Ln x 1 vad är x lika med. Naturlig logaritm

Logaritmen för ett tal b till bas a är exponenten till vilken talet a måste höjas för att få talet b.

Om då.

Logaritm - extrem viktig matematisk storhet, eftersom logaritmisk kalkyl inte bara tillåter att lösa exponentiella ekvationer, utan också att arbeta med exponenter, differentiera exponential- och logaritmiska funktioner, integrera dem och leda dem till en mer acceptabel form för att beräknas.

I kontakt med

Alla egenskaper hos logaritmer är direkt relaterade till egenskaperna hos exponentialfunktioner. Till exempel det faktum att betyder att:

Det bör noteras att när man löser specifika problem kan egenskaperna hos logaritmer visa sig vara viktigare och mer användbara än reglerna för att arbeta med potenser.

Låt oss presentera några identiteter:

Här är de grundläggande algebraiska uttrycken:

;

Uppmärksamhet! kan endast existera för x>0, x≠1, y>0.

Låt oss försöka förstå frågan om vad naturliga logaritmer är. Särskilt intresse för matematik representerar två typer- den första har talet "10" som bas och kallas "decimallogaritmen". Den andra kallas naturlig. Basen för den naturliga logaritmen är talet "e". Detta är vad vi kommer att prata om i detalj i den här artikeln.

Beteckningar:

lg x - decimal;
ln x - naturligt.

Med hjälp av identiteten kan vi se att ln e = 1, liksom det faktum att lg 10=1.

Naturlig logaritmgraf

Låt oss konstruera en graf över den naturliga logaritmen med den klassiska standardmetoden punkt för punkt. Om du vill kan du kontrollera om vi konstruerar funktionen korrekt genom att granska funktionen. Men det är vettigt att lära sig hur man bygger det "manuellt" för att veta hur man korrekt beräknar logaritmen.

Funktion: y = ln x. Låt oss skriva ner en tabell med punkter som grafen kommer att passera genom:

Låt oss förklara varför vi valde just dessa värden av argumentet x. Allt handlar om identitet: . För den naturliga logaritmen kommer denna identitet att se ut så här:

För enkelhetens skull kan vi ta fem referenspunkter:

;

Att beräkna naturliga logaritmer är alltså en ganska enkel uppgift; dessutom förenklar det beräkningar av operationer med potenser och förvandlar dem till vanlig multiplikation.

Genom att rita en graf punkt för punkt får vi en ungefärlig graf:

Definitionsdomänen för den naturliga logaritmen (dvs alla giltiga värden för argumentet X) är alla tal större än noll.

Uppmärksamhet! Definitionsdomänen för den naturliga logaritmen inkluderar endast positiva tal! Definitionsomfånget inkluderar inte x=0. Detta är omöjligt baserat på förutsättningarna för existensen av logaritmen.

Värdeintervallet (dvs alla giltiga värden för funktionen y = ln x) är alla tal i intervallet.

Naturlig stockgräns

När man studerar grafen uppstår frågan - hur beter sig funktionen vid y<0.

Uppenbarligen tenderar grafen för funktionen att korsa y-axeln, men kommer inte att kunna göra detta, eftersom den naturliga logaritmen för x<0 не существует.

Gräns för naturliga logga kan skrivas så här:

Formel för att ersätta basen i en logaritm

Att hantera en naturlig logaritm är mycket lättare än att hantera en logaritm som har en godtycklig bas. Det är därför vi kommer att försöka lära oss hur man reducerar valfri logaritm till en naturlig, eller uttrycker den till en godtycklig bas genom naturliga logaritmer.

Låt oss börja med den logaritmiska identiteten:

Då kan vilket tal eller variabel y som helst representeras som:

där x är valfritt tal (positivt enligt logaritmens egenskaper).

Detta uttryck kan tas logaritmiskt på båda sidor. Låt oss göra detta med hjälp av en godtycklig bas z:

Låt oss använda egenskapen (endast istället för "c" har vi uttrycket):

Härifrån får vi den universella formeln:

I synnerhet, om z=e, då:

Vi kunde representera en logaritm till en godtycklig bas genom förhållandet mellan två naturliga logaritmer.

Vi löser problem

För att bättre förstå naturliga logaritmer, låt oss titta på exempel på flera problem.

Problem 1. Det är nödvändigt att lösa ekvationen ln x = 3.

Lösning: Med hjälp av definitionen av logaritmen: om , då , får vi:

Problem 2. Lös ekvationen (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Lösning: Med hjälp av definitionen av logaritmen: om , då , får vi:

Låt oss använda definitionen av en logaritm igen:

Således:

Du kan ungefär beräkna svaret, eller så kan du lämna det i det här formuläret.

Uppgift 3. Lös ekvationen.

Lösning: Låt oss göra en substitution: t = ln x. Då kommer ekvationen att ha följande form:

Vi har en andragradsekvation. Låt oss hitta dess diskriminerande:

I statistik och sannolikhetsteori finns logaritmiska storheter väldigt ofta. Detta är inte förvånande, eftersom siffran e ofta återspeglar tillväxthastigheten för exponentiella kvantiteter.

Inom datavetenskap, programmering och datorteori påträffas logaritmer ganska ofta, till exempel för att lagra N bitar i minnet.

I teorierna om fraktaler och dimensioner används logaritmer ständigt, eftersom dimensionerna för fraktaler endast bestäms med deras hjälp.

I mekanik och fysik Det finns inget avsnitt där logaritmer inte användes. Barometrisk fördelning, alla principer för statistisk termodynamik, Tsiolkovsky-ekvationen etc. är processer som kan beskrivas matematiskt endast med hjälp av logaritmer.

Inom kemi används logaritmer i Nernst-ekvationer och beskrivningar av redoxprocesser.

Otroligt nog, även i musik, för att ta reda på antalet delar av en oktav, används logaritmer.

Naturlig logaritm Funktion y=ln x dess egenskaper

Bevis på den naturliga logaritmens huvudsakliga egenskap

Logaritmen för ett positivt tal b till basen a (a>0, a är inte lika med 1) är ett tal c så att a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Observera att logaritmen för ett icke-positivt tal är odefinierad. Dessutom måste basen för logaritmen vara ett positivt tal som inte är lika med 1. Till exempel, om vi kvadrat -2 får vi talet 4, men det betyder inte att logaritmen till basen -2 av 4 är lika med 2.

Grundläggande logaritmisk identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Det är viktigt att definitionen av höger och vänster sida av denna formel är olika. Den vänstra sidan definieras endast för b>0, a>0 och a ≠ 1. Den högra sidan är definierad för vilket b som helst och är inte alls beroende av a. Således kan tillämpningen av den grundläggande logaritmiska "identiteten" vid lösning av ekvationer och ojämlikheter leda till en förändring i OD.

Två uppenbara konsekvenser av definitionen av logaritm

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Faktum är att när vi höjer siffran a till den första potensen får vi samma tal, och när vi höjer den till nollpotensen får vi en.

Logaritm för produkten och logaritm för kvoten

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Jag skulle vilja varna skolbarn för att tanklöst använda dessa formler när de löser logaritmiska ekvationer och ojämlikheter. När du använder dem "från vänster till höger" minskar ODZ, och när du flyttar från summan eller skillnaden av logaritmer till logaritmen för produkten eller kvoten, expanderar ODZ.

Faktum är att uttrycket log a (f (x) g (x)) definieras i två fall: när båda funktionerna är strikt positiva eller när f(x) och g(x) båda är mindre än noll.

Genom att omvandla detta uttryck till summan log a f (x) + log a g (x), tvingas vi begränsa oss endast till fallet när f(x)>0 och g(x)>0. Det finns en inskränkning av intervallet för acceptabla värden, och detta är kategoriskt oacceptabelt, eftersom det kan leda till förlust av lösningar. Ett liknande problem finns för formel (6).

Graden kan tas ur logaritmens tecken

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Och återigen skulle jag vilja efterlysa noggrannhet. Tänk på följande exempel:

Logga a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Den vänstra sidan av likheten är uppenbarligen definierad för alla värden på f(x) utom noll. Den högra sidan är endast för f(x)>0! Genom att ta bort graden ur logaritmen, minskar vi återigen ODZ. Det omvända förfarandet leder till en utvidgning av intervallet för acceptabla värden. Alla dessa anmärkningar gäller inte bara för effekt 2, utan även för alla jämn effekt.

Formel för att flytta till en ny stiftelse

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Det sällsynta fallet när ODZ inte ändras under transformation. Om du har valt bas c på ett klokt sätt (positiv och inte lika med 1), är formeln för att flytta till en ny bas helt säker.

Om vi väljer talet b som den nya basen c, får vi ett viktigt specialfall av formel (8):

Logga a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Några enkla exempel med logaritmer

Exempel 1. Beräkna: log2 + log50.
Lösning. log2 + log50 = log100 = 2. Vi använde summan av logaritmformeln (5) och definitionen av decimallogaritmen.

Exempel 2. Beräkna: lg125/lg5.
Lösning. log125/log5 = log 5 125 = 3. Vi använde formeln för att flytta till en ny bas (8).

Tabell över formler relaterade till logaritmer

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Logaritm av ett givet tal kallas exponenten till vilken ett annat tal måste höjas, kallas grund logaritm för att få detta tal. Till exempel är basen 10-logaritmen av 100 2. Med andra ord måste 10 kvadreras för att få 100 (10 2 = 100). Om n– ett givet nummer, b– bas och l– logaritm alltså b l = n. siffra näven kallad basantilogaritm b tal l. Till exempel är antilogaritmen för 2 till bas 10 lika med 100. Detta kan skrivas i form av relationsloggen b n = l och antilog b l = n.

Grundläggande egenskaper hos logaritmer:

Vilket positivt tal som helst förutom ett kan fungera som bas för logaritmer, men tyvärr visar det sig att om b Och när rationella tal, då finns det i sällsynta fall ett sådant rationellt tal l, Vad b l = n. Det är dock möjligt att definiera ett irrationellt tal l till exempel så att 10 l= 2; detta är ett irrationellt tal l kan approximeras med vilken noggrannhet som helst med hjälp av rationella tal. Det visar sig att i det givna exemplet lär ungefär lika med 0,3010, och denna approximation av basen 10-logaritmen av 2 kan hittas i fyrsiffriga tabeller med decimallogaritmer. Bas 10 logaritmer (eller bas 10 logaritmer) används så ofta i beräkningar att de kallas vanlig logaritmer och skrivs som log2 = 0,3010 eller log2 = 0,3010, med utelämnande av den explicita indikationen av logaritmens bas. Logaritmer till basen e, ett transcendentalt tal ungefär lika med 2,71828, kallas naturlig logaritmer. De återfinns främst i verk om matematisk analys och dess tillämpningar på olika vetenskaper. Naturliga logaritmer skrivs också utan att uttryckligen ange basen, utan med den speciella notationen ln: till exempel, ln2 = 0,6931, eftersom e 0,6931 = 2.

Använda tabeller med vanliga logaritmer.

Den vanliga logaritmen för ett tal är en exponent till vilken 10 måste höjas för att få ett givet tal. Eftersom 10 0 = 1, 10 1 = 10 och 10 2 = 100 får vi omedelbart att log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, etc. för ökande heltalspotens 10. Likaså 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 och därför log0,1 = –1, log0,01 = –2 osv. för alla negativa heltalspotenser 10. De vanliga logaritmerna för de återstående talen är inneslutna mellan logaritmerna för de närmaste heltalspotenserna 10; log2 måste vara mellan 0 och 1, log20 måste vara mellan 1 och 2, och log0.2 måste vara mellan -1 och 0. Logaritmen består alltså av två delar, ett heltal och en decimal, inneslutna mellan 0 och 1. heltalsdel kallas karakteristisk logaritm och bestäms av själva talet kallas bråkdelen mantissa och kan hittas från tabeller. Dessutom, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logaritmen för 2 är 0,3010, så log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. På liknande sätt log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Efter subtraktion får vi log0.2 = – 0,6990. Det är dock bekvämare att representera log0.2 som 0,3010 – 1 eller som 9,3010 – 10; En allmän regel kan också formuleras: alla tal som erhålls från ett givet tal genom multiplikation med 10 potens har identiska mantissar lika med mantissan för det givna talet. De flesta tabeller visar mantissorna för tal i intervallet från 1 till 10, eftersom mantissorna för alla andra tal kan erhållas från de som anges i tabellen.

De flesta tabeller ger logaritmer med fyra eller fem decimaler, även om det finns sjusiffriga tabeller och tabeller med ännu fler decimaler. Det enklaste sättet att lära sig hur man använder sådana tabeller är med exempel. För att hitta log3.59 noterar vi först och främst att talet 3.59 är mellan 10 0 och 10 1, så dess karakteristika är 0. Vi hittar talet 35 (till vänster) i tabellen och flyttar längs raden till kolumn som har siffran 9 överst ; skärningspunkten mellan denna kolumn och rad 35 är 5551, så log3.59 = 0.5551. För att hitta mantissan för ett tal med fyra signifikanta siffror måste du använda interpolation. I vissa tabeller underlättas interpoleringen av proportionerna som anges i de sista nio kolumnerna till höger på varje sida i tabellerna. Låt oss nu hitta log736.4; talet 736.4 ligger mellan 10 2 och 10 3, därför är dess logaritm 2. I tabellen hittar vi en rad till vänster om vilken det finns 73 och kolumn 6. I skärningspunkten mellan denna rad och denna kolumn finns talet 8669. Bland de linjära delarna hittar vi kolumn 4 I skärningspunkten mellan rad 73 och kolumn 4 finns talet 2. Genom att addera 2 till 8669 får vi mantissan - den är lika med 8671. Således log736.4 = 2,8671.

Naturliga logaritmer.

Tabellerna och egenskaperna för naturliga logaritmer liknar tabellerna och egenskaperna för vanliga logaritmer. Huvudskillnaden mellan båda är att heltalsdelen av den naturliga logaritmen inte är signifikant för att bestämma positionen för decimalpunkten, och därför spelar skillnaden mellan mantissan och egenskapen ingen speciell roll. Naturliga logaritmer av tal 5,432; 54,32 och 543,2 är lika med 1,6923, respektive; 3,9949 och 6,2975. Sambandet mellan dessa logaritmer blir uppenbart om vi tar hänsyn till skillnaderna mellan dem: log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; det sista talet är inget annat än den naturliga logaritmen för talet 10 (skrivet så här: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; sista siffran är 2ln10. Men 543,2 = 10ґ54,32 = 10 2ґ5,432. Alltså genom den naturliga logaritmen för ett givet tal a du kan hitta de naturliga logaritmerna av tal lika med produkterna av talet a för vilken examen som helst n nummer 10 om till ln a lägg till ln10 multiplicerat med n, dvs. ln( aґ10n) = log a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Till exempel, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Därför innehåller tabeller med naturliga logaritmer, liksom tabeller för vanliga logaritmer, vanligtvis bara logaritmer av tal från 1 till 10. I systemet med naturliga logaritmer kan man tala om antilogaritmer, men oftare talar man om en exponentialfunktion eller en exponent. Om x= logg y, Den där y = e x, Och y kallas exponent för x(för typografisk bekvämlighet skriver de ofta y= exp x). Exponenten spelar rollen som talets antilogaritm x.

Med hjälp av tabeller med decimala och naturliga logaritmer kan du skapa tabeller med logaritmer i valfri bas än 10 och e. Om logg b a = x, Den där b x = a, och därför logga c b x=logg c a eller x logga c b=logg c a, eller x=logg c a/logga c b=logg b a. Använd därför denna inversionsformel från baslogaritmtabellen c du kan bygga tabeller med logaritmer i vilken annan bas som helst b. Multiplikator 1/log c b kallad övergångsmodul från basen c till basen b. Ingenting hindrar till exempel att använda inversionsformeln eller övergången från ett system av logaritmer till ett annat, hitta naturliga logaritmer från tabellen över vanliga logaritmer eller göra den omvända övergången. Till exempel log105.432 = log e 5,432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Talet 0,4343, med vilket den naturliga logaritmen för ett givet tal måste multipliceras för att få en vanlig logaritm, är modulen för övergången till systemet med vanliga logaritmer.

Specialbord.

Logaritmer uppfanns ursprungligen så att, med hjälp av deras egenskaper logga ab=logg a+ logg b och logga a/b=logg a– logga b, förvandla produkter till summor och kvoter till skillnader. Med andra ord, om log a och logga bär kända, då kan vi med hjälp av addition och subtraktion enkelt hitta logaritmen för produkten och kvoten. Inom astronomi, dock ofta givna värden på log a och logga b måste hitta logg( a + b) eller log( a – b). Naturligtvis kunde man först hitta från tabeller över logaritmer a Och b, utför sedan den angivna additionen eller subtraktionen och, återigen med hänvisning till tabellerna, hitta de nödvändiga logaritmerna, men en sådan procedur skulle kräva att du hänvisar till tabellerna tre gånger. Z. Leonelli publicerade 1802 tabeller över den s.k. Gaussiska logaritmer– logaritmer för att lägga till summor och skillnader – som gjorde det möjligt att begränsa sig till en åtkomst till tabeller.

År 1624 föreslog I. Kepler tabeller över proportionella logaritmer, d.v.s. logaritmer av tal a/x, Var a– något positivt konstant värde. Dessa tabeller används främst av astronomer och navigatörer.

Proportionella logaritmer kl a= 1 kallas med logaritmer och används i beräkningar när man ska hantera produkter och kvoter. Kologaritm av ett tal n lika med logaritmen för det reciproka talet; de där. colog n= log1/ n= – logg n. Om log2 = 0,3010, då är colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Fördelen med att använda kologaritmer är att när man beräknar värdet på logaritmen för uttryck som t.ex. pq/r trippelsumman av positiva decimaler log sid+ logg q+colog rär lättare att hitta än den blandade summa- och skillnadsloggen sid+ logg q– logga r.

Berättelse.

Principen som ligger till grund för alla logaritmer har varit känd under mycket lång tid och kan spåras tillbaka till forntida babylonisk matematik (cirka 2000 f.Kr.). På den tiden användes interpolering mellan tabellvärden av positiva heltalspotens för heltal för att beräkna sammansatt ränta. Långt senare använde Arkimedes (287–212 f.Kr.) potenserna 108 för att hitta en övre gräns för antalet sandkorn som krävs för att helt fylla det då kända universum. Arkimedes uppmärksammade egenskapen hos exponenter som ligger bakom logaritmers effektivitet: produkten av potenser motsvarar summan av exponenterna. I slutet av medeltiden och början av den moderna eran började matematiker alltmer vända sig till förhållandet mellan geometriska och aritmetiska progressioner. M. Stiefel i sin uppsats Heltalsaritmetik(1544) gav en tabell över positiva och negativa potenser för talet 2:

Stiefel märkte att summan av de två talen i den första raden (exponentraden) är lika med exponenten av två som motsvarar produkten av de två motsvarande talen i den nedre raden (exponentraden). I samband med denna tabell formulerade Stiefel fyra regler motsvarande de fyra moderna reglerna för operationer på exponenter eller de fyra reglerna för operationer på logaritmer: summan på den översta raden motsvarar produkten på den nedersta raden; subtraktion på den översta raden motsvarar division på den nedersta raden; multiplikation på den översta raden motsvarar exponentieringen på den nedersta raden; division på den översta raden motsvarar rotning på den nedersta raden.

Tydligen ledde regler liknande Stiefels regler till att J. Naper formellt introducerade det första logaritmsystemet i sitt arbete Beskrivning av den fantastiska tabellen med logaritmer, publicerad 1614. Men Napiers tankar var sysselsatta med problemet att omvandla produkter till summor ända sedan Napier, mer än tio år före publiceringen av hans verk, fick nyheter från Danmark att hans assistenter vid Tycho Brahe-observatoriet hade en metod som gjorde att det är möjligt att omvandla produkter till summor. Metoden som diskuterades i meddelandet Napier fick baserades på användningen av trigonometriska formler som

därför bestod Napers tabeller huvudsakligen av logaritmer av trigonometriska funktioner. Även om begreppet bas inte uttryckligen inkluderades i definitionen som föreslagits av Napier, spelades rollen som motsvarar basen för logaritmsystemet i hans system av talet (1 – 10 –7)ґ10 7, ungefär lika med 1/ e.

Oberoende av Naper och nästan samtidigt med honom, uppfanns ett system av logaritmer, ganska lika till sin typ, och publicerades av J. Bürgi i Prag, publicerat 1620 Aritmetiska och geometriska progressionstabeller. Dessa var tabeller med antilogaritmer till basen (1 + 10 –4) ґ10 4, en ganska bra approximation av antalet e.

I Naper-systemet antogs logaritmen för talet 10 7 vara noll, och när talen minskade ökade logaritmerna. När G. Briggs (1561–1631) besökte Napier var båda överens om att det skulle vara bekvämare att använda talet 10 som bas och betrakta logaritmen för ett som noll. Sedan, när siffrorna ökade, skulle deras logaritmer öka. På så sätt fick vi det moderna systemet med decimallogaritmer, vars tabell Briggs publicerade i sitt arbete Logaritmisk aritmetik(1620). Logaritmer till basen e, även om det inte precis de som introducerades av Naper, kallas ofta Naper's. Termerna "karakteristisk" och "mantissa" föreslogs av Briggs.

De första logaritmerna använde av historiska skäl approximationer till talen 1/ e Och e. Något senare började idén om naturliga logaritmer att förknippas med studiet av områden under en hyperbel xy= 1 (fig. 1). På 1600-talet det visades att området som begränsas av denna kurva, axeln x och ordinater x= 1 och x = a(i fig. 1 är detta område täckt med djärvare och glesare prickar) ökar i aritmetisk progression när aökar exponentiellt. Det är just detta beroende som uppstår i reglerna för operationer med exponenter och logaritmer. Detta gav upphov till att kalla Naperian-logaritmer för "hyperboliska logaritmer".

Logaritmisk funktion.

Det fanns en tid när logaritmer endast betraktades som ett beräkningsmedel, men på 1700-talet, främst tack vare Eulers arbete, bildades begreppet en logaritmisk funktion. Graf över en sådan funktion y= logg x, vars ordinater ökar i en aritmetisk progression, medan abskissorna ökar i en geometrisk progression, presenteras i fig. 2, A. Graf över en invers eller exponentiell funktion y = e x, vars ordinater ökar i geometrisk progression, och vars abskiss ökar i aritmetisk progression, presenteras respektive i fig. 2, b. (Kurvor y=logg x Och y = 10x liknar kurvor till formen y= logg x Och y = e x.) Alternativa definitioner av den logaritmiska funktionen har också föreslagits, t.ex.

kpi ; och på liknande sätt är de naturliga logaritmerna för talet -1 komplexa tal av formen (2 k + 1)pi, Var k– ett heltal. Liknande påståenden gäller för allmänna logaritmer eller andra logaritmer. Dessutom kan definitionen av logaritmer generaliseras med Eulers identiteter för att inkludera komplexa logaritmer av komplexa tal.

En alternativ definition av en logaritmisk funktion tillhandahålls av funktionsanalys. Om f(x) – kontinuerlig funktion av ett reellt tal x, med följande tre egenskaper: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), Den där f(x) definieras som logaritmen för talet x baserat på b. Denna definition har ett antal fördelar jämfört med definitionen i början av denna artikel.

Ansökningar.

Logaritmer användes ursprungligen enbart för att förenkla beräkningar, och denna applikation är fortfarande en av deras viktigaste. Beräkningen av produkter, kvoter, potenser och rötter underlättas inte bara av den breda tillgängligheten av publicerade tabeller över logaritmer, utan också genom användningen av sk. glidregel - ett beräkningsverktyg vars funktionsprincip är baserad på logaritmers egenskaper. Linjalen är utrustad med logaritmiska skalor, d.v.s. avstånd från nummer 1 till valfritt nummer x valt att vara lika med log x; Genom att förskjuta en skala i förhållande till en annan är det möjligt att plotta summor eller skillnader av logaritmer, vilket gör det möjligt att direkt från skalan läsa produkterna eller kvoterna av motsvarande tal. Du kan också dra nytta av fördelarna med att representera tal i logaritmisk form. logaritmiskt papper för att rita grafer (papper med logaritmiska skalor tryckta på båda koordinataxlarna). Om en funktion uppfyller en potenslag av formen y = kxn, då ser dess logaritmiska graf ut som en rak linje, eftersom logga y=logg k + n logga x– ekvation linjär med avseende på log y och logga x. Tvärtom, om den logaritmiska grafen för något funktionellt beroende ser ut som en rät linje, så är detta beroende en potens. Halvloggpapper (där y-axeln har en logaritmisk skala och x-axeln har en enhetlig skala) är användbart när du behöver identifiera exponentialfunktioner. Formens ekvationer y = kb rx inträffa närhelst en mängd, såsom en befolkning, en mängd radioaktivt material eller ett banksaldo, minskar eller ökar i en takt som är proportionell mot mängden befolkning, radioaktivt material eller pengar som för närvarande är tillgängliga. Om ett sådant beroende plottas på semilogaritmiskt papper kommer grafen att se ut som en rak linje.

Den logaritmiska funktionen uppstår i samband med en mängd olika naturliga former. Blommor i solrosblomställningar är ordnade i logaritmiska spiraler, blötdjursskal är vridna Nautilus, bergsfårhorn och papegojnäbbar. Alla dessa naturliga former kan fungera som exempel på en kurva som kallas en logaritmisk spiral eftersom dess ekvation i ett polärt koordinatsystem är r = ae bq, eller ln r= logg a + bq. En sådan kurva beskrivs av en rörlig punkt, vars avstånd från polen ökar i geometrisk progression, och vinkeln som beskrivs av dess radievektor ökar i aritmetisk progression. En sådan kurvas, och därmed den logaritmiska funktionens allestädes närvarande, illustreras väl av det faktum att den förekommer i så avlägsna och helt olika områden som konturen av en excentrisk kam och banan för några insekter som flyger mot ljuset.

Baserat på siffran e: ln x = log e x.

Den naturliga logaritmen används ofta i matematik eftersom dess derivata har den enklaste formen: (ln x)′ = 1/ x.

Baserad definitioner, basen för den naturliga logaritmen är talet e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf över funktionen y = ln x.

Graf över naturlig logaritm (funktioner y = ln x) erhålls från exponentialgrafen genom spegelreflektion relativt den räta linjen y = x.

Den naturliga logaritmen definieras för positiva värden av variabeln x. Den ökar monotont i sin definitionsdomän.

Vid x → 0 gränsen för den naturliga logaritmen är minus oändlighet (-∞).

Som x → + ∞ är gränsen för den naturliga logaritmen plus oändlighet (+ ∞). För stort x ökar logaritmen ganska långsamt. Varje potensfunktion x a med en positiv exponent a växer snabbare än logaritmen.

Egenskaper för den naturliga logaritmen

Definitionsdomän, värdeuppsättning, extrema, ökning, minskning

Den naturliga logaritmen är en monotont ökande funktion, så den har inga extrema. Huvudegenskaperna för den naturliga logaritmen presenteras i tabellen.

ln x värden

ln 1 = 0

Grundformler för naturliga logaritmer

Formler som följer av definitionen av den inversa funktionen:

Den huvudsakliga egenskapen hos logaritmer och dess konsekvenser

Formel för basersättning

Vilken logaritm som helst kan uttryckas i termer av naturliga logaritmer med bassubstitutionsformeln:

Bevis på dessa formler presenteras i avsnittet "Logaritm".

Omvänd funktion

Inversen av den naturliga logaritmen är exponenten.

Om då

Om då.

Derivat ln x

Derivata av den naturliga logaritmen:
.
Derivat av den naturliga logaritmen av modul x:
.
Derivata av n:e ordningen:
.
Härleda formler > > >

Väsentlig

Integralen beräknas genom integration av delar:
.
Så,

Uttryck som använder komplexa tal

Betrakta funktionen av den komplexa variabeln z:
.
Låt oss uttrycka den komplexa variabeln z via modul r och argument φ :
.
Med hjälp av logaritmens egenskaper har vi:
.
Eller
.
Argumentet φ är inte unikt definierat. Om du sätter
, där n är ett heltal,
det blir samma nummer för olika n.

Därför är den naturliga logaritmen, som funktion av en komplex variabel, inte en funktion med ett värde.

Power serie expansion

När utbyggnaden sker:

Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter, "Lan", 2009.

Naturlig logaritm

Graf över den naturliga logaritmfunktionen. Funktionen närmar sig långsamt positiv oändlighet när den ökar x och närmar sig snabbt negativ oändlighet när x tenderar till 0 ("långsam" och "snabb" jämfört med vilken effektfunktion som helst x).

Naturlig logaritmär logaritmen till basen , Var e- en irrationell konstant lika med ungefär 2,718281 828. Den naturliga logaritmen skrivs vanligtvis som ln( x), logg e (x) eller ibland bara logga( x), om basen e underförstådd.

Naturlig logaritm för ett tal x(skrivet som ln(x)) är exponenten till vilken talet måste höjas e, För att uppnå x. Till exempel, ln(7 389...)är lika med 2 eftersom e 2 =7,389... . Naturlig logaritm för själva talet e (ln(e)) är lika med 1 eftersom e 1 = e, och den naturliga logaritmen är 1 ( ln(1)) är lika med 0 eftersom e 0 = 1.

Den naturliga logaritmen kan definieras för vilket positivt reellt tal som helst a som området under kurvan y = 1/x från 1 till a. Enkelheten i denna definition, som är förenlig med många andra formler som använder den naturliga logaritmen, ledde till namnet "naturlig". Denna definition kan utökas till komplexa tal, som diskuteras nedan.

Om vi betraktar den naturliga logaritmen som en reell funktion av en reell variabel, så är det den inversa funktionen av exponentialfunktionen, som leder till identiteterna:

Liksom alla logaritmer, mappar den naturliga logaritmen multiplikation till addition:

Således är den logaritmiska funktionen en isomorfism av gruppen positiva reella tal med avseende på multiplikation med gruppen av reella tal med avseende på addition, som kan representeras som en funktion:

Logaritmen kan definieras för vilken positiv bas som helst förutom 1, inte bara e, men logaritmer för andra baser skiljer sig från den naturliga logaritmen endast med en konstant faktor, och definieras vanligtvis i termer av den naturliga logaritmen. Logaritmer är användbara för att lösa ekvationer som involverar okända som exponenter. Till exempel används logaritmer för att hitta sönderfallskonstanten för en känd halveringstid, eller för att hitta sönderfallstiden vid lösning av radioaktivitetsproblem. De spelar en viktig roll inom många områden inom matematik och tillämpad vetenskap, och används i finans för att lösa många problem, inklusive att hitta sammansatt ränta.

Berättelse

Det första omnämnandet av den naturliga logaritmen gjordes av Nicholas Mercator i hans arbete Logaritmoteknik, publicerad 1668, även om matematikläraren John Spidell sammanställde en tabell över naturliga logaritmer redan 1619. Den kallades tidigare hyperbolisk logaritm eftersom den motsvarar arean under hyperbeln. Det kallas ibland Napier-logaritmen, även om den ursprungliga betydelsen av denna term var något annorlunda.

Beteckningskonventioner

Den naturliga logaritmen betecknas vanligtvis med "ln( x)", logaritm till bas 10 - via "lg( x)", och andra orsaker anges vanligtvis explicit med symbolen "logg".

I många verk om diskret matematik, kybernetik och datavetenskap använder författare notationen "log( x)" för logaritmer till bas 2, men denna konvention är inte allmänt accepterad och kräver förtydligande antingen i listan över använda notationer eller (i avsaknad av en sådan lista) med en fotnot eller kommentar när den används första gången.

Parenteser kring logaritmerargumentet (om detta inte leder till en felaktig läsning av formeln) utelämnas vanligtvis, och när man höjer en logaritm till en potens tilldelas exponenten direkt logaritmens tecken: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

angloamerikanskt system

Matematiker, statistiker och vissa ingenjörer använder vanligtvis för att beteckna den naturliga logaritmen eller "log( x)" eller "ln( x)", och för att beteckna logaritmen med bas 10 - "log 10 ( x)».

Vissa ingenjörer, biologer och andra specialister skriver alltid "ln( x)" (eller ibland "logga e ( x)") när de betyder den naturliga logaritmen, och notationen "log( x)" de betyder log 10 ( x).

logga eär en "naturlig" logaritm eftersom den sker automatiskt och förekommer väldigt ofta i matematik. Tänk till exempel på problemet med derivatan av en logaritmisk funktion:

Om basen b lika e, då är derivatan helt enkelt 1/ x, och när x= 1 denna derivata är lika med 1. En annan anledning till att basen e Det mest naturliga med logaritmen är att den helt enkelt kan definieras i termer av en enkel integral eller Taylor-serie, vilket inte kan sägas om andra logaritmer.

Ytterligare motiveringar för naturlighet är inte relaterade till notation. Till exempel finns det flera enkla serier med naturliga logaritmer. Pietro Mengoli och Nicholas Mercator kallade dem logarithmus naturalis flera decennier tills Newton och Leibniz utvecklade differential- och integralkalkyl.

Definition

Formellt ln( a) kan definieras som arean under kurvan för grafen 1/ x från 1 till a, dvs som en integral:

Det är verkligen en logaritm eftersom den uppfyller logaritmens grundläggande egenskap:

Detta kan demonstreras genom att anta följande:

Numeriskt värde

För att beräkna det numeriska värdet av den naturliga logaritmen för ett tal, kan du använda dess Taylor-serieexpansion i formen:

För att få en bättre konvergenshastighet kan du använda följande identitet:

förutsatt att y = (x−1)/(x+1) och x > 0.

För ln( x), Var x> 1, ju närmare värdet x till 1, desto snabbare är konvergenshastigheten. Identiteterna associerade med logaritmen kan användas för att uppnå målet:

Dessa metoder användes redan före tillkomsten av miniräknare, för vilka numeriska tabeller användes och manipulationer liknande de som beskrivits ovan utfördes.

Hög precision

För att beräkna den naturliga logaritmen med ett stort antal precisionssiffror är Taylor-serien inte effektiv eftersom dess konvergens är långsam. Ett alternativ är att använda Newtons metod för att invertera till en exponentiell funktion vars serie konvergerar snabbare.

Ett alternativ för mycket hög beräkningsnoggrannhet är formeln:

Var M betecknar det aritmetiskt-geometriska medelvärdet av 1 och 4/s, och

m valt så att sid markeringar av noggrannhet uppnås. (I de flesta fall är ett värde på 8 för m tillräckligt.) Faktum är att om denna metod används kan Newtons invers av den naturliga logaritmen tillämpas för att effektivt beräkna exponentialfunktionen. (Konstanterna ln 2 och pi kan förberäknas till önskad noggrannhet med någon av de kända snabbt konvergerande serierna.)

Beräkningskomplexitet

Beräkningskomplexiteten för naturliga logaritmer (med det aritmetiskt-geometriska medelvärdet) är O( M(n)ln n). Här när antalet precisionssiffror för vilka den naturliga logaritmen måste utvärderas, och M(n) är beräkningskomplexiteten för att multiplicera två n-siffriga nummer.

Fortsättning bråk

Även om det inte finns några enkla fortsatta bråk som representerar en logaritm, kan flera generaliserade fortsatta bråk användas, inklusive:

Komplexa logaritmer

Exponentialfunktionen kan utökas till en funktion som ger ett komplext tal av formen e x för vilket godtyckligt komplext tal som helst x, i detta fall en oändlig serie med komplex x. Denna exponentialfunktion kan inverteras för att bilda en komplex logaritm, som kommer att ha de flesta egenskaperna hos vanliga logaritmer. Det finns dock två svårigheter: det finns ingen x, för vilka e x= 0, och det visar sig att e 2πi = 1 = e 0 . Eftersom multiplikativitetsegenskapen är giltig för en komplex exponentialfunktion, alltså e z = e z+2nπi för alla komplexa z och hel n.

Logaritmen kan inte definieras över hela det komplexa planet, och trots det är den flervärdig - vilken komplex logaritm som helst kan ersättas med en "ekvivalent" logaritm genom att lägga till valfri heltalsmultipel av 2 πi. Den komplexa logaritmen kan endast vara enkelvärderad på en del av det komplexa planet. Till exempel, ln i = 1/2 πi eller 5/2 πi eller −3/2 πi, etc., och även om i 4 = 1,4 log i kan definieras som 2 πi, eller 10 πi eller −6 πi, och så vidare.

se även

John Napier - uppfinnare av logaritmer

Anteckningar

Matematik för fysikalisk kemi. - 3:a. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Utdrag från sidan 9
JJ O"Connor och EF Robertson Siffran e. MacTutor History of Mathematics-arkivet (september 2001). Arkiverad från originalet den 12 februari 2012.
Cajori Florian A History of Mathematics, 5:e uppl. - AMS Bookstore, 1991. - S. 152. -