Tärningarnas historia. Hur man får tärningarna att rulla mer eller mindre slumpmässigt

Den vanligaste typen är formad som en kub, med siffror från ett till sex på varje sida. Spelaren, som kastar den på en plan yta, ser resultatet på den övre kanten. Bones är ett riktigt språkrör för slumpen, bra eller otur.

Olycka.
Kuber (ben) har funnits länge, men de fick den traditionella formen med sex sidor omkring 2600 f.Kr. e. De gamla grekerna älskade att spela tärning, och i deras legender nämns hjälten Palamedes, orättvist anklagad för förräderi av Odysseus, som deras uppfinnare. Enligt legenden uppfann han detta spel för att underhålla soldaterna som belägrade Troja, som tillfångatogs tack vare en enorm trähäst. Romarna under Julius Caesars tid underhöll sig också med en mängd olika tärningsspel. På latin kallades kuben datum, vilket betyder "given".

Förbud.
På medeltiden, runt 1100-talet, blev tärningar mycket populära i Europa: tärningar, som man kunde ta med sig överallt, var populära bland både soldater och bönder. Det sägs att det fanns över sexhundra olika spel! Tillverkningen av tärningar blir ett eget yrke. Kung Ludvig IX (1214-1270), som återvände från korståget, godkände inte spelande och beordrade förbud mot tillverkning av tärningar i hela riket. Mer än själva spelet var myndigheterna missnöjda med oroligheterna förknippade med det – då spelade man främst på krogar och lekar slutade ofta i slagsmål och knivhugg. Men inga förbud hindrade tärningar från att överleva tiden och överleva till denna dag.

Laddade tärningar!
Resultatet av ett tärningskast bestäms alltid av en slump, men vissa fuskare försöker ändra på detta. Genom att borra ett hål i en stans och hälla i bly eller kvicksilver kan du säkerställa att kasten ger samma resultat varje gång. En sådan kub kallas "laddat". Tillverkad av olika material, vare sig det är guld, sten, kristall, ben, tärningar kan ha olika former. Små pyramidformade tärningar (tetraeder) hittades i gravarna till de egyptiska faraonerna som byggde de stora pyramiderna! Vid olika tillfällen gjordes tärningar med 8, 10, 12, 20 och till och med 100 sidor. Vanligtvis är de markerade med siffror, men i deras ställe kan det också finnas bokstäver eller bilder, vilket ger utrymme för fantasi.

Hur man kastar tärningar.
Ben kommer inte bara i olika former, utan också olika sätt spel. Reglerna för vissa spel kräver att du rullar på ett visst sätt, vanligtvis för att undvika ett beräknat kast eller för att förhindra att tärningen kommer att vila i en lutande position. Ibland kommer de med ett speciellt glas för att undvika fusk eller ramla från spelbordet. I det engelska spelet crepe måste alla tre tärningarna träffa spelbordet eller väggen för att förhindra fuskare från att låtsas kasta genom att helt enkelt flytta tärningarna utan att rotera den.

Slumpmässighet och sannolikhet.
Tärningen ger alltid ett slumpmässigt resultat som inte går att förutsäga. Med en tärning har en spelare lika stor chans att slå en 1:a som en 6a - allt bestäms av slumpen. Med två tärningar, tvärtom, minskar nivån av slumpmässighet, eftersom spelaren har mer information om resultatet: till exempel med två tärningar kan siffran 7 erhållas på flera sätt - genom att kasta 1 och 6, 5 och 2 , eller 4 och 3... Men möjligheten att få siffran 2 är bara en: rulla 1 två gånger. Därmed är sannolikheten att få en 7:a högre än att få en 2! Detta kallas sannolikhetsteori. Många spel är förknippade med denna princip, speciellt spel för pengar.

Om användningen av tärningar.
Tärningar kan vara ett fristående spel, utan andra element. Det enda som praktiskt taget inte existerar är spel för en enda kub. Reglerna kräver minst två (till exempel crepe). För att spela tärningspoker behöver du ha fem tärningar, en penna och papper. Målet är att slutföra kombinationer som liknar de i kortspelet med samma namn, och registrera poängen för dem i en speciell tabell. Dessutom är kuben en mycket populär del för brädspel, så att du kan flytta pjäser eller bestämma resultatet av spelstrider.

Matrisen är gjuten.
År 49 f.Kr. e. den unge Julius Caesar erövrade Gallien och återvände till Pompeji. Men hans makt var en källa till oro för senatorerna, som beslutade att upplösa sin armé innan han återvände. Den framtida kejsaren, efter att ha anlänt till republikens gränser, bestämmer sig för att bryta mot ordern genom att korsa den med sin armé. Innan han korsade Rubicon (floden som var gränsen), sa han till sina legionärer "Alea jacta est" ("tärningen är gjuten"). Detta talesätt har blivit ett slagord, vars innebörd är att, som i spelet, efter några fattade beslut Det går inte längre att backa.

Fördelen med en online-tärningsgenerator framför vanliga tärningar är uppenbar - den kommer aldrig att gå vilse! Den virtuella kuben kommer att klara av sina funktioner mycket bättre än den riktiga - manipulation av resultaten är helt utesluten och du kan bara lita på Hans Majestäts chans. Dice online är bland annat bra underhållning på fritiden. Att generera ett resultat tar tre sekunder, vilket väcker spänningen och intresset hos spelarna. För att simulera tärningskast behöver du bara trycka på "1"-knappen på tangentbordet, vilket gör att du inte kan distraheras till exempel från ett spännande brädspel.

Antal kuber:

Vänligen hjälp tjänsten med ett klick: Berätta för dina vänner om generatorn!

När vi hör en sådan fras som "Tärningar", kommer vi omedelbart till föreningen av kasinon där de helt enkelt inte kan klara sig utan dem. Till att börja med, låt oss bara komma ihåg lite om vad detta föremål är.

Tärningar är kuber, på var sida av vilka siffrorna från 1 till 6 representeras av prickar. När vi kastar dem är vi alltid i hopp om att det nummer vi har tänkt oss och önskat kommer upp. Men det finns fall när kuben, som faller på kanten, inte visar numret. Det betyder att den som slutar så här kan välja vilken som helst.

Det händer också att kuben kan rulla under sängen eller garderoben, och när den tas bort därifrån ändras antalet därefter. I det här fallet rullas tärningen om så att alla tydligt kan se numret.

Online tärning med 1 klick

I ett spel som involverar vanliga tärningar är det väldigt lätt att fuska. För att få önskat antal måste du lägga den här sidan av kuben ovanpå och vrida den så att den förblir densamma (endast sidodelen roterar). Detta är inte en fullständig garanti, men vinstprocenten kommer att vara sjuttiofem procent.

Om du använder två tärningar minskar chansen till trettio, men det är fortfarande en ansenlig procent. På grund av fusk gillar många spelarkampanjer inte att använda tärningar.

Vår underbara tjänst arbetar just för att undvika sådana situationer. Det kommer att vara omöjligt att fuska med oss, eftersom onlinetärningskastet inte kan fejkas. Ett nummer från 1 till 6 kommer att dyka upp på sidan på ett helt slumpmässigt och okontrollerbart sätt.

Bekväm tärningsgenerator

En mycket stor fördel är att onlinetärningsgeneratorn inte kan gå vilse (särskilt eftersom den kan bokmärkas), och en vanlig liten tärning kan lätt gå vilse någonstans. En stor fördel kommer också att vara det faktum att manipulation av resultaten är helt utesluten. Generatorn har en funktion som låter dig välja mellan en till tre tärningar att slå samtidigt.

Onlinetärningsgeneratorn är en mycket intressant underhållning, ett av sätten att utveckla intuition. Använd vår tjänst och få omedelbara och pålitliga resultat.

4,8 av 5 (betyg: 116)

Skrivet av designern Tyler Sigman, på Gamasutra. Jag kallar det kärleksfullt artikeln "hår i orkens näsborrar", men den gör ett ganska bra jobb med att lägga ut grunderna för sannolikheter i spel.

Veckans ämne

Fram till nu har nästan allt vi pratat om varit deterministiskt, och förra veckan tittade vi närmare på transitiv mekanik och bröt ner det så mycket jag kan förklara. Men hittills har vi inte uppmärksammat en jättestor aspekt av många spel, nämligen de icke-deterministiska aspekterna, med andra ord - slumpmässighet. Att förstå karaktären av slumpmässighet är mycket viktigt för speldesigners eftersom vi skapar system som påverkar spelarens upplevelse i ett visst spel, så vi behöver veta hur dessa system fungerar. Om det finns slumpmässighet i systemet måste du förstå natur denna slumpmässighet och hur man ändrar den för att få de resultat vi behöver.

Tärningar

Låt oss börja med något enkelt: rullande tärningar. När de flesta människor tänker på tärningar, tänker de på en sexsidig tärning känd som en d6. Men de flesta spelare har sett många andra tärningar: fyrsidig (d4), oktagonal (d8), tolvsidig (d12), tjugosidig (d20) ... och om du verklig nörd, du kanske har 30-sidiga eller 100-sidiga tärningar någonstans. Om du inte är bekant med denna terminologi, står "d" för die, och siffran efter det är hur många sidor det har. Om innan"d" är ett tal, betyder det kvantitet tärningar när de kastas. Till exempel, i spelet Monopol rullar du 2d6.

Så, in I detta fall frasen "tärning" är en symbol. Det finns ett stort antal andra slumptalsgeneratorer som inte är formade som en plastklump utan utför samma funktion att generera ett slumptal från 1 till n. Ett vanligt mynt kan också ses som en dihedral tärning d2. Jag såg två mönster av sjusidiga tärningar: en av dem såg ut som en tärning och den andra såg mer ut som en sjusidig träpenna. Den tetraedriska dreideln (även känd som titotum) liknar det tetraedriska benet. Spelfältet med snurrande pil i spelet "Chutes & Ladders", där resultatet kan vara från 1 till 6, motsvarar en sexsidig tärning. En slumptalsgenerator i en dator kan skapa valfritt tal från 1 till 19 om designern anger ett sådant kommando, även om datorn inte har en 19-sidig tärning (i allmänhet kommer jag att prata mer om sannolikheten för att siffror visas på en dator in Nästa vecka). Även om alla dessa föremål ser olika ut, är de faktiskt desamma: du har lika stor chans att få ett av flera resultat.

Tärningar har några intressanta egenskaper som vi behöver veta om. För det första är sannolikheten att rulla båda sidorna densamma (jag antar att du slår en vanlig tärning, inte en med en oregelbunden geometrisk form). Så om du vill veta Genomsnittligt värde kasta (även känd bland dem som är intresserade av sannolikhetsämnet som "matematiskt förväntat värde"), addera värdena för alla sidor och dividera denna summa med kvantitet ansikten. Medelkastet för en vanlig sexsidig tärning är 1+2+3+4+5+6 = 21, dividerat med antalet sidor (6) och genomsnittet är 21/6 = 3,5. Detta är ett specialfall eftersom vi antar att alla utfall är lika sannolika.

Vad händer om du har speciella tärningar? Till exempel såg jag ett spel med hexagon tärningar med speciella klistermärken på sidorna: 1, 1, 1, 2, 2, 3, så den beter sig som en konstig tresidig tärning som är mer benägen att slå 1 än 2 och 2 än 3. Vad är det genomsnittliga kast för detta ben? Så, 1+1+1+2+2+3 = 10, dividerat med 6, är lika med 5/3 eller ungefär 1,66. Så om du har den här speciella tärningen och spelarna kastar tre tärningar och sedan lägger ihop resultaten, vet du att totalsumman för deras kast kommer att vara cirka 5, och du kan balansera spelet baserat på det antagandet.

Tärningar och självständighet

Som jag redan har sagt utgår vi från antagandet att varje sida är lika sannolikt att falla ut. Detta beror inte på hur många tärningar du slår. Varje tärningskast oavsett, betyder detta att tidigare rullningar inte påverkar resultatet av efterföljande. Med tillräckligt många tester kommer du definitivt att göra det lägga märke till en "serie" av siffror, som att rulla mestadels högre eller lägre siffror, eller andra funktioner, och vi ska prata om det senare, men det betyder inte att tärningarna är "heta" eller "kalla". Om du slår en vanlig sexsidig tärning och får siffran 6 två gånger i rad, är sannolikheten att nästa kast resulterar i en 6:a också 1/6. Sannolikheten ökar inte eftersom kuben "värms upp". Sannolikheten minskar inte eftersom siffran 6 redan har kommit upp två gånger i rad, vilket betyder att nu kommer en annan sida upp. (Självklart, om du slår en tärning tjugo gånger och får en 6a varje gång, är chansen att den tjugoförsta gången du slår en 6:a ganska hög... för det betyder förmodligen att du har fel tärning!) Men om du har rätt tärningar, varje sida har samma sannolikhet att falla ut, oavsett resultatet av andra kast. Du kan också föreställa dig att varje gång vi byter tärning, så om siffran 6 kastas två gånger i rad, ta bort den "heta" tärningen från spelet och ersätt den med en ny sexsidig tärning. Jag ber om ursäkt om någon av er redan visste om detta, men jag behövde reda ut det här innan jag gick vidare.

Hur man får tärningarna att rulla mer eller mindre slumpmässigt

Låt oss prata om hur man får olika resultat på olika tärningar. Oavsett om du slår en tärning bara en eller flera gånger kommer spelet att kännas mer slumpmässigt om tärningen har fler sidor. Ju fler gånger du slår en tärning, eller ju fler tärningar du slår, desto mer rör sig resultaten mot genomsnittet. Om du till exempel slår 1d6+4 (d.v.s. en vanlig sexsidig tärning en gång och lägger till 4 till resultatet) blir medelvärdet ett tal mellan 5 och 10. Om du slår 5d2 blir medelvärdet också ett tal mellan 5 och 10. Men när man kastar en sexsidig tärning är sannolikheten att få siffrorna 5, 8 eller 10 densamma. Resultatet av att rulla 5d2 blir främst siffrorna 7 och 8, mer sällan andra värden. Samma serie, till och med samma medelvärde (7,5 i båda fallen), men arten av slumpmässigheten är olika.

Vänta en minut. Sa jag inte bara att tärningar inte värms upp eller svalnar? Nu säger jag att om du slår många tärningar tenderar resultaten av kasten att vara närmare genomsnittet? Varför?

Låt mig förklara. Om du slutar ett tärningar, är sannolikheten att varje sida faller ut densamma. Det betyder att om du slår många tärningar kommer varje sida under en tidsperiod att dyka upp ungefär lika många gånger. Ju fler tärningar du slår, desto mer kommer det totala resultatet att närma sig genomsnittet. Detta beror inte på att numret som dras "tvingar" ett annat nummer att dras som ännu inte har dragits. Men eftersom en liten serie av att rulla ut siffran 6 (eller 20, eller ett annat nummer) kommer i slutändan inte att ha Av stor betydelse, om du slår tärningen tio tusen gånger till och siffrorna för det mesta kommer upp är genomsnittet... kanske du får några höga nummer nu, men kanske senare några låga nummer och med tiden kommer de närmare genomsnitt. Inte för att tidigare kast påverkar tärningarna (allvarligt, tärningar är gjorda av plast, hon har inte hjärnan att tänka, "Åh, det var ett tag sedan jag slog en 2a"), utan för att det är vad som brukar hända när man slår många tärningar. En liten serie av upprepade siffror kommer att vara nästan osynliga i ett stort antal resultat.

Att göra beräkningarna för ett slumpmässigt kast med en tärning är således ganska okomplicerat, åtminstone när det gäller att beräkna medelvärdet för kasten. Det finns också sätt att beräkna "hur slumpmässigt" något är, ett sätt att säga att resultatet av att rulla 1d6+4 blir "mer slumpmässigt" än 5d2, för 5d2 blir fördelningen av kast jämnare, vanligtvis för detta räknar man ut standardavvikelsen, och ju större värdet är, desto mer slumpmässigt blir resultaten, men detta kräver fler beräkningar än jag skulle vilja ge idag (jag kommer att förklara detta ämne senare). Det enda jag ber dig veta är att, som en allmän regel, ju färre tärningar som slås, desto större slumpmässighet. Ytterligare ett tillägg om detta ämne: ju fler sidor en tärning har, desto större slumpmässighet, eftersom du har fler alternativ.

Hur man beräknar sannolikhet med hjälp av räkning

Du kanske undrar: hur kan vi beräkna den exakta sannolikheten att få ett visst resultat? Detta är faktiskt ganska viktigt för många spel, för om du slår en tärning kommer det sannolikt att bli någon form av optimalt resultat initialt. Svaret är att vi måste räkna två värden. Räkna först det maximala antalet utfall när du kastar en tärning (oavsett vad resultatet blir). Räkna sedan antalet gynnsamma resultat. Att dividera det andra värdet med det första ger dig den önskade sannolikheten. För att få procentsatsen, multiplicera resultatet med 100.

Exempel:

Här är ett mycket enkelt exempel. Du vill att siffran 4 eller högre ska slå och kasta den sexsidiga tärningen en gång. Det maximala antalet utfall är 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Av dessa är 3 utfall (4, 5, 6) gynnsamma. Det betyder att för att beräkna sannolikheten dividerar vi 3 med 6 och får 0,5 eller 50%.

Här är ett lite mer komplicerat exempel. Du vill ha ett jämnt tal när du rullar 2d6. Det maximala antalet utfall är 36 (6 för varje tärning, och eftersom en tärning inte påverkar den andra, multiplicerar vi 6 resultat med 6 och får 36). Svårigheten med den här typen av frågor är att det är lätt att räkna två gånger. Till exempel finns det faktiskt två alternativ för en 3:a på ett kast med 2d6: 1+2 och 2+1. De ser likadana ut, men skillnaden är vilket nummer som visas på den första tärningen och vilket nummer som visas på den andra. Du kan också föreställa dig att tärningarna olika färger, så, till exempel, i det här fallet är en tärning röd, den andra är blå. Räkna sedan antalet alternativ för att rulla ett jämnt tal: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2) +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Det visar sig att det finns 18 alternativ för ett gynnsamt resultat av 36, som i föregående fall kommer sannolikheten att vara lika med 0,5 eller 50%. Kanske oväntat, men ganska exakt.

Monte Carlo-simulering

Vad händer om du har för många tärningar för den här beräkningen? Till exempel vill du veta vad sannolikheten är att få totalt 15 eller mer när du rullar 8d6. Det finns MÅNGA olika individuella resultat för åtta tärningar och att räkna dem för hand skulle ta väldigt lång tid. Även om vi hittar någon bra lösning för att gruppera olika serier av tärningskast, kommer det fortfarande att ta väldigt lång tid att räkna. I det här fallet är det enklaste sättet att beräkna sannolikheten inte att räkna manuellt, utan att använda en dator. Det finns två sätt att beräkna sannolikhet på en dator.

Den första metoden kan ge dig ett korrekt svar, men det innebär lite programmering eller skript. I huvudsak kommer datorn att titta på varje möjlighet, utvärdera och räkna det totala antalet iterationer och antalet iterationer som matchar det önskade resultatet, och sedan ge svaren. Din kod kan se ut ungefär så här:

int wincount=0, totalcount=0;

för (int i=1; i<=6; i++) {

för (int j=1; j<=6; j++) {

för (int k=1; k<=6; k++) {

... // infoga fler slingor här

if (i+j+k+… >= 15) (

flytsannolikhet = vinstantal/totalantal;

Om du inte kan så mycket om programmering och bara vill ha ett ungefärligt svar snarare än ett exakt svar kan du simulera denna situation i Excel, där du rullar 8d6 några tusen gånger och får svaret. För att rulla 1d6 i Excel, använd följande formel:

GOLV(RAND()*6)+1

Det finns ett namn för situationen när du inte vet svaret och bara försöker många gånger - Monte Carlo simulering, och det här är en bra lösning att falla tillbaka på när du försöker beräkna sannolikheten och det är för komplicerat. Det fantastiska är att i det här fallet behöver vi inte förstå hur matematiken fungerar, och vi vet att svaret kommer att vara "ganska bra" eftersom, som vi redan vet, ju fler kast, desto närmare blir resultatet kommer till genomsnittet.

Hur man kombinerar oberoende försök

Om du frågar om flera upprepade men oberoende försök, påverkar inte resultatet av ett kast resultatet av andra kast. Det finns en annan enklare förklaring till denna situation.

Hur skiljer man på något beroende och oberoende? I grund och botten, om du kan isolera varje kast av en tärning (eller serie av kast) som en separat händelse, så är det oberoende. Till exempel, om vi vill ha totalt 15 när vi kastar 8d6, kan detta fall inte delas upp i flera oberoende tärningskast. Eftersom du räknar summan av värdena för alla tärningarna för resultatet, påverkar resultatet som kommer upp på en tärning resultaten som ska komma upp på den andra tärningen, för bara genom att lägga ihop alla värden kommer du att få önskat resultat.

Här är ett exempel på oberoende kast: Du spelar ett tärningsspel och du slår sexsidiga tärningar flera gånger. För att stanna kvar i spelet måste du slå ett nummer 2 eller högre på ditt första kast. För den andra rullen - 3 eller högre. Den tredje kräver 4 eller högre, den fjärde kräver 5 eller högre, den femte kräver 6:a. Om alla fem kasten lyckas vinner du. I detta fall är alla kast oberoende. Ja, om ett kast misslyckas kommer det att påverka resultatet av hela spelet, men ett kast påverkar inte ett annat kast. Till exempel, om ditt andra kast med tärningen är mycket framgångsrikt, påverkar detta inte sannolikheten för att nästa kast kommer att bli lika framgångsrika. Därför kan vi överväga sannolikheten för varje tärningskast separat.

Om du har separata, oberoende sannolikheter och vill veta vad sannolikheten är för det Allt händelser kommer att inträffa, du bestämmer varje enskild sannolikhet och multiplicerar dem. Ett annat sätt: om du använder konjunktionen "och" för att beskriva flera tillstånd (till exempel vad är sannolikheten för att någon slumpmässig händelse inträffar Och någon annan oberoende slumpmässig händelse?), beräkna de individuella sannolikheterna och multiplicera dem.

Det spelar ingen roll vad du tycker aldrig Lägg inte ihop oberoende sannolikheter. Detta är ett vanligt misstag. För att förstå varför detta är fel, föreställ dig en situation där du kastar ett 50/50-mynt och vill veta vad sannolikheten är att få huvuden två gånger i rad. Varje sida har 50 % chans att landa, så om du lägger ihop dessa två sannolikheter får du 100 % chans att få huvuden, men vi vet att det inte är sant eftersom det kunde ha varit svansar två gånger i rad. Multiplicerar man istället de två sannolikheterna får man 50%*50% = 25%, vilket är rätt svar för att räkna ut sannolikheten att få huvuden två gånger i rad.

Exempel

Låt oss gå tillbaka till det sexsidiga tärningsspelet, där du först måste kasta ett nummer högre än 2, sedan högre än 3, och så vidare. till 6. Vilka är chanserna att i en given serie om 5 kast kommer alla utfall att vara gynnsamma?

Som nämnts ovan är dessa oberoende försök och så vi beräknar sannolikheten för varje enskilt kast och multiplicerar dem sedan. Sannolikheten att resultatet av det första kastet blir gynnsamt är 5/6. Andra - 4/6. Tredje - 3/6. Den fjärde - 2/6, den femte - 1/6. Multiplicera alla dessa resultat och du får cirka 1,5 %... Så att vinna i det här spelet är ganska sällsynt, så om du lägger till detta element i ditt spel kommer du att behöva en ganska stor jackpott.

Negation

Här är ett annat användbart tips: ibland är det svårt att beräkna sannolikheten för att en händelse inträffar, men det är lättare att avgöra vilka chanser det är att en händelse inträffar. kommer inte.

Till exempel, låt oss säga att vi har ett annat spel och du rullar 6d6, och om åtminstone en gång Slår du en 6a vinner du. Vad är sannolikheten att vinna?

I det här fallet måste du överväga många alternativ. Kanske dyker det upp en siffra, 6, dvs. en av tärningarna kommer att visa siffran 6, och de andra kommer att ha nummer från 1 till 5, och det finns 6 möjligheter av vilka tärningar kommer att visa siffran 6. Då kan du få siffran 6 på två tärningar, eller på tre, eller ännu mer, och varje gång måste vi göra en separat beräkning, så det är lätt att bli förvirrad.

Men det finns ett annat sätt att lösa detta problem, låt oss titta på det från andra sidan. Du du kommer förlora Om inte på någon tärningen kommer inte att slå siffran 6. I det här fallet har vi sex oberoende försök, sannolikheten för var och en av dem är 5/6 (vilket annat nummer utom 6 som helst kan falla på tärningen). Multiplicera dem och du får cirka 33%. Sannolikheten att förlora är alltså 1 av 3.

Därför är sannolikheten att vinna 67 % (eller 2 till 3).

Från detta exempel är det uppenbart att om du beräknar sannolikheten att en händelse inte inträffar måste du subtrahera resultatet från 100 %. Om sannolikheten att vinna är 67%, då är sannolikheten förlora — 100% minus 67 % eller 33 %. Och vice versa. Om det är svårt att beräkna en sannolikhet, men lätt att beräkna motsatsen, beräkna motsatsen och subtrahera sedan från 100%.

Vi kombinerar förutsättningarna för ett oberoende test

Jag sa precis ovan att du aldrig ska lägga till sannolikheter över oberoende försök. Finns det några fall när Burk summera sannolikheterna? – Ja, i en speciell situation.

Om du vill beräkna sannolikheten för flera orelaterade gynnsamma utfall på ett enda försök, addera sannolikheterna för varje gynnsamt resultat. Till exempel är sannolikheten att rulla siffrorna 4, 5 eller 6 på 1d6 belopp sannolikheten att få siffran 4, sannolikheten att få siffran 5 och sannolikheten att få siffran 6. Du kan också föreställa dig den här situationen enligt följande: om du använder konjunktionen "eller" i en fråga om sannolikhet (t.ex. , vad är sannolikheten att eller olika utfall av en slumpmässig händelse?), beräkna de individuella sannolikheterna och summera dem.

Observera att när du summerar alla möjliga resultat spel, summan av alla sannolikheter måste vara lika med 100%. Om summan inte är lika med 100 % har din beräkning gjorts felaktigt. Detta är ett bra sätt att dubbelkolla dina beräkningar. Till exempel analyserade du sannolikheten för att få alla kombinationer i poker, om du lägger ihop alla resultat som erhållits bör du få exakt 100% (eller åtminstone ett värde ganska nära 100%, om du använder en miniräknare kan du ha ett litet avrundningsfel , men om du lägger ihop de exakta siffrorna manuellt bör allt läggas ihop). Om summan inte går ihop betyder det att du med största sannolikhet inte har tagit hänsyn till vissa kombinationer, eller så har du räknat ut sannolikheterna för vissa kombinationer felaktigt och då måste du dubbelkolla dina beräkningar.

Olika sannolikheter

Fram till nu har vi antagit att varje sida av tärningen rullas ut med samma frekvens, eftersom det är så tärningen fungerar. Men ibland står man inför en situation där olika utfall är möjliga och de annorlunda släppa chanser. Till exempel, i en av expansionerna av kortspelet "Nuclear War" finns det en spelplan med en pil som resultatet av en raketuppskjutning beror på: i princip ger den normal skada, starkare eller svagare, men ibland är skadan fördubblas eller tredubblas, eller så exploderar en raket på avfyrningsrampen och skadar dig, eller så inträffar en annan händelse. Till skillnad från piltavlan i "Chutes & Ladders" eller "A Game of Life" har spelplanen i "Nuclear War" ojämlika resultat. Vissa sektioner av spelplanen är större och pilen stannar på dem mycket oftare, medan andra sektioner är mycket små och pilen stannar sällan på dem.

Så vid första anblicken ser benet ut ungefär så här: 1, 1, 1, 2, 2, 3; vi har redan pratat om det, det är ungefär en viktad 1d3, så vi måste dela upp alla dessa sektioner i lika delar, hitta den minsta måttenheten som allt är en multipel av och sedan representera situationen som d522 (eller någon annan ), där många tärningar kommer att representera samma situation, men med fler resultat. Och detta är ett sätt att lösa problemet, och det är tekniskt genomförbart, men det finns ett enklare sätt.

Låt oss gå tillbaka till våra vanliga sexsidiga tärningar. Vi sa att för att beräkna medelvärdet av ett kast för en normal tärning, måste du summera värdena på alla sidorna och dividera dem med antalet sidor, men hur exaktär det någon uträkning på gång? Det finns ett annat sätt att uttrycka detta. För en sexsidig tärning är sannolikheten att varje sida kastas exakt 1/6. Nu multiplicerar vi Exodus varje ansikte på sannolikhet av detta resultat (i det här fallet 1/6 för varje sida), så summerar vi de resulterande värdena. Således summerar (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6) , får vi samma resultat (3,5) som i beräkningen ovan. Faktum är att vi räknar så här varje gång: vi multiplicerar varje resultat med sannolikheten för det resultatet.

Kan vi göra samma beräkning för pilen på spelplanen i spelet "Nuclear War"? Så klart vi kan. Och om vi summerar alla resultat som hittats får vi medelvärdet. Allt vi behöver göra är att beräkna sannolikheten för varje utfall för pilen på spelplanen och multiplicera med resultatet.

Ett annat exempel

Denna metod för att beräkna medelvärdet genom att multiplicera varje utfall med dess individuella sannolikhet är också lämplig om utfallen är lika sannolika men har olika fördelar, till exempel om du slår en tärning och vinner mer på vissa sidor än andra. Låt oss till exempel ta ett kasinospel: du lägger en insats och kastar 2d6. Om du träffar tre lågvärdesnummer (2, 3, 4) eller fyra högvärdesnummer (9, 10, 11, 12), vinner du ett belopp som motsvarar din insats. Siffrorna med det lägsta och högsta värdet är speciella: kastar du 2 eller 12 vinner du dubbelt så mycketän ditt bud. Om något annat nummer kastas (5, 6, 7, 8), kommer du att förlora din insats. Detta är ett ganska enkelt spel. Men vad är sannolikheten att vinna?

Låt oss börja med att räkna hur många gånger du kan vinna:

• Det maximala antalet utfall när man kastar 2d6 är 36. Hur många positiva utfall är det?
• Det finns 1 alternativ för att rulla en tvåa och 1 alternativ för att rulla en tolva.
• Det finns 2 alternativ för att rulla tre och elva.
• Det finns 3 alternativ för att slå en fyra och 3 alternativ för att slå en tia.
• Det finns fyra alternativ för att slå en nia.
• Efter att ha summerat alla alternativ får vi antalet gynnsamma resultat 16 av 36.

Så under normala förhållanden kommer du att vinna 16 gånger av 36 möjliga... sannolikheten att vinna är något mindre än 50%.

Men i två fall av dessa 16 kommer du att vinna dubbelt så mycket, d.v.s. Det är som att vinna två gånger! Om du spelar det här spelet 36 gånger, satsar $1 varje gång, och vart och ett av alla möjliga resultat kommer upp en gång, vinner du totalt $18 (du kommer faktiskt att vinna 16 gånger, men två av dessa gånger kommer att räknas som två vinster). Om du spelar 36 gånger och vinner $18, betyder det inte att det är en lika stor chans?

Ta din tid. Om du räknar antalet gånger du kan förlora får du 20, inte 18. Om du spelar 36 gånger och satsar $1 varje gång, vinner du totalt $18 om du träffar alla vinnande val... men du kommer att förlora det totala beloppet på $20 om alla 20 ogynnsamma resultat inträffar! Som ett resultat kommer du att hamna på efterkälken lite: du förlorar i genomsnitt $2 netto för varje 36 spel (du kan också säga att du förlorar i genomsnitt 1/18 dollar per dag). Nu ser du hur lätt det är att göra fel i det här fallet och räkna ut sannolikheten felaktigt!

Omarrangemang

Hittills har vi antagit att ordningen på siffrorna när man kastar tärningar inte spelar någon roll. Att rulla 2+4 är detsamma som att rulla 4+2. I de flesta fall räknar vi manuellt antalet gynnsamma utfall, men ibland är denna metod opraktisk och det är bättre att använda en matematisk formel.

Ett exempel på denna situation är från tärningsspelet "Farkle". För varje ny runda kastar du 6d6. Om du har tur och får alla möjliga resultat 1-2-3-4-5-6 ("straight"), kommer du att få en stor bonus. Vad är sannolikheten för att detta händer? I det här fallet finns det många alternativ för att få denna kombination!

Lösningen är följande: en av tärningarna (och endast en) måste ha siffran 1! Hur många sätt kan siffran 1 kastas på en tärning? Sex, eftersom det finns 6 tärningar och vilken som helst av dem kan landa nummer 1. Ta därför en tärning och lägg den åt sidan. Nu ska en av de återstående tärningarna kasta nummer 2. Det finns fem alternativ för detta. Ta en annan tärning och ställ den åt sidan. Sedan kan fyra av de återstående tärningarna landa en 3:a, tre av de återstående tärningarna kan landa en 4:a, två kan landa en 5:a, och du slutar med en tärning som borde landa en 6:a (i det senare fallet finns det bara en tärning och det finns inget val). För att beräkna antalet gynnsamma resultat för att slå en stege multiplicerar vi alla olika, oberoende alternativ: 6x5x4x3x2x1 = 720 - det verkar finnas ett ganska stort antal möjligheter för denna kombination att komma upp.

För att beräkna sannolikheten att få en stege måste vi dividera 720 med antalet av alla möjliga utfall för att rulla 6d6. Vad är antalet av alla möjliga utfall? Varje tärning kan ha 6 sidor, så vi multiplicerar 6x6x6x6x6x6 = 46656 (talet är mycket högre!). Dela 720/46656 och få en sannolikhet på cirka 1,5%. Om du designade det här spelet skulle detta vara användbart för dig att veta så att du kan skapa ett poängsystem i enlighet med detta. Nu förstår vi varför du i Farkle kommer att få en så stor bonus om du får en stege, för den här situationen är ganska sällsynt!

Resultatet är också intressant av en annan anledning. Exemplet visar hur sällan ett resultat som motsvarar sannolikhet faktiskt inträffar under en kort period. Naturligtvis, om vi skulle kasta flera tusen tärningar, skulle olika sidor av tärningen komma upp ganska ofta. Men när vi bara slår sex tärningar, nästan aldrig Det händer inte att vart och ett av ansiktena faller ut! Baserat på detta blir det tydligt att det är dumt att förvänta sig att ett annat ansikte nu kommer att dyka upp, som ännu inte har fallit "eftersom vi inte har rullat siffran 6 på länge, vilket betyder att det kommer att falla nu."

Lyssna, din slumptalsgenerator är trasig...

Detta leder oss till en vanlig missuppfattning om sannolikhet: antagandet att alla utfall inträffar vid samma frekvens. under en kort tidsperiod, vilket faktiskt inte är fallet. Om vi ​​kastar tärningar flera gånger kommer frekvensen av att varje sida faller ut inte vara densamma.

Om du någonsin har arbetat med ett onlinespel med någon form av slumptalsgenerator tidigare, har du med största sannolikhet stött på en situation där en spelare skriver till teknisk support och säger att din slumpgenerator är trasig och inte visar slumptal. och han kom till denna slutsats eftersom han precis dödade 4 monster i rad och fick 4 exakt samma belöningar, och dessa belöningar borde bara dyka upp 10 % av gångerna, så detta Nästan aldrig borde inte äga rum, vilket betyder detta självklart att din slumpgenerator är trasig.

Du gör en matematisk beräkning. 1/10*1/10*1/10*1/10 är lika med 1 på 10 000, vilket betyder att det är ganska sällsynt. Och det är precis vad spelaren försöker berätta för dig. Finns det ett problem i det här fallet?

Allt beror på omständigheterna. Hur många spelare finns för närvarande på din server? Låt oss säga att du har ett ganska populärt spel och 100 000 personer spelar det varje dag. Hur många spelare kan döda fyra monster i rad? Allt är möjligt, flera gånger om dagen, men låt oss anta att hälften av dem bara handlar med olika föremål på auktioner eller chattar på RP-servrar, eller gör andra aktiviteter i spelet, så bara hälften av dem jagar faktiskt monster. Vad är sannolikheten för att till någon kommer samma belöning att dyka upp? I den här situationen kan du förvänta dig att samma belöning kan dyka upp flera gånger per dag, åtminstone!

Förresten, det är därför det verkar som med några veckors mellanrum åtminstone någon vinner på lotteriet, även om det är någon aldrig Det är inte du eller dina vänner. Om tillräckligt många spelar varje vecka är chansen stor att det kommer att finnas åtminstone ett tur... men om Du Om du spelar på lotteri är sannolikheten att du vinner mindre än sannolikheten att du blir inbjuden att arbeta på Infinity Ward.

Kort och beroende

Vi har diskuterat oberoende händelser, som att kasta en tärning, och känner nu till många kraftfulla verktyg för att analysera slumpmässighet i många spel. Att beräkna sannolikhet är lite mer komplicerat när det kommer till att dra kort från en kortlek, eftersom varje kort vi drar påverkar de återstående korten i kortleken. Om du har en vanlig kortlek med 52 kort och du tar ut till exempel 10 hjärtan och vill veta sannolikheten att nästa kort kommer att vara av samma färg, har sannolikheten ändrats eftersom du redan har tagit bort ett kort i färgen av hjärtan från leken. Varje kort du tar bort ändrar sannolikheten för nästa kort i leken. Eftersom i detta fall den föregående händelsen påverkar nästa, kallar vi denna sannolikhet beroende.

Observera att när jag säger "kort" menar jag några spelmekanik där det finns en uppsättning föremål och du tar bort ett av föremålen utan att ersätta det, en "kortlek" i detta fall är analog med en påse med marker från vilken du tar bort ett marker och inte ersätter det, eller en urna som man ritar färgade kulor från (jag har faktiskt aldrig sett ett spel som hade en urna med färgade kulor från den, men det verkar som om sannolikhetslärare föredrar det här exemplet av någon anledning).

Beroendeegenskaper

Jag skulle vilja förtydliga att när det gäller kort, antar jag att du drar kort, tittar på dem och tar bort dem från leken. Var och en av dessa åtgärder är en viktig egenskap.

Om jag hade en kortlek med, säg, sex kort med siffrorna 1 till 6, och jag blandade dem och tog ut ett kort och sedan blandade alla sex korten igen, skulle det liknas vid att kasta en sexsidig tärning; ett resultat påverkar inte efterföljande. Endast om jag drar kort och inte byter ut dem kommer resultatet av att jag drar ett kort med siffran 1 att öka sannolikheten att nästa gång jag drar ett kort med siffran 6 (sannolikheten kommer att öka tills jag till slut drar det kortet eller tills jag blandar korten).

Det faktum att vi se på korten är också viktigt. Om jag tar bort ett kort från kortleken och inte tittar på det har jag ingen ytterligare information och sannolikheten ändras inte. Detta kan låta kontraintuitivt. Hur kan helt enkelt vända ett kort magiskt förändra oddsen? Men det är möjligt eftersom du kan beräkna sannolikheten för okända föremål bara baserat på vad du du vet. Till exempel, om du blandar en vanlig kortlek och avslöjar 51 kort och inget av dem är en klubbdrottning, kommer du att veta med 100 % säkerhet att det återstående kortet är en klubbdrottning. Om du blandar en vanlig kortlek och drar 51 kort, trots på dem kommer sannolikheten att det återstående kortet är en klubbdrottning fortfarande vara 1/52. När du öppnar varje kort får du mer information.

Att beräkna sannolikheten för beroende händelser följer samma principer som för oberoende händelser, förutom att det är lite mer komplicerat eftersom sannolikheterna ändras när du avslöjar kort. Så du måste multiplicera många olika värden istället för att multiplicera samma värde. Vad detta egentligen betyder är att vi måste kombinera alla beräkningar vi gjorde till en kombination.

Exempel

Du blandar en vanlig kortlek med 52 kort och drar två kort. Vad är sannolikheten att du kommer att dra ett par? Det finns flera sätt att räkna ut denna sannolikhet, men det enklaste är kanske följande: vad är sannolikheten att om du tar ut ett kort så kommer du inte att kunna ta ut ett par? Denna sannolikhet är noll, så det spelar ingen roll vilket första kort du drar, så länge det matchar det andra. Oavsett vilket kort vi drar först har vi fortfarande en chans att dra ett par, så sannolikheten att vi kan dra ett par efter att ha dragit det första kortet är 100%.

Vad är sannolikheten att det andra kortet matchar det första? Det finns 51 kort kvar i leken och 3 av dem matchar det första kortet (det skulle faktiskt finnas 4 av 52, men du tog redan bort ett av de matchande korten när du tog ut det första kortet!), så sannolikheten är 1 /17. (Så nästa gång killen som sitter på andra sidan bordet från dig och spelar Texas Hold'em säger: "Coolt, ett annat par? Jag har tur idag," vet du att det finns en ganska god chans att han bluffar.)

Tänk om vi lägger till två jokrar och nu har vi 54 kort i leken och vi vill veta vad sannolikheten är att dra ett par? Det första kortet kan vara en joker och då kommer leken bara att innehålla ett kort, inte tre, som kommer att matcha. Hur hittar man sannolikheten i detta fall? Vi delar upp sannolikheterna och multiplicerar varje möjlighet.

Vårt första kort kan vara en joker eller något annat kort. Sannolikheten att dra en joker är 2/54, sannolikheten att dra något annat kort är 52/54.

Om det första kortet är en joker (2/54), är sannolikheten att det andra kortet matchar det första 1/53. Multiplicera värdena (vi kan multiplicera dem eftersom dessa är separata händelser och vi vill både händelser inträffade) och vi får 1/1431 - mindre än en tiondels procent.

Om du drar ett annat kort först (52/54), är sannolikheten att matcha det andra kortet 3/53. Vi multiplicerar värdena och får 78/1431 (lite mer än 5,5%).

Vad gör vi med dessa två resultat? De skär varandra inte och vi vill veta sannolikheten alla av dem, så vi summerar värdena! Vi får ett slutresultat på 79/1431 (fortfarande ca 5,5%).

Om vi ​​ville vara säkra på att svaret är korrekt, kan vi beräkna sannolikheten för alla andra möjliga utfall: dra en joker och inte matcha det andra kortet, eller dra något annat kort och inte matcha det andra kortet, och lägga till dem allt upp med sannolikheten att vinna, skulle vi få exakt 100%. Jag kommer inte att ge matematiken här, men du kan prova matematiken för att dubbelkolla.

Monty Hall Paradox

Detta för oss till en ganska berömd paradox som ofta förvirrar många människor - Monty Hall-paradoxen. Paradoxen är uppkallad efter programledaren för TV-programmet "Let's Make a Deal" Monty Hall. Om du aldrig har sett det här programmet var det motsatsen till TV-programmet "The Price Is Right." I "The Price Is Right" är värden (värden brukade vara Bob Barker, nu är det... Drew Carey? Hur som helst...) är din vän. han vill ha så att du kan vinna pengar eller coola priser. Den försöker ge dig alla möjligheter att vinna, så länge du kan gissa hur mycket föremålen som köpts av sponsorerna faktiskt är värda.

Monty Hall betedde sig annorlunda. Han var som Bob Barkers onda tvilling. Hans mål var att få dig att se ut som en idiot på nationell tv. Om du var med i programmet var han din motståndare, du spelade mot honom och oddsen var till hans fördel. Jag kanske är för hård, men när chansen att bli vald som tävlande verkar vara direkt proportionell mot om du bär en löjlig kostym, kommer jag till den här typen av slutsatser.

Men ett av programmets mest kända memes var detta: Det fanns tre dörrar framför dig, och de hette Dörr nummer 1, Dörr nummer 2 och Dörr nummer 3. Du kunde välja en dörr... gratis! Bakom en av dessa dörrar fanns ett magnifikt pris, till exempel en ny bil. Det fanns inga priser bakom de andra dörrarna, dessa två dörrar var utan värde. Deras mål var att förödmjuka dig och så är det inte så att det inte fanns något bakom dem alls, det fanns något bakom dem som såg dumt ut, som att det fanns en get bakom dem eller en enorm tub med tandkräm eller något... något, vad exakt hände Inte en ny personbil.

Du valde en av dörrarna och Monty var på väg att öppna den för att meddela dig om du vann eller inte... men vänta, innan vi vet, låt oss titta på en av de där dörren du inte valt. Eftersom Monty vet vilken dörr priset ligger bakom, och det finns bara ett pris och två dörrar som du inte valde, oavsett vad, han kan alltid öppna en dörr som inte har något pris bakom sig. “Väljer du dörr nummer 3? Låt oss sedan öppna dörr nr 1 för att visa att det inte fanns något pris bakom den." Och nu, av generositet, erbjuder han dig chansen att byta ut din valda dörr nummer 3 mot vad som ligger bakom dörr nummer 2. Det är vid denna tidpunkt som frågan om sannolikhet uppstår: ökar möjligheten att välja en annan dörr din sannolikhet för vinna, eller minska den, eller förblir den densamma? Hur tänker du?

Rätt svar: möjligheten att välja en annan dörr ökar sannolikhet att vinna från 1/3 till 2/3. Detta är ologiskt. Om du inte har stött på denna paradox tidigare, tänker du förmodligen: vänta, ändrade vi på ett magiskt sätt sannolikheten genom att öppna en dörr? Men som vi redan har sett i exemplet med korten ovan, detta exakt vad händer när vi får mer information. Det är uppenbart att sannolikheten att vinna när man första väljer är 1/3, och jag tror att alla kommer att hålla med om detta. När en dörr går av ändrar det inte alls sannolikheten att vinna för förstahandsvalet, sannolikheten är fortfarande 1/3, men det betyder att sannolikheten att Övrig dörren är nu 2/3 korrekt.

Låt oss titta på detta exempel från ett annat perspektiv. Du väljer en dörr. Sannolikheten att vinna är 1/3. Jag föreslår att du byter två andra dörrar, vilket är vad Monty Hall faktiskt föreslår att göra. Självklart öppnar han en av dörrarna för att visa att det inte ligger något pris bakom, men han Alltid kan göra detta, så det förändrar egentligen ingenting. Självklart vill du välja en annan dörr!

Om du inte är helt klar över den här frågan och behöver en mer övertygande förklaring, klicka på den här länken för att komma till en fantastisk liten Flash-applikation som låter dig utforska denna paradox mer i detalj. Du kan spela med cirka 10 dörrar och sedan gradvis gå upp till ett spel med tre dörrar; Det finns också en simulator där du kan välja valfritt antal dörrar från 3 till 50 och spela eller köra flera tusen simuleringar och se hur många gånger du skulle vinna om du spelade.

En kommentar från högre matematiklärare och spelbalansspecialist Maxim Soldatov, som Schreiber naturligtvis inte hade, men utan vilken det är ganska svårt att förstå denna magiska transformation:

Du väljer en dörr, en av tre, sannolikheten att "vinna" är 1/3. Nu har du 2 strategier: ändra efter att ha öppnat fel dörr, val eller inte. Om du inte ändrar ditt val, kommer sannolikheten att förbli 1/3, eftersom valet sker först i det första steget, och du måste gissa direkt, men om du ändrar, då kan du vinna om du först väljer fel dörr (då öppnar de en annan fel, kommer att förbli trogna, du ändrar dig och tar henne)
Sannolikheten för att välja fel dörr i början är 2/3, så det visar sig att genom att ändra ditt beslut gör du sannolikheten att vinna 2 gånger större

Och återigen om Monty Hall-paradoxen

När det gäller själva showen visste Monty Hall detta för även om hans konkurrenter inte var bra på matematik, han förstår det väl. Här är vad han gjorde för att förändra spelet lite. Om du väljer en dörr bakom vilken det fanns ett pris, vars sannolikhet är 1/3, Alltid erbjöd dig möjligheten att välja en annan dörr. När allt kommer omkring, du valde en personbil och sedan byter du ut den mot en get och du kommer att se ganska dum ut, vilket är precis vad han behöver eftersom han är en slags elak kille. Men om du väljer dörren bakom vilken det blir inget pris, endast itu I sådana fall kommer han att uppmana dig att välja en annan dörr, och i andra fall kommer han helt enkelt att visa dig din nya get och du lämnar platsen. Låt oss analysera detta nya spel där Monty Hall kan välja ger dig chansen att välja en annan dörr eller inte.

Låt oss säga att han följer denna algoritm: om du väljer en dörr med ett pris, erbjuder han dig alltid möjligheten att välja en annan dörr, annars finns det en 50/50 chans att han kommer att erbjuda dig att välja en annan dörr eller ge dig en get. Vad är din sannolikhet att vinna?

I ett av de tre alternativen väljer du omedelbart dörren bakom vilken priset finns, och presentatören uppmanar dig att välja en annan dörr.

Av de återstående två alternativen av tre (du väljer initialt en dörr utan pris), i hälften av fallen kommer presentatören att erbjuda dig att välja en annan dörr, och i den andra hälften av fallen - inte. Hälften av 2/3 är 1/3, d.v.s. i ett fall av tre får du en get, i ett fall av tre väljer du fel dörr och värden ber dig välja en annan och i ett fall av tre väljer du den högra dörren och han kommer att be dig välja en annan dörr.

Om presentatören erbjuder sig att välja en annan dörr vet vi redan att det där ena fallet av tre när han ger oss en get och vi går iväg inte hände. Detta är användbar information eftersom det betyder att våra chanser att vinna har förändrats. I två fall av tre, när vi har möjlighet att välja, betyder det i det ena fallet att vi gissade rätt och i det andra att vi gissade fel, så om vi överhuvudtaget erbjöds möjligheten att välja betyder det att sannolikheten för att vi vinner är 50/50, och det finns ingen matematisk fördelar, förbli med ditt val eller välj en annan dörr.

Precis som poker är det nu ett psykologiskt spel, inte ett matematiskt. Monty gav dig ett val för att han tycker att du är en soss som inte vet att att välja den andra dörren är det "rätta" beslutet, och att du envist kommer att hålla fast vid ditt val eftersom psykologiskt är situationen när du valde bil, och sedan tappade den, svårare? Eller tror han att du är smart och väljer en annan dörr, och han erbjuder dig den här chansen för att han vet att du gissade rätt från början och att du kommer att bli fast och fångad? Eller så kanske han är okarakteristiskt snäll mot sig själv och pressar dig att göra något i ditt personliga intresse för att han inte har gett bort en bil på ett tag och hans producenter säger till honom att publiken börjar bli uttråkad och att han hellre ger bort en stort pris snart så att betygen inte sjunker?

På så sätt lyckas Monty erbjuda valmöjligheter (ibland) och ändå behålla den totala sannolikheten att vinna på 1/3. Kom ihåg att sannolikheten att du förlorar direkt är 1/3. Sannolikheten att du gissar rätt direkt är 1/3 och 50 % av de gångerna vinner du (1/3 x 1/2 = 1/6). Chansen att du gissar fel till en början men sedan har en chans att välja en annan dörr är 1/3, och 50 % av de gångerna kommer du att vinna (även 1/6). Lägg ihop två oberoende vinstmöjligheter och du får en sannolikhet på 1/3, så oavsett om du håller fast vid ditt val eller väljer en annan dörr så är din totala sannolikhet att vinna genom hela spelet 1/3... sannolikheten blir inte större än i en situation där du skulle gissa dörren och presentatören skulle visa dig vad som finns bakom denna dörr, utan möjlighet att välja en annan dörr! Så poängen med att erbjuda alternativet att välja en annan dörr är inte att ändra sannolikheten, utan att göra beslutsprocessen roligare att se på tv.

Detta är förresten en av anledningarna till att poker kan vara så intressant: i de flesta format, mellan omgångarna när satsningar görs (till exempel floppen, turn och river i Texas Hold'em), avslöjas kort gradvis, och om du i början av spelet har en sannolikhet att vinna, så ändras denna sannolikhet efter varje satsningsrunda, när fler kort avslöjas.

Pojke och flicka paradox

Detta för oss till en annan berömd paradox som vanligtvis förbryllar alla - pojk-tjej-paradoxen. Det enda jag skriver om idag som inte är direkt relaterat till spel (även om jag antar att det bara betyder att jag bör uppmuntra dig att skapa relevant spelmekanik). Det är mer ett pussel, men intressant, och för att lösa det måste du förstå villkorlig sannolikhet, som vi pratade om ovan.

Problem: Jag har en vän med två barn, åtminstone ett barnet är en flicka. Vad är sannolikheten att det andra barnet Samma flicka? Låt oss anta att det i vilken familj som helst finns en 50/50 chans att få en flicka eller en pojke, och detta är sant för varje barn (i själva verket har vissa män mer spermier med en X-kromosom eller en Y-kromosom, så sannolikheten ändras lite om du vet att ett barn är en flicka, är sannolikheten att få en flicka något högre, dessutom finns det andra tillstånd, till exempel hermafroditism, men för att lösa detta problem kommer vi inte att ta hänsyn till detta och anta att ett barns födelse är en oberoende händelse och sannolikheten för att få en pojke eller flickor är densamma).

Eftersom vi pratar om en 1/2 chans, förväntar vi oss intuitivt att svaret förmodligen är 1/2 eller 1/4, eller något annat runt tal som är en multipel av två. Men svaret är: 1/3 . Vänta, varför?

Svårigheten här är att den information vi har minskar antalet möjligheter. Anta att föräldrarna är fans av Sesame Street och, oavsett om barnet föddes som pojke eller flicka, döpte deras barn till A och B. Under normala förhållanden finns det fyra lika troliga möjligheter: A och B är två pojkar, A och B. B är två flickor, A är en pojke och B är en flicka, A är en flicka och B är en pojke. Eftersom vi vet det åtminstone ett barnet är en flicka kan vi eliminera möjligheten att A och B är två pojkar, så vi har tre (fortfarande lika troliga) möjligheter. Om alla möjligheter är lika sannolika och det finns tre av dem, vet vi att sannolikheten för var och en av dem är 1/3. Endast i ett av dessa tre alternativ är båda barn flickor, så svaret är 1/3.

Och återigen om paradoxen med en pojke och en flicka

Lösningen på problemet blir ännu mer ologisk. Föreställ dig att jag berättar att min vän har två barn och ett barn - tjej som föddes i tisdags. Låt oss anta att under normala förhållanden är sannolikheten för att ett barn föds någon av veckans sju dagar densamma. Vad är sannolikheten att det andra barnet också är en flicka? Du kanske tror att svaret fortfarande skulle vara 1/3; Vad är betydelsen av tisdag? Men även i det här fallet sviker intuitionen oss. Svar: 13/27 , vilket inte bara är ointuitivt, det är väldigt konstigt. Vad är problemet I detta fall?

Tisdagen ändrar faktiskt sannolikheten eftersom vi inte vet Som bebis föddes i tisdags eller kanske två barn född på tisdag. I det här fallet använder vi samma logik som ovan, vi räknar alla möjliga kombinationer när minst ett barn är en tjej född på tisdag. Som i föregående exempel, låt oss anta att barnens namn är A och B, kombinationerna ser ut så här:

• A är en tjej som föddes i tisdags, B är en pojke (i den här situationen finns det 7 möjligheter, en för varje veckodag då en pojke skulle kunna födas).
• B är en tjej född på tisdag, A är en kille (även 7 möjligheter).
• A är en tjej som föddes i tisdags, B är en tjej som föddes på annan veckodag (6 möjligheter).
• B är en tjej som föddes på tisdag, A är en tjej som inte föddes på tisdag (även 6 sannolikheter).
• A och B är två tjejer som föddes i tisdags (1 möjlighet, du måste vara uppmärksam på detta för att inte räkna två gånger).

Vi lägger ihop och får 27 olika lika möjliga kombinationer av barnfödslar och dagar med minst en möjlighet att en tjej föds på tisdag. Av dessa finns det 13 möjligheter när två flickor föds. Det verkar också helt ologiskt, och det verkar som om den här uppgiften skapades bara för att orsaka huvudvärk. Om du fortfarande är förbryllad över det här exemplet, har spelteoretikern Jesper Juhl en bra förklaring av problemet på sin hemsida.

Om du för närvarande arbetar med ett spel...

Om det finns en slumpmässighet i spelet du designar är det här ett bra tillfälle att analysera det. Välj något element som du vill analysera. Fråga dig själv först vad sannolikheten för ett givet element är enligt dina förväntningar, vad du tycker att det ska vara i spelets sammanhang. Om du till exempel gör ett RPG och du undrar hur sannolikheten bör vara att spelaren kommer att kunna besegra ett monster i strid, fråga dig själv vilken vinstprocent som känns rätt för dig. Vanligtvis när man spelar konsol-RPG blir spelare väldigt upprörda när de förlorar, så det är bäst om de inte förlorar ofta... kanske 10% av tiden eller mindre? Om du är en RPG-designer vet du förmodligen bättre än jag, men du måste ha en grundläggande uppfattning om vad sannolikheten bör vara.

Fråga dig sedan om detta är något beroende(som kort) eller oberoende(som tärningar). Analysera alla möjliga utfall och deras sannolikheter. Se till att summan av alla sannolikheter är 100 %. Och slutligen, naturligtvis, jämför dina resultat med resultaten av dina förväntningar. Blir tärningen eller kortdragningen som du tänkt dig eller ser du att du behöver justera värdena. Och, naturligtvis, om du du kommer hitta vad som behöver justeras kan du använda samma beräkningar för att avgöra hur mycket något behöver justeras!

Hemläxa

Dina "läxor" den här veckan kommer att hjälpa dig att vässa dina sannolikhetskunskaper. Här är två tärningsspel och ett kortspel som du ska analysera med hjälp av sannolikhet, samt en märklig spelmekaniker jag en gång utvecklade som ska testa Monte Carlo-metoden.

Spel #1 - Dragon Bones

Det här är ett tärningsspel som jag och mina kollegor en gång kom på (tack vare Jeb Havens och Jesse King!), och som specifikt blåser folks sinnen med sina sannolikheter. Detta är ett enkelt kasinospel som heter "Dragon Dice" och det är en speltärningstävling mellan spelaren och huset. Du får en normal 1d6 tärning. Målet med spelet är att rulla ett nummer högre än husets. Tom får en icke-standardiserad 1d6 - samma som din, men istället för en 1 på ena sidan finns en bild av en drake (därmed har kasinot en draktärning - 2-3-4-5-6). Om huset får Draken vinner det automatiskt och du förlorar. Om ni båda får samma nummer är det oavgjort och du slår tärningen igen. Den som slår det högsta numret vinner.

Naturligtvis fungerar inte allt helt till spelarens fördel, eftersom casinot har en fördel i form av Dragon’s Edge. Men är detta verkligen sant? Du måste räkna ut detta. Men innan dess, kolla din intuition. Låt oss säga att vinsterna är 2 till 1. Så om du vinner behåller du din insats och får dubbla din insats. Till exempel, om du satsar $1 och vinner, behåller du den dollarn och får 2 till överst för totalt $3. Om du förlorar förlorar du bara din insats. Skulle du spela? Så, känner du intuitivt att sannolikheten är större än 2 till 1, eller tror du fortfarande att den är mindre? Med andra ord, i genomsnitt över 3 spel, förväntar du dig att vinna mer än en gång, eller färre eller en gång?

När du har fått ordning på din intuition, använd matematik. Det finns bara 36 möjliga positioner för båda tärningarna, så du kan räkna dem alla utan problem. Om du inte är säker på det där 2-för-1-erbjudandet, överväg detta: Låt oss säga att du spelade spelet 36 gånger (satsade $1 varje gång). För varje vinst får du 2 dollar, för varje förlust förlorar du 1, och oavgjort ändrar ingenting. Beräkna alla dina troliga vinster och förluster och avgör om du kommer att förlora eller få några dollar. Fråga dig själv sedan hur rätt din intuition var. Och sedan inse vilken skurk jag är.

Och, ja, om du redan har tänkt på den här frågan - jag förvirrar dig medvetet genom att felaktigt framställa tärningsspelens faktiska mekanik, men jag är säker på att du kan övervinna detta hinder med bara en liten tanke. Försök att lösa detta problem själv. Jag lägger upp alla svar här nästa vecka.

Spel nr 2 - Kasta för tur

Detta är ett hasardspel med tärningar som kallas "Roll for Luck" (även "Birdcage" eftersom tärningarna ibland inte kastas, utan placeras i en stor trådbur, som påminner om buren från "Bingo"). Det är ett enkelt spel som i grund och botten handlar om detta: Satsa, säg, $1 på ett nummer från 1 till 6. Sedan kastar du 3d6. För varje tärning som landar ditt nummer får du $1 (och behåll din ursprungliga insats). Om ditt nummer inte kommer upp på någon av tärningarna, får kasinot din dollar och du får ingenting. Så om du satsar på en 1 och får en 1 på sidorna tre gånger får du $3.

Intuitivt verkar det som att det här spelet har lika chanser. Varje tärning är en individuell vinstchans på 1 på 6, så när du lägger ihop alla tre är din vinstchans 3 på 6. Kom dock naturligtvis ihåg att du lägger till tre separata tärningar, och du får bara lägga till dem om vi talar om separata vinnande kombinationer av samma tärning. Något du behöver för att multiplicera.

När du väl har beräknat alla möjliga resultat (förmodligen lättare att göra i Excel än för hand, eftersom det finns 216 av dem), ser spelet fortfarande udda ut, jämnt vid första anblicken. Men i verkligheten har kasinot fortfarande en bättre chans att vinna — hur mycket mer? Specifikt, hur mycket pengar i genomsnitt förväntar du dig att förlora varje spelomgång? Allt du behöver göra är att lägga ihop vinsterna och förlusterna för alla 216 resultat och sedan dividera med 216, vilket borde vara ganska enkelt... Men som du kan se finns det några fällor du kan falla i, och det är därför jag Jag säger till dig: Om du tror att det här spelet har en jämn chans att vinna, har du missuppfattat det hela.

Spel #3 - 5 Card Stud Poker

Om du redan har värmt upp med tidigare spel, låt oss kolla vad vi vet om villkorad sannolikhet med detta kortspel som exempel. Närmare bestämt, låt oss föreställa oss ett pokerspel med en kortlek med 52 kort. Låt oss också föreställa oss 5 card stud, där varje spelare bara får 5 kort. Du kan inte kasta ett kort, du kan inte dra ett nytt, det finns ingen delad kortlek - du får bara 5 kort.

En royal flush är 10-J-Q-K-A i en hand, det finns fyra totalt, så det finns fyra möjliga sätt att få en royal flush. Beräkna sannolikheten att du får en sådan kombination.

Jag måste varna dig för en sak: kom ihåg att du kan dra dessa fem kort i vilken ordning som helst. Det vill säga, först kan du dra ett ess eller en tio, det spelar ingen roll. Så när du beräknar detta, kom ihåg att det faktiskt finns fler än fyra sätt att få en royal flush, förutsatt att korten delades ut i ordning!

Spel nr 4 - IMF Lotteri

Det fjärde problemet kan inte lösas så enkelt med de metoder vi pratade om idag, men du kan enkelt simulera situationen med hjälp av programmering eller Excel. Det är på exemplet med detta problem som du kan räkna ut Monte Carlo-metoden.

Jag nämnde tidigare spelet "Chron X", som jag en gång arbetade med, och det fanns ett mycket intressant kort där - IMF-lotteriet. Så här fungerade det: du använde det i ett spel. Efter att omgången avslutats omfördelades korten och det fanns en 10 % chans att kortet skulle gå ur spel och att en slumpmässig spelare skulle få 5 enheter av varje typ av resurs vars token fanns på det kortet. Kortet kom in i spelet utan ett enda marker, men varje gång det förblev i spel i början av nästa omgång fick det ett marker. Så det fanns en 10% chans att om du satte den i spel skulle omgången sluta, kortet skulle lämna spelet och ingen skulle få något. Om detta inte händer (90% chans) finns det en 10% chans (faktiskt 9%, eftersom det är 10% av 90%) att hon i nästa omgång lämnar spelet och någon kommer att få 5 enheter av resurser. Om kortet lämnar spelet efter en omgång (10% av de 81% som finns tillgängliga, så sannolikheten är 8,1%), kommer någon att få 10 enheter, en annan omgång - 15, en annan - 20, och så vidare. Fråga: Vilket är det generella förväntade värdet av antalet resurser du kommer att få från det här kortet när det slutligen lämnar spelet?

Normalt skulle vi försöka lösa detta problem genom att hitta möjligheten för varje utfall och multiplicera med antalet av alla utfall. Det är alltså 10 % chans att du får 0 (0,1*0 = 0). 9% att du kommer att få 5 enheter av resurser (9%*5 = 0,45 resurser). 8,1% av vad du får är 10 (8,1%*10 = 0,81 resurser totalt, förväntat värde). Och så vidare. Och så skulle vi summera det hela.

Och nu är problemet uppenbart för dig: det finns alltid en chans att kortet Inte kommer att lämna spelet så att hon kan stanna kvar i spelet evigt, för ett oändligt antal omgångar, så det är möjligt att beräkna alla möjligheter existerar inte. De metoder vi har lärt oss idag tillåter oss inte att beräkna oändlig rekursion, så vi måste skapa den på konstgjord väg.

Om du är tillräckligt bra på att programmera, skriv ett program som kommer att simulera denna karta. Du bör ha en tidsslinga som för variabeln till startpositionen noll, visar ett slumptal och med 10 % chans att variabeln lämnar loopen. Annars lägger den till 5 till variabeln och cykeln upprepas. När den slutligen lämnar loopen, öka det totala antalet testkörningar med 1 och det totala antalet resurser (med hur mycket beror på var variabeln hamnar). Återställ sedan variabeln och börja om. Kör programmet flera tusen gånger. Dela slutligen det totala antalet resurser med det totala antalet körningar - detta kommer att vara ditt förväntade Monte Carlo-värde. Kör programmet flera gånger för att se till att siffrorna du får är ungefär desamma; om spridningen fortfarande är stor, öka antalet repetitioner i den yttre slingan tills du börjar få matchningar. Du kan vara säker på att de siffror du än hamnar på kommer att vara ungefär korrekta.

Om du inte är bekant med programmering (och även om du är det), kommer här en kort övning för att värma upp dina Excel-kunskaper. Om du är en speldesigner är Excel-kunskaper aldrig en dålig sak.

Nu kommer du att hitta funktionerna OM och RAND mycket användbara. RAND kräver inga värden, det spottar bara ut ett slumpmässigt decimaltal mellan 0 och 1. Vi kombinerar det vanligtvis med FLOOR och plus och minus för att simulera att kasta en tärning, vilket är vad jag nämnde tidigare. Men i det här fallet lämnar vi bara en chans på 10 % att kortet lämnar spelet, så vi kan bara kontrollera om RAND-värdet är mindre än 0,1 och inte oroa oss för det längre.

OM har tre betydelser. I ordning: ett villkor som antingen är sant eller falskt, sedan ett värde som returneras om villkoret är sant, och ett värde som returneras om villkoret är falskt. Så följande funktion kommer att returnera 5% av tiden, och 0 de andra 90% av tiden:
=OM(RAND()<0.1,5,0)

Det finns många sätt att ställa in det här kommandot, men jag skulle använda den här formeln för cellen som representerar den första omgången, låt oss säga att det är cell A1:

OM(RAND()<0.1,0,-1)

Här använder jag en negativ variabel för att betyda "det här kortet har inte lämnat spelet och har inte gett upp några resurser ännu." Så om den första omgången är över och kortet lämnar spelet är A1 0; annars är det -1.

För nästa cell som representerar den andra omgången:

OM(A1>-1, A1, OM(RAND()<0.1,5,-1))

Så om den första omgången slutade och kortet omedelbart lämnade spelet, är A1 0 (antalet resurser) och den här cellen kommer helt enkelt att kopiera det värdet. Annars är A1 -1 (kortet har ännu inte lämnat spelet), och den här cellen fortsätter att röra sig slumpmässigt: 10 % av tiden kommer den att returnera 5 enheter resurser, resten av tiden kommer dess värde fortfarande att vara lika med -1. Om vi ​​tillämpar den här formeln på ytterligare celler får vi ytterligare rundor, och vilken cell du än hamnar i kommer att ge dig det slutliga resultatet (eller -1 om kortet aldrig lämnade spelet efter alla rundor du spelat).

Ta den raden med celler, som representerar den enda rundan med det kortet, och kopiera och klistra in flera hundra (eller tusen) rader. Vi kanske inte kan göra det ändlös testa för Excel (det finns ett begränsat antal celler i en tabell), men vi kan åtminstone täcka de flesta fall. Välj sedan en cell där du ska placera medelvärdet av resultaten för alla omgångar (Excel tillhandahåller vänligen en AVERAGE() funktion för detta).

På Windows kan du åtminstone trycka på F9 för att räkna om alla slumptal. Som tidigare, gör detta några gånger och se om värdena du får är desamma. Om spridningen är för stor, dubbla antalet körningar och försök igen.

Olösta problem

Om du bara råkar ha en examen i sannolikhet och ovanstående problem verkar för lätta, här är två problem som jag har kliat mig över i flera år, men tyvärr är jag inte tillräckligt bra på matte för att lösa dem. Om du råkar veta en lösning, skriv den här i kommentarerna, jag läser gärna den.

Olöst problem #1: LotteriIMF

Det första olösta problemet är den tidigare läxuppgiften. Jag kan enkelt tillämpa Monte Carlo-metoden (med C++ eller Excel) och vara säker på svaret på frågan "hur många resurser kommer spelaren att få", men jag vet inte exakt hur jag ska ge ett exakt bevisbart svar matematiskt (det är en oändlig serie). Om du vet svaret, posta det här... efter att ha testat det med Monte Carlo, förstås.

Olöst problem #2: Sekvenser av figurer

Det här problemet (och återigen går det långt utanför ramen för de problem som lösts i den här bloggen) gavs till mig av en spelarvän för mer än 10 år sedan. Han märkte en intressant sak när han spelade blackjack i Vegas: när han drog kort från en sko med 8 däck, såg han tio siffror i rad (en pjäs, eller klätt kort - 10, Joker, Kung eller Dam, så det finns 16 totalt i en vanlig kortlek med 52 kort, så det finns 128 i en sko med 416 kort). Vad är sannolikheten att i denna sko minst en sekvens av tio eller mer siffror? Låt oss anta att de blandades rättvist, i slumpmässig ordning. (Eller, om du föredrar, vad är sannolikheten för att inte hittat någonstans en sekvens av tio eller fler siffror?)

Vi kan förenkla uppgiften. Här är en sekvens av 416 delar. Varje del är en 0 eller en 1. Det finns 128 ettor och 288 nollor utspridda slumpmässigt i sekvensen. Hur många sätt finns det att slumpmässigt varva 128 ettor med 288 nollor, och hur många gånger på dessa sätt kommer det att finnas minst en grupp på tio eller flera ettor?

Varje gång jag började lösa det här problemet verkade det enkelt och självklart för mig, men så fort jag grävde ner mig i detaljerna föll det plötsligt sönder och verkade helt enkelt omöjligt för mig. Så skynda dig inte att slänga ut svaret: sitt ner, tänk noga, studera villkoren för problemet, försök att koppla in reella siffror, eftersom alla människor jag pratade med om det här problemet (inklusive flera doktorander som arbetar inom detta område ) reagerade ungefär likadant: "Det är helt uppenbart... åh, nej, vänta, det är inte alls uppenbart." Det är just detta fall för vilket jag inte har någon metod för att beräkna alla alternativ. Jag skulle förvisso brute force problemet genom en datoralgoritm, men jag skulle vara mycket mer nyfiken på att veta det matematiska sättet att lösa detta problem.

Översättning - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Metod för musikalisk komposition med lös ljudtext; som ett självständigt sätt att komponera tog musik form på 1900-talet. A. betyder kompositörens fullständiga eller partiella vägran av strikt kontroll över musiktexten, eller till och med eliminering av själva kategorin kompositör-författare i traditionell mening. A:s innovation ligger i korrelationen av stabilt etablerade komponenter i en musikalisk text med avsiktligt införd slumpmässighet, godtycklig rörlighet av musikalisk materia. Begreppet A. kan avse både det allmänna arrangemanget av delar av en uppsats (form) och strukturen på dess tyg. Enligt E. Denisov, samspelet mellan tygets och formens stabilitet och rörlighet ger 4 huvudtyper av kombinationer, varav tre - 2:a, 3:e och 4:e - är aleatoriska: 1. Stabilt tyg - stabil form (vanlig traditionell komposition, opus perfectum et absolutum; som, för exempel, Tjajkovskijs 6:e symfoni); 2. Stabilt tyg - mobil form; enligt V. Lutoslavsky, "A. former" (P. Boulez, 3:e sonaten för piano, 1957); 3. Mobilt tyg - stabil form; eller, enligt Lutoslawski, "A. textures" (Lyutoslawski, stråkkvartett, 1964, huvudsats); 4. Mobilt tyg - mobil form; eller "A. Bur"(under kollektiv improvisation av flera artister). Dessa är knutpunkterna för A.-metoden, kring vilka det finns många olika specifika typer och fall av strukturer, olika grader av nedsänkning i A.; Dessutom är metaboler (”modulationer”) också naturliga - en övergång från en typ eller typ till en annan, också till eller från en stabil text.

A. har fått stor spridning sedan 1950-talet, uppträder (tillsammans med sonorica), i synnerhet en reaktion på den extrema förslavningen av musikalisk struktur i multiparameterserialism (se: dodekafoni). Samtidigt har principen om strukturfrihet på ett eller annat sätt gamla rötter. I grund och botten är folkmusik en ljudström och inte ett unikt strukturerat opus. Därav folkmusikens instabilitet, "icke-opus" karaktär, variation, variation och improvisation i den. Ospecificerad form och improvisation är kännetecknande för traditionell musik i Indien, folken i Fjärran Östern och Afrika. Därför förlitar sig representanter för A. aktivt och medvetet på de väsentliga principerna för orientalisk och folkmusik. Inslag av A. fanns även i den europeiska klassiska musiken. Till exempel, bland wienklassikerna, som eliminerade principen om generalbas och gjorde musiktexten helt stabil (symfonier och kvartetter av I. Haydn), var en skarp kontrast "kadensen" i form av en instrumentalkonsert - en virtuos solo, vars del inte komponerades av kompositören, utan överlämnades till den utövandes gottfinnande (element A. form). Det finns kända humoristiska "aleatoriska" metoder för att komponera enkla stycken (minuetter) genom att kombinera musikstycken på att spela tärningar (Würfelspiel) på Haydns och Mozarts tid (avhandling av I.F. Kirnberger "När som helst en färdig kompositör av polonaiser och menuetter.” Berlin, 1757).

På 1900-talet principen om "individuellt projekt" i formen började antyda tillåtligheten av textversioner av verket (dvs. A.). År 1907 Den amerikanske kompositören Charles Ives komponerade pianokvintetten "Hallwe"en (= "All Hallows’ Eve"), vars text, när den framförs på en konsert, måste spelas annorlunda fyra gånger i rad. D. Bur komponerad 1951 "Music of Changes" för piano, vars text han komponerade genom att "manipulera olyckor" (kompositörens ord), med hjälp av den kinesiska "Book of Changes" för detta. Klassisk

A:s klassiska exempel är "Piano Piece XI" av K. Stockhausen, 1957. På ett pappersark ca. 0,5 kvm 19 musikaliska fragment är placerade i slumpmässig ordning. Pianisten börjar med någon av dem och spelar dem i valfri ordning, efter en tillfällig blick; i slutet av föregående avsnitt står det skrivet i vilket tempo och med vilken volym man ska spela nästa. När pianisten tror att han redan har spelat alla fragment på detta sätt, bör de spelas en andra gång igen i samma slumpmässiga ordning, men med en ljusare klang. Efter den andra omgången avslutas spelet. För större effekt rekommenderas det att upprepa det aleatoriska verket i en konsert - lyssnaren kommer att presenteras med en annan komposition från samma material. Metod A. används flitigt av moderna tonsättare (Boulez, Stockhausen, Lutoslavsky, A. Volkonsky, Denisov, Schnittke och så vidare.).

Förutsättningen för A. på 1900-talet. nya lagar dök upp harmoni och de resulterande tendenserna att söka efter nya former som motsvarar det nya tillståndet av musikmaterial och karaktäristiska för avantgarde. Aleatorisk konsistens var helt otänkbar före frigörelsen dissonans, utveckling av atonal musik (se: dodekafoni). En anhängare av "begränsad och kontrollerad" A. Lutoslavsky ser ett otvivelaktigt värde i det: "A. öppnade nya och oväntade perspektiv för mig. Först och främst finns det en enorm rikedom av rytm, ouppnåelig med hjälp av andra tekniker.” Denisov, som motiverar "införandet av slumpmässiga element i musik", hävdar att det "ger oss större frihet att arbeta med musikalisk materia och tillåter oss att få nya ljudeffekter<...>, men mobilitetsidéer kan bara ge goda resultat om<... >, om de destruktiva tendenserna gömda i rörligheten inte förstör den konstruktivitet som krävs för existensen av någon form av konst.”

Vissa andra metoder och musikformer överlappar med A. Först av allt detta: 1. improvisation - framförande av ett verk komponerat under spelet; 2. grafisk musik, som artisten improviserar enligt de visuella bilderna av teckningen placerade framför honom (till exempel I. Brown, Folio", 1952), översätter dem till ljudbilder, eller enligt musikalisk aleatorisk grafik skapad av kompositören från stycken av musikalisk text på ett papper (S. Bussotti, "Passion för trädgården", 1966); 3. happening- improviserad (i denna mening aleatorisk) handling (Befordran) med deltagande av musik med en godtycklig (kvasi-) plot (till exempel händelsen av A. Volkonsky "Replica" av ensemblen "Madrigal" under säsongen 1970/71); 4. öppna musikformer - det vill säga de vars text inte är stabilt fixerad, utan alltid erhålls under framförandet. Det här är typer av kompositioner som inte är i grunden slutna och tillåter oändlig fortsättning (till exempel med varje ny föreställning), engelska. Pågående arbete. För P. Boulez var ett av incitamenten som gjorde honom till en öppen form arbetet av J. Joyce("Ulysses") och S. Mallarmé ("Le Livre"). Ett exempel på en öppen komposition är Earl Browns "Available Forms II" för 98 instrument och två dirigenter (1962). Brown påpekar själv sambandet mellan hans öppna form och "mobiler" inom bildkonsten (se: kinetisk konst), i synnerhet av A. Calder ("Calder Piece" för 4 trummisar och Calder mobile, 1965). Slutligen är handlingen "Gesamtkunst" genomsyrad av aleatoriska principer (se: Gesamtkunstwerk). 5. Multimedia, vars specificitet är synkronisering installationer flera konster (till exempel: en konsert + en utställning av måleri och skulptur + en kväll med poesi i valfri kombination av konst, etc.). Konstens väsen är alltså försoningen av den traditionellt etablerade konstnärliga ordningen och det uppfriskande enzymet oförutsägbarhet, slumpen - en tendens som är karakteristisk för 1900-talets konstnärliga kultur. i allmänhet och icke-klassisk estetik.

Lit.: Denisov E.V. Stabila och rörliga element av musikalisk form och deras interaktion // Teoretiska problem med musikaliska former och genrer. M., 1971; Kohoutek C. Kompositionsteknik i 1900-talets musik. M., 1976; Lutoslawski V. Artiklar, be-

grå hår, minnen. M., 1995; Boulez P. Alea // Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958; Boulez R. Zu meiner III Sonate // Ibid, III. 1960; Schaffer B. Nowa muzyka (1958). Krakow, 1969; Schaffer B. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Krakow, 1975; Stockhausen K. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmstadt, 1967.

Vilka är de tre lagarna för slumpmässighet och varför oförutsägbarhet ger oss möjlighet att göra de mest tillförlitliga förutsägelserna.

Vårt sinne motstår idén om slumpen med all sin kraft. Under loppet av vår evolution som art har vi utvecklat förmågan att leta efter orsak-och-verkan-samband i allt. Långt före vetenskapens intåg visste vi redan att en karmosinröd solnedgång förebådar en farlig storm, och en febrig rodnad i ett barns ansikte betyder att dess mamma kommer att få en svår natt. Vårt sinne försöker automatiskt strukturera data vi får på ett sådant sätt att det hjälper oss att dra slutsatser från våra observationer och använda dessa slutsatser för att förstå och förutsäga händelser.

Idén om slumpmässighet är så svår att acceptera eftersom den motsäger den grundläggande instinkten som tvingar oss att leta efter rationella mönster i världen omkring oss. Och olyckor visar för oss att sådana mönster inte existerar. Detta innebär att slumpmässighet i grunden begränsar vår intuition, eftersom den bevisar att det finns processer vars förlopp vi inte helt kan förutse. Detta koncept är inte lätt att acceptera, även om det är en väsentlig del av universums mekanism. Utan att förstå vad slumpmässighet är, befinner vi oss i en återvändsgränd i en perfekt förutsägbar värld som helt enkelt inte existerar utanför vår fantasi.

Jag skulle säga att först när vi har bemästrat de tre aforismerna - slumpens tre lagar - kan vi befria oss från vår primitiva önskan om förutsägbarhet och acceptera universum som det är, och inte som vi skulle vilja att det skulle vara.

Slumpmässighet finns

Vi använder alla mentala mekanismer för att undvika att möta slumpen. Vi pratar om karma, denna kosmiska utjämnare som kopplar ihop till synes orelaterade saker. Vi tror på goda och dåliga omen, på det faktum att "Gud älskar treenigheten", vi hävdar att vi påverkas av stjärnornas läge, månens faser och planeternas rörelse. Om vi ​​får diagnosen cancer försöker vi automatiskt skylla det på något (eller någon).

Men många händelser kan inte helt förutsägas eller förklaras. Katastrofer inträffar oförutsägbart och både bra och dåliga människor lider, inklusive de som föddes "under en lycklig stjärna" eller "under ett gynnsamt tecken." Ibland lyckas vi förutsäga något, men slumpen kan lätt motbevisa även de mest tillförlitliga förutsägelserna. Bli inte förvånad om din feta kedjerökande bikergranne lever längre än du.

Dessutom kan slumpmässiga händelser låtsas vara icke-slumpmässiga. Även den mest skarpsinniga vetenskapsman kan ha svårt att skilja mellan en verklig effekt och en slumpmässig fluktuation. Slumpen kan förvandla placebo till magiska botemedel och ofarliga föreningar till dödliga gifter; och kan till och med skapa subatomära partiklar ur ingenting.

Vissa händelser går inte att förutsäga

Om du går in på något kasino i Las Vegas och tittar på mängden spelare vid spelborden kommer du förmodligen att se någon som tror att han har tur idag. Han har vunnit flera gånger i rad, och hans hjärna försäkrar honom att han kommer att fortsätta att vinna, så spelaren fortsätter att satsa. Du kommer också att se någon som precis har förlorat. Förlorarens hjärna, liksom vinnarens hjärna, råder honom också att fortsätta spelet: eftersom du har förlorat så många gånger i rad betyder det att nu kommer du förmodligen att börja ha tur. Det vore dumt att lämna nu och missa denna chans.

Men oavsett vad vår hjärna säger till oss, finns det ingen mystisk kraft som kan ge oss en "lyckoserie", och inte heller en universell rättvisa som skulle se till att förloraren äntligen börjar vinna. Universum bryr sig inte om du vinner eller förlorar; För henne är alla tärningskast desamma.

Oavsett hur mycket du anstränger dig för att se tärningen kastas igen, och hur noga du än tittar på spelarna som tror att de har haft tur, kommer du att få absolut ingen information om nästa kast. Resultatet av varje kast är helt oberoende av historiken för tidigare kast. Därför är varje förväntning om att man kan få en fördel genom att se spelet dömd att misslyckas. Sådana händelser – oberoende av något och helt slumpmässiga – trotsar alla försök att hitta mönster, eftersom dessa mönster helt enkelt inte existerar.

Slumpmässighet utgör en barriär för mänsklig uppfinningsrikedom eftersom den visar att all vår logik, all vår vetenskap och resonemang inte helt kan förutsäga universums beteende. Oavsett vilka metoder du använder, oavsett vilken teori du hittar på, oavsett vilken logik du använder för att förutsäga resultatet av ett tärningskast, kommer du att förlora fem av sex gånger. Alltid.

Ett komplex av slumpmässiga händelser är förutsägbart, även om enskilda händelser inte är det

Slumpmässighet är skrämmande, det begränsar tillförlitligheten hos även de mest sofistikerade teorierna och döljer vissa delar av naturen för oss, oavsett hur ihärdigt vi försöker tränga in i deras väsen. Ändå kan det inte hävdas att det slumpmässiga är en synonym för det okända. Detta stämmer inte alls.

Slumpmässighet lyder sina egna regler, och dessa regler gör den slumpmässiga processen begriplig och förutsägbar.

Lagen om stora siffror säger att även om enstaka slumpmässiga händelser är helt oförutsägbara, kan ett tillräckligt stort urval av dessa händelser vara ganska förutsägbara - och ju större urval, desto mer exakt förutsägelse. Ett annat kraftfullt matematiskt verktyg, centrala gränssatser, visar också att summan av ett tillräckligt stort antal slumpvariabler kommer att ha en fördelning nära normalen. Med dessa verktyg kan vi förutsäga händelser ganska exakt på lång sikt, hur kaotiska, konstiga och slumpmässiga de än kan vara på kort sikt.

Slumpens regler är så kraftfulla att de utgör grunden för fysikens mest oföränderliga och oföränderliga lagar. Även om atomerna i en gasbehållare rör sig slumpmässigt, beskrivs deras övergripande beteende av en enkel uppsättning ekvationer. Även termodynamikens lagar antar att ett stort antal slumpmässiga händelser är förutsägbara; dessa lagar är orubbliga just därför att slumpen är så absolut.

Det är ironiskt att det är oförutsägbarheten av slumpmässiga händelser som ger oss möjlighet att göra våra mest tillförlitliga förutsägelser.