), और यह सेल बेतरतीब ढंग से चलता रहता है: 10% समय यह संसाधनों की 5 इकाइयाँ लौटाएगा, बाकी समय इसका मूल्य अभी भी बराबर रहेगा -1. यदि हम इस सूत्र को अतिरिक्त कोशिकाओं पर लागू करते हैं, तो हमें अतिरिक्त राउंड मिलते हैं, और जो भी सेल आपके पास होगा वह आपको अंतिम परिणाम देगा (या -1 यदि आपके द्वारा खेले गए सभी राउंड के बाद कार्ड ने गेम कभी नहीं छोड़ा)।

कोशिकाओं की वह पंक्ति लें, जो उस कार्ड के साथ एकमात्र राउंड का प्रतिनिधित्व करती है, और कई सौ (या हजार) पंक्तियों को कॉपी और पेस्ट करें। हो सकता है कि हम ऐसा करने में सक्षम न हों अनंतएक्सेल के लिए परीक्षण (एक तालिका में सीमित संख्या में सेल होते हैं), लेकिन कम से कम हम अधिकांश मामलों को कवर कर सकते हैं। फिर एक सेल चुनें जिसमें आप सभी राउंड के परिणामों का औसत डालेंगे (एक्सेल कृपया इसके लिए एक AVERAGE() फ़ंक्शन प्रदान करता है)।

विंडोज़ पर, आप सभी यादृच्छिक संख्याओं की पुनर्गणना करने के लिए कम से कम F9 दबा सकते हैं। पहले की तरह, इसे कुछ बार करें और देखें कि क्या आपको मिलने वाले मान समान हैं। यदि फैलाव बहुत बड़ा है, तो रनों की संख्या दोगुनी करें और पुनः प्रयास करें।

अनसुलझी समस्याएं

यदि आपके पास संभाव्यता में डिग्री है और उपरोक्त समस्याएं बहुत आसान लगती हैं, तो यहां दो समस्याएं हैं जिन पर मैं वर्षों से अपना सिर खुजला रहा हूं, लेकिन अफसोस, मैं गणित में इतना अच्छा नहीं हूं कि उन्हें हल कर सकूं। यदि आपको कोई समाधान पता है, तो कृपया इसे यहां टिप्पणियों में पोस्ट करें, मुझे इसे पढ़कर खुशी होगी।

अनसुलझी समस्या #1: लॉटरीअंतर्राष्ट्रीय मुद्रा कोष

पहली अनसुलझी समस्या पिछला होमवर्क असाइनमेंट है। मैं आसानी से मोंटे कार्लो विधि (सी++ या एक्सेल का उपयोग करके) लागू कर सकता हूं और इस प्रश्न के उत्तर में आश्वस्त रह सकता हूं कि "खिलाड़ी को कितने संसाधन प्राप्त होंगे", लेकिन मुझे नहीं पता कि गणितीय रूप से सटीक सिद्ध उत्तर कैसे प्रदान किया जाए (यह है) एक अनंत श्रृंखला)। यदि आप उत्तर जानते हैं, तो इसे यहां पोस्ट करें... बेशक, मोंटे कार्लो के साथ इसका परीक्षण करने के बाद।

अनसुलझी समस्या #2: आकृतियों का क्रम

यह समस्या (और फिर यह इस ब्लॉग में हल की गई समस्याओं के दायरे से कहीं आगे जाती है) मुझे 10 साल से भी अधिक समय पहले एक गेमर मित्र द्वारा दी गई थी। वेगास में ब्लैकजैक खेलते समय उन्होंने एक दिलचस्प बात देखी: जब उन्होंने 8-डेक जूते से कार्ड निकाले, तो उन्होंने देखा दसएक पंक्ति में आंकड़े (एक टुकड़ा, या फेस कार्ड - 10, जोकर, राजा या रानी, ​​इसलिए एक मानक 52-कार्ड डेक में कुल 16 होते हैं, इसलिए 416-कार्ड जूते में 128 होते हैं)। इसकी क्या सम्भावना है कि इस जूते में कम से कमदस में से एक क्रम या अधिकआंकड़े? आइए मान लें कि उन्हें यादृच्छिक क्रम में निष्पक्ष रूप से फेरबदल किया गया था। (या, यदि आप चाहें, तो इसकी क्या संभावना है कहीं नहीं मिलादस या अधिक अंकों का अनुक्रम?)

हम कार्य को सरल बना सकते हैं. यहां 416 भागों का क्रम है। प्रत्येक भाग 0 या 1 है। पूरे अनुक्रम में 128 एक और 288 शून्य बेतरतीब ढंग से बिखरे हुए हैं। 128 शून्यों को 288 शून्यों के साथ बेतरतीब ढंग से जोड़ने के कितने तरीके हैं, और इन तरीकों में कितनी बार कम से कम दस या अधिक शून्य का एक समूह होगा?

हर बार जब मैंने इस समस्या को हल करना शुरू किया, तो यह मुझे आसान और स्पष्ट लगी, लेकिन जैसे ही मैंने विवरण में प्रवेश किया, यह अचानक टूट गई और मुझे बिल्कुल असंभव लगने लगी। इसलिए उत्तर को अस्पष्ट करने में जल्दबाजी न करें: बैठ जाएं, ध्यान से सोचें, समस्या की स्थितियों का अध्ययन करें, वास्तविक संख्याओं को जोड़ने का प्रयास करें, क्योंकि जिन लोगों से मैंने इस समस्या के बारे में बात की (जिनमें इस क्षेत्र में काम करने वाले कई स्नातक छात्र भी शामिल हैं) ) ने उसी के बारे में प्रतिक्रिया व्यक्त की: "यह पूरी तरह से स्पष्ट है... ओह, नहीं, रुको, यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है।" यह वही मामला है जिसके लिए मेरे पास सभी विकल्पों की गणना करने की कोई विधि नहीं है। मैं निश्चित रूप से कंप्यूटर एल्गोरिदम के माध्यम से समस्या को बलपूर्वक लागू कर सकता हूं, लेकिन मैं इस समस्या को हल करने के गणितीय तरीके को जानने के लिए और अधिक उत्सुक रहूंगा।

अनुवाद - वाई. तकाचेंको, आई. मिखेवा

ढीले ऑडियो पाठ के साथ संगीत रचना की विधि; 20वीं सदी में संगीत रचना का एक स्वतंत्र तरीका विकसित हुआ। ए का अर्थ है संगीतकार का संगीत पाठ पर सख्त नियंत्रण से पूर्ण या आंशिक इनकार, या यहां तक ​​कि पारंपरिक अर्थ में संगीतकार-लेखक की श्रेणी का उन्मूलन। ए का नवाचार जानबूझकर पेश की गई यादृच्छिकता, संगीत सामग्री की मनमानी गतिशीलता के साथ एक संगीत पाठ के स्थिर रूप से स्थापित घटकों के सहसंबंध में निहित है। ए की अवधारणा एक निबंध (फॉर्म) के हिस्सों की सामान्य व्यवस्था और उसके कपड़े की संरचना दोनों को संदर्भित कर सकती है। ई के अनुसार. डेनिसोव,कपड़े और रूप की स्थिरता और गतिशीलता के बीच परस्पर क्रिया से 4 मुख्य प्रकार के संयोजन मिलते हैं, जिनमें से तीन - 2रा, 3रा और 4था - स्वरात्मक होते हैं: 1. स्थिर कपड़ा - स्थिर रूप (सामान्य पारंपरिक रचना, ओपस परफेक्टम एट एब्सोल्यूटम; जैसे, के लिए) उदाहरण, त्चिकोवस्की की छठी सिम्फनी); 2. स्थिर कपड़ा - गतिशील आकार; वी. लुटोस्लाव्स्की के अनुसार, “ए. फॉर्म" (पी. बौलेज़, पियानो के लिए तीसरा सोनाटा, 1957); 3. मोबाइल कपड़ा - स्थिर आकार; या, लुटोस्लावस्की के अनुसार, “ए. बनावट" (ल्युटोस्लावस्की, स्ट्रिंग चौकड़ी, 1964, मुख्य आंदोलन); 4. मोबाइल फैब्रिक - मोबाइल फॉर्म; या "ए. पिंजरा"(कई कलाकारों के सामूहिक सुधार के दौरान)। ये ए विधि के नोडल बिंदु हैं, जिसके चारों ओर कई अलग-अलग विशिष्ट प्रकार और संरचनाओं के मामले हैं, ए में विसर्जन की विभिन्न डिग्री; इसके अलावा, मेटाबोल्स ("मॉड्यूलेशन") भी प्राकृतिक हैं - एक प्रकार या प्रकार से दूसरे में संक्रमण, एक स्थिर पाठ से भी।

A. 1950 के दशक से व्यापक हो गया है, (साथ में) दिखाई दे रहा है सोनोरिका),विशेष रूप से, बहु-पैरामीटर धारावाहिकवाद में संगीत संरचना की अत्यधिक दासता की प्रतिक्रिया (देखें: डोडेकैफोनी)।इस बीच, किसी न किसी रूप में संरचना की स्वतंत्रता के सिद्धांत की जड़ें प्राचीन हैं। मूलतः, लोक संगीत एक ध्वनि धारा है, न कि कोई विशिष्ट रूप से संरचित रचना। इसलिए लोक संगीत की अस्थिरता, "गैर-ऑपस" प्रकृति, इसमें भिन्नता, बदलाव और कामचलाऊ व्यवस्था। रूप की अनिर्दिष्टता और सुधार भारत, सुदूर पूर्व और अफ्रीका के लोगों के पारंपरिक संगीत की विशेषता है। इसलिए, ए के प्रतिनिधि सक्रिय रूप से और सचेत रूप से प्राच्य और लोक संगीत के आवश्यक सिद्धांतों पर भरोसा करते हैं। ए के तत्व यूरोपीय शास्त्रीय संगीत में भी मौजूद थे। उदाहरण के लिए, विनीज़ क्लासिक्स के बीच, जिन्होंने सामान्य बास के सिद्धांत को समाप्त कर दिया और संगीत पाठ को पूरी तरह से स्थिर बना दिया (आई हेडन द्वारा सिम्फनी और चौकड़ी), एक तीव्र विपरीत एक वाद्य संगीत कार्यक्रम के रूप में "ताल" था - ए कलाप्रवीण एकल, जिसके भाग की रचना संगीतकार द्वारा नहीं की गई थी, बल्कि कलाकार के विवेक पर छोड़ दी गई थी (तत्व ए. रूप)। हेडन और मोजार्ट के समय में पासा बजाने पर संगीत के टुकड़ों (वुर्फ़ेलस्पिल) को मिलाकर सरल टुकड़ों (मिनट) की रचना करने की विनोदी "एलिटोरिक" विधियाँ ज्ञात हैं (आईएफ किर्नबर्गर द्वारा लिखित ग्रंथ "किसी भी समय पोलोनेस का एक तैयार संगीतकार और मिनट्स।" बर्लिन, 1757)।

20 वीं सदी में प्रपत्र में "व्यक्तिगत परियोजना" के सिद्धांत ने काम के पाठ्य संस्करणों (यानी ए) की स्वीकार्यता का सुझाव देना शुरू किया। 1907 में अमेरिकी संगीतकार चार्ल्स इवेस ने पियानो पंचक "हॉलवे"एन (= "ऑल हैलोज़ ईव") की रचना की, जिसका पाठ, जब एक संगीत कार्यक्रम में प्रस्तुत किया जाता है, तो लगातार चार बार अलग-अलग तरीके से बजाया जाना चाहिए। डी। पिंजरा 1951 में रचित पियानो के लिए "परिवर्तन का संगीत", जिसके पाठ की रचना उन्होंने "दुर्घटनाओं में हेरफेर" (संगीतकार के शब्द) द्वारा की, इसके लिए चीनी "परिवर्तन की पुस्तक" का उपयोग किया। क्लासिक

ए का शास्त्रीय उदाहरण के द्वारा "पियानो पीस XI" है। स्टॉकहाउज़ेन, 1957. कागज की एक शीट पर लगभग। 0.5 वर्ग मीटर में 19 संगीत टुकड़े यादृच्छिक क्रम में स्थित हैं। पियानोवादक उनमें से किसी एक से शुरुआत करता है और एक नज़र डालकर उन्हें किसी भी क्रम में बजाता है; पिछले अनुच्छेद के अंत में यह लिखा होता है कि अगला अंश किस गति से और किस मात्रा में बजाना है। जब पियानोवादक सोचता है कि उसने पहले ही सभी टुकड़ों को इस तरह से बजाया है, तो उन्हें उसी यादृच्छिक क्रम में दूसरी बार फिर से बजाया जाना चाहिए, लेकिन एक उज्ज्वल ध्वनि के साथ। दूसरे राउंड के बाद खेल ख़त्म हो जाता है. अधिक प्रभाव के लिए, एक संगीत कार्यक्रम में भाषण संबंधी कार्य को दोहराने की सिफारिश की जाती है - श्रोता को उसी सामग्री से एक और रचना प्रस्तुत की जाएगी। विधि ए का आधुनिक संगीतकारों द्वारा व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है (बौलेज़, स्टॉकहाउज़ेन,लुटोस्लावस्की, ए. वोल्कोन्स्की, डेनिसोव, Schnittkeऔर आदि।)।

20वीं सदी में ए के लिए पूर्व शर्त। नए कानून सामने आए सद्भावऔर संगीत सामग्री की नई स्थिति और विशेषता के अनुरूप नए रूपों की खोज करने की परिणामी प्रवृत्ति अवंत-गार्डे।मुक्ति से पहले एलिएटोरिक बनावट पूरी तरह से अकल्पनीय थी असंगति,एटोनल संगीत का विकास (देखें: डोडेकैफोनी)।"सीमित और नियंत्रित" ए. लुटोस्लावस्की के समर्थक इसमें निस्संदेह मूल्य देखते हैं: "ए।" मेरे लिए नए और अप्रत्याशित दृष्टिकोण खुले। सबसे पहले, लय की एक विशाल संपदा है, जो अन्य तकनीकों की मदद से अप्राप्य है। डेनिसोव, "संगीत में यादृच्छिक तत्वों की शुरूआत" को उचित ठहराते हुए दावा करते हैं कि यह "हमें संगीत सामग्री के साथ काम करने में अधिक स्वतंत्रता देता है और हमें नए ध्वनि प्रभाव प्राप्त करने की अनुमति देता है"<...>, लेकिन गतिशीलता के विचार तभी अच्छे परिणाम दे सकते हैं यदि<... >, यदि गतिशीलता में छिपी विनाशकारी प्रवृत्तियाँ कला के किसी भी रूप के अस्तित्व के लिए आवश्यक रचनात्मकता को नष्ट नहीं करती हैं।

संगीत के कुछ अन्य तरीके और रूप ए के साथ ओवरलैप होते हैं। सबसे पहले ये: 1. कामचलाऊ व्यवस्था -खेल के दौरान रचित किसी कार्य का प्रदर्शन; 2. ग्राफ़िक संगीत,जिसे कलाकार अपने सामने रखे चित्र की दृश्य छवियों के अनुसार सुधारता है (उदाहरण के लिए, आई. ब्राउन, फोलियो", 1952), उन्हें ध्वनि छवियों में अनुवादित करता है, या संगीतकार द्वारा टुकड़ों से बनाए गए संगीतमय एलिएटोरिक ग्राफिक्स के अनुसार कागज की एक शीट पर संगीतमय पाठ (एस. बुसोटी, "पैशन फॉर द गार्डन", 1966); 3. हो रहा- तात्कालिक (इस अर्थ में भाषण संबंधी) क्रिया (पदोन्नति)एक मनमाना (अर्ध-) कथानक के साथ संगीत की भागीदारी के साथ (उदाहरण के लिए, 1970/71 सीज़न में "मैड्रिगल" कलाकारों की टुकड़ी द्वारा ए. वोल्कोन्स्की "रेप्लिका" की घटना); 4. संगीत के खुले रूप - अर्थात्, जिनका पाठ स्थिर रूप से स्थिर नहीं होता, बल्कि प्रदर्शन की प्रक्रिया में हमेशा प्राप्त होता है। ये रचना के प्रकार हैं जो मौलिक रूप से बंद नहीं हैं और अंतहीन निरंतरता की अनुमति देते हैं (उदाहरण के लिए, प्रत्येक नए प्रदर्शन के साथ), अंग्रेजी। कार्य प्रगति पर है। पी. बौलेज़ के लिए, एक प्रोत्साहन जिसने उन्हें एक खुले रूप में बदल दिया, वह जे का काम था। जॉइस("यूलिसिस") और एस. मल्लार्मे ("ले लिवर")। एक खुली रचना का एक उदाहरण 98 उपकरणों और दो कंडक्टरों (1962) के लिए अर्ल ब्राउन का "उपलब्ध फॉर्म II" है। ब्राउन स्वयं दृश्य कला में "मोबाइल" के साथ अपने खुले रूप के संबंध की ओर इशारा करते हैं (देखें: काइनेटिक कला),विशेष रूप से ए. काल्डर द्वारा (4 ड्रमर और काल्डर मोबाइल के लिए "काल्डर पीस", 1965)। अंत में, "गेसमटकुंस्ट" क्रिया ध्वनि संबंधी सिद्धांतों से व्याप्त है (देखें: गेसमटकुंस्टवेर्क)। 5. मल्टीमीडिया, जिसकी विशिष्टता सिंक्रोनाइज़ेशन है अधिष्ठापनकई कलाएँ (उदाहरण के लिए: एक संगीत कार्यक्रम + चित्रकला और मूर्तिकला की एक प्रदर्शनी + कला के किसी भी संयोजन में कविता की एक शाम, आदि)। इस प्रकार, कला का सार पारंपरिक रूप से स्थापित कलात्मक क्रम और अप्रत्याशितता, मौका के ताज़ा एंजाइम का सामंजस्य है - एक प्रवृत्ति विशेषता 20वीं सदी की कलात्मक संस्कृति।सामान्य तौर पर और गैर-शास्त्रीय सौंदर्यशास्त्र.

लिट.: डेनिसोव ई.वी.संगीत रूप के स्थिर और गतिशील तत्व और उनकी अंतःक्रिया // संगीत रूपों और शैलियों की सैद्धांतिक समस्याएं। एम., 1971; कोहुटेक सी. 20वीं सदी के संगीत में रचना तकनीक। एम., 1976; लुटोस्लावस्की वी.लेख, हो-

सफ़ेद बाल, यादें. एम., 1995; बौलेज़पी. एलिया // डार्मस्टैडर बीट्रेज ज़ूर न्यूएन म्यूसिक। एल, मेन्ज़, 1958; बौलेज़ आर.ज़ू माइनर III सोनाटे // इबिड, III। 1960; शेफ़र बी.नोवा मुज्यका (1958)। क्राको, 1969; शेफ़र बी.माली मुखबिर मुज़की XX विकु (1958)। क्राको, 1975; स्टॉकहाउज़ेन के.म्यूसिक अंड ग्राफ़िक (1960) // टेक्स्टे, बी.डी.एल., कोलन, 1963; बॉहमर के. थ्योरी डेर ऑफेंन फॉर्म इन डेर म्यूसिक। डार्मस्टेड, 1967.

यादृच्छिकता के तीन नियम क्या हैं और अप्रत्याशितता हमें सबसे विश्वसनीय भविष्यवाणियाँ करने का अवसर क्यों देती है।

हमारा दिमाग अपनी पूरी ताकत से अवसर के विचार का विरोध करता है। एक प्रजाति के रूप में हमारे विकास के दौरान, हमने हर चीज़ में कारण-और-प्रभाव संबंधों को देखने की क्षमता विकसित की है। विज्ञान के आगमन से बहुत पहले, हम पहले से ही जानते थे कि लाल-लाल सूर्यास्त एक खतरनाक तूफान का पूर्वाभास देता है, और एक बच्चे के चेहरे पर बुखार जैसी लाली का मतलब है कि उसकी माँ के लिए एक कठिन रात होगी। हमारा दिमाग स्वचालित रूप से प्राप्त डेटा को इस तरह से संरचित करने का प्रयास करता है कि यह हमें अपने अवलोकनों से निष्कर्ष निकालने में मदद करता है और घटनाओं को समझने और भविष्यवाणी करने के लिए इन निष्कर्षों का उपयोग करता है।

यादृच्छिकता के विचार को स्वीकार करना बहुत कठिन है क्योंकि यह उस मूल प्रवृत्ति का खंडन करता है जो हमें अपने आस-पास की दुनिया में तर्कसंगत पैटर्न खोजने के लिए मजबूर करती है। और दुर्घटनाएँ हमें दिखाती हैं कि ऐसे पैटर्न मौजूद नहीं हैं। इसका मतलब यह है कि यादृच्छिकता मूल रूप से हमारे अंतर्ज्ञान को सीमित करती है, क्योंकि यह साबित करती है कि ऐसी प्रक्रियाएं हैं जिनके पाठ्यक्रम की हम पूरी तरह से भविष्यवाणी नहीं कर सकते हैं। इस अवधारणा को स्वीकार करना आसान नहीं है, भले ही यह ब्रह्मांड के तंत्र का एक अनिवार्य हिस्सा है। यह समझे बिना कि यादृच्छिकता क्या है, हम खुद को एक पूरी तरह से पूर्वानुमानित दुनिया में एक मृत अंत में पाते हैं जो हमारी कल्पना के बाहर मौजूद ही नहीं है।

मैं कहूंगा कि केवल जब हम तीन सूत्रों - संयोग के तीन नियमों - में महारत हासिल कर लेते हैं, तो क्या हम खुद को पूर्वानुमेयता की अपनी आदिम इच्छा से मुक्त कर सकते हैं और ब्रह्मांड को वैसे ही स्वीकार कर सकते हैं जैसा वह है, न कि जैसा हम चाहते हैं।

यादृच्छिकता मौजूद है

हम मौके का सामना करने से बचने के लिए किसी भी मानसिक तंत्र का उपयोग करते हैं। हम कर्म के बारे में बात कर रहे हैं, यह ब्रह्मांडीय तुल्यकारक जो स्पष्ट रूप से असंबद्ध चीजों को जोड़ता है। हम अच्छे और बुरे संकेतों में विश्वास करते हैं, इस तथ्य में कि "भगवान त्रिमूर्ति से प्यार करते हैं", हम दावा करते हैं कि हम सितारों के स्थान, चंद्रमा के चरणों और ग्रहों की गति से प्रभावित होते हैं। यदि हमें कैंसर का पता चलता है, तो हम स्वतः ही इसका दोष किसी चीज़ (या किसी व्यक्ति) पर मढ़ने का प्रयास करते हैं।

लेकिन कई घटनाओं की पूरी तरह से भविष्यवाणी या व्याख्या नहीं की जा सकती। आपदाएँ अप्रत्याशित रूप से घटित होती हैं, और अच्छे और बुरे दोनों तरह के लोग पीड़ित होते हैं, जिनमें वे लोग भी शामिल हैं जो "एक भाग्यशाली सितारे के तहत" या "एक अनुकूल संकेत के तहत" पैदा हुए थे। कभी-कभी हम किसी चीज़ की भविष्यवाणी करने में सफल हो जाते हैं, लेकिन संयोग सबसे विश्वसनीय भविष्यवाणियों को भी आसानी से अस्वीकार कर सकता है। यदि आपका मोटापे से ग्रस्त चेन-धूम्रपान करने वाला बाइकर पड़ोसी आपसे अधिक समय तक जीवित रहता है तो आश्चर्यचकित न हों।

इसके अलावा, यादृच्छिक घटनाएँ गैर-यादृच्छिक होने का दिखावा कर सकती हैं। यहां तक ​​कि सबसे चतुर वैज्ञानिक को भी वास्तविक प्रभाव और यादृच्छिक उतार-चढ़ाव के बीच अंतर करने में कठिनाई हो सकती है। संभावना प्लेसबो को जादुई इलाज में और हानिरहित यौगिकों को घातक जहर में बदल सकती है; और शून्य से भी उपपरमाण्विक कण बना सकता है।

कुछ घटनाओं की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती

यदि आप लास वेगास के किसी कैसीनो में जाते हैं और गेमिंग टेबल पर खिलाड़ियों की भीड़ देखते हैं, तो आप शायद किसी ऐसे व्यक्ति को देखेंगे जो सोचता है कि वह आज भाग्यशाली है। वह लगातार कई बार जीत चुका है, और उसका मस्तिष्क उसे आश्वासन देता है कि वह जीतता रहेगा, इसलिए जुआरी दांव लगाना जारी रखता है। आप किसी ऐसे व्यक्ति को भी देखेंगे जो अभी-अभी खोया है। हारने वाले का दिमाग भी जीतने वाले के दिमाग की तरह उसे खेल जारी रखने की सलाह देता है: चूँकि आप लगातार कई बार हार चुके हैं, इसका मतलब है कि अब शायद आप भाग्यशाली होने लगेंगे। अभी छोड़ना और यह मौका गँवाना मूर्खता होगी।

लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हमारा मस्तिष्क हमें क्या बताता है, ऐसी कोई रहस्यमय शक्ति नहीं है जो हमें "भाग्यशाली लकीर" प्रदान कर सके, न ही कोई सार्वभौमिक न्याय है जो यह सुनिश्चित करेगा कि हारने वाला अंततः जीतना शुरू कर दे। ब्रह्माण्ड को इसकी परवाह नहीं है कि आप जीतें या हारें; उसके लिए, सभी पासा रोल समान हैं।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप पासा पलटते हुए दोबारा देखने में कितना प्रयास करते हैं, और चाहे आप उन खिलाड़ियों को कितना भी करीब से देखें जो सोचते हैं कि वे भाग्यशाली हो गए हैं, आपको अगले पासा पलटने के बारे में बिल्कुल कोई जानकारी नहीं मिलेगी। प्रत्येक थ्रो का परिणाम पिछले थ्रो के इतिहास से पूरी तरह से स्वतंत्र है। इसलिए, कोई भी उम्मीद कि कोई खेल देखकर लाभ प्राप्त कर सकता है, विफलता के लिए अभिशप्त है। ऐसी घटनाएँ - किसी भी चीज़ से स्वतंत्र और पूरी तरह से यादृच्छिक - पैटर्न खोजने के किसी भी प्रयास को अस्वीकार करती हैं, क्योंकि ये पैटर्न मौजूद ही नहीं हैं।

यादृच्छिकता मानवीय सरलता में बाधा उत्पन्न करती है क्योंकि यह दर्शाता है कि हमारे सभी तर्क, हमारे सभी विज्ञान और तर्क ब्रह्मांड के व्यवहार की पूरी तरह से भविष्यवाणी नहीं कर सकते हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन सी विधियाँ उपयोग करते हैं, कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन सा सिद्धांत ईजाद करते हैं, कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप पासा पलटने के परिणामों की भविष्यवाणी करने के लिए कौन सा तर्क लागू करते हैं, आप छह में से पाँच बार हारेंगे। हमेशा।

यादृच्छिक घटनाओं का एक जटिल पूर्वानुमान लगाया जा सकता है, भले ही व्यक्तिगत घटनाएं पूर्वानुमानित न हों

यादृच्छिकता भयावह है, यह सबसे परिष्कृत सिद्धांतों की विश्वसनीयता को भी सीमित कर देती है और प्रकृति के कुछ तत्वों को हमसे छिपा देती है, चाहे हम कितनी भी लगातार उनके सार में घुसने की कोशिश करें। फिर भी, यह तर्क नहीं दिया जा सकता कि यादृच्छिक अज्ञात का पर्याय है। यह बिल्कुल भी सच नहीं है।

यादृच्छिकता अपने स्वयं के नियमों का पालन करती है, और ये नियम यादृच्छिक प्रक्रिया को समझने योग्य और पूर्वानुमान योग्य बनाते हैं।

बड़ी संख्या के नियम में कहा गया है कि हालांकि एकल यादृच्छिक घटनाएं पूरी तरह से अप्रत्याशित हैं, इन घटनाओं का एक बड़ा पर्याप्त नमूना काफी अनुमानित हो सकता है - और नमूना जितना बड़ा होगा, भविष्यवाणी उतनी ही सटीक होगी। एक अन्य शक्तिशाली गणितीय उपकरण, केंद्रीय सीमा प्रमेय, यह भी दर्शाता है कि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में यादृच्छिक चर के योग का वितरण सामान्य के करीब होगा। इन उपकरणों के साथ, हम लंबी अवधि में घटनाओं की काफी सटीक भविष्यवाणी कर सकते हैं, चाहे वे अल्पावधि में कितनी भी अराजक, अजीब और यादृच्छिक क्यों न हों।

संयोग के नियम इतने शक्तिशाली हैं कि वे भौतिकी के सबसे अपरिवर्तनीय और अपरिवर्तनीय नियमों का आधार बनते हैं। यद्यपि गैस के एक कंटेनर में परमाणु बेतरतीब ढंग से चलते हैं, उनके समग्र व्यवहार को समीकरणों के एक सरल सेट द्वारा वर्णित किया गया है। यहां तक ​​कि थर्मोडायनामिक्स के नियम भी मानते हैं कि बड़ी संख्या में यादृच्छिक घटनाएं पूर्वानुमानित होती हैं; ये कानून निश्चित रूप से अटल हैं क्योंकि मौका इतना निरपेक्ष है।

यह विडंबना है कि यह यादृच्छिक घटनाओं की अप्रत्याशितता है जो हमें अपनी सबसे विश्वसनीय भविष्यवाणियां करने का अवसर देती है।