Formule pentru găsirea medianei. Calcul online a ariei triunghiului

Mediana triunghiului este un segment de linie care leagă vârful unui triunghi cu punctul de mijloc al laturii opuse a acestui triunghi.

Proprietățile mediane ale triunghiului

1. Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri de aceeași zonă.

2. Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de sus. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului (centroid).

3. Întregul triunghi este împărțit de medianele sale în șase triunghiuri egale.

Lungimea medianei trasate în lateral: ( doc prin construirea unui paralelogram și folosind egalitatea în paralelogram a de două ori suma pătratelor laturilor și suma pătratelor diagonalelor )

T1. Cele trei mediane ale triunghiului se intersectează într-un punct M, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de la vârfurile triunghiului. Dat: ∆ abc, SS 1, AA 1, BB 1 - mediane
∆ABC. Demonstrați: și

D-in: Fie M punctul de intersecție al medianelor CC 1 , AA 1 ale triunghiului ABC. Nota A 2 - mijlocul segmentului AM și C 2 - mijlocul segmentului CM. Atunci A 2 C 2 este linia de mijloc a triunghiului AMS. Mijloace, A 2 C 2|| AC

și A 2 C 2 \u003d 0,5 * AC. DIN 1 DAR 1 este linia mediană a triunghiului ABC. Deci A 1 DIN 1 || AC și A 1 DIN 1 \u003d 0,5 * AC.

patrulater A 2 C 1 A 1 C 2- un paralelogram, deoarece laturile sale opuse A 1 DIN 1 și A 2 C 2 egale și paralele. Prin urmare, A 2 M = MA 1 și C2M = DOMNIȘOARĂ 1 . Aceasta înseamnă că punctele A 2și Mîmpărțiți mediana AA 2în trei părți egale, adică AM = 2MA 2. În mod similar CM = 2MC 1 . Deci, punctul M al intersecției a două mediane AA 2și CC2 triunghiul ABC împarte fiecare dintre ele în raport 2:1, numărând de la vârfurile triunghiului. În mod similar, se demonstrează că punctul de intersecție al medianelor AA 1 și BB 1 împarte fiecare dintre ele în raport 2:1, numărând de la vârfurile triunghiului.

Pe mediana AA 1, un astfel de punct este punctul M, deci punctul Mși există un punct de intersecție al medianelor AA 1 și BB 1.

În acest fel, n

T2. Demonstrați că segmentele care leagă centroidul cu vârfurile triunghiului îl împart în trei părți egale. Dat: ∆ABC , sunt medianele sale.

Dovedi: S AMB =S BMC =S-AMC.Dovada. LA, au în comun. deoarece bazele lor sunt egale iar înălțimea trasă de sus M, au în comun. Apoi

În mod similar, se demonstrează că S AMB = S AMC .În acest fel, S AMB = S AMC = S CMB .n

Bisectoarea unui triunghi.Teoreme legate de bisectoarele unui triunghi. Formule pentru găsirea bisectoarelor

Bisectoarea unghiului O rază care începe la vârful unui unghi și împarte unghiul în două unghiuri egale.

Bisectoarea unui unghi este locul punctelor din interiorul unghiului care sunt echidistante de laturile unghiului.

Proprietăți

1. Teorema bisectoarei: Bisectoarea unui unghi interior al unui triunghi împarte latura opusă într-un raport egal cu raportul celor două laturi adiacente

2. Bisectoarele unghiurilor interne ale unui triunghi se intersectează într-un punct - incentrul - centrul cercului înscris în acest triunghi.

3. Dacă două bisectoare dintr-un triunghi sunt egale, atunci triunghiul este isoscel (teorema Steiner-Lemus).

Calcularea lungimii unei bisectoare

l c - lungimea bisectoarei trase pe latura c,

a,b,c - laturile triunghiului față de vârfurile A,B,C, respectiv,

p - jumătate de perimetru al triunghiului,

a l ,b l - lungimile segmentelor în care bisectoarea l c împarte latura c,

α,β,γ - unghiurile interioare ale triunghiului la vârfurile A,B,C, respectiv,

h c - înălțimea triunghiului, coborâtă pe latura c.

metoda zonei.

Caracteristica metodei. Din denumire rezultă că obiectul principal al acestei metode este zona. Pentru un număr de figuri, de exemplu, pentru un triunghi, aria este pur și simplu exprimată prin diferite combinații ale elementelor figurii (triunghi). Prin urmare, o tehnică este foarte eficientă atunci când se compară diferite expresii pentru aria unei figuri date. În acest caz, apare o ecuație care conține elementele cunoscute și dorite ale figurii, rezolvând care determinăm necunoscutul. Aici se manifestă principala caracteristică a metodei zonei - dintr-o problemă geometrică „face” una algebrică, reducând totul la rezolvarea unei ecuații (și uneori a unui sistem de ecuații).

1) Metoda comparației: asociată cu un număr mare de formule S ale acelorași cifre

2) Metoda raportului S: pe baza următoarelor sarcini de referință:

teorema lui Ceva

Punctele A",B",C" se află pe liniile BC,CA,AB ale triunghiului. Dreptele AA",BB",CC" se intersectează într-un punct dacă și numai dacă

Dovada.

Se notează prin punctul de intersecție al segmentelor și . Să aruncăm perpendicularele de la punctele C și A la dreapta BB 1 până când se intersectează cu ea în punctele K și, respectiv, L (vezi figura).

Deoarece triunghiurile și au o latură comună, ariile lor sunt legate ca înălțimi trasate de această latură, adică AL și CK:

Ultima egalitate este adevărată, deoarece triunghiurile dreptunghiulare și sunt similare în unghi ascuțit.

În mod similar, obținem și

Să înmulțim aceste trei egalități:

Q.E.D.

Cometariu. Segmentul (sau continuarea segmentului) care leagă vârful triunghiului cu un punct situat pe partea opusă sau continuarea acestuia se numește ceviana.

Teorema (teorema inversă Ceva). Fie că punctele A", B", C" se află pe laturile BC, CA și respectiv AB ale triunghiului ABC. Fie că relația este valabilă

Apoi segmentele AA", BB", CC" și se intersectează într-un punct.

Teorema lui Menelaus

Teorema lui Menelaus. Fie că o dreaptă intersectează triunghiul ABC, unde C 1 este punctul său de intersecție cu latura AB, A 1 este punctul său de intersecție cu latura BC și B 1 este punctul său de intersecție cu prelungirea laturii AC. Apoi

Dovada . Desenați o dreaptă prin punctul C paralel cu AB. Notăm cu K punctul său de intersecție cu dreapta B 1 C 1 .

Triunghiurile AC 1 B 1 și CKB 1 sunt similare (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1 , ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Prin urmare,

Triunghiurile BC 1 A 1 și CKA 1 sunt de asemenea similare (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Mijloace,

Din fiecare egalitate exprimăm CK:

Unde Q.E.D.

Teorema (teorema inversă a lui Menelaus). Fie dat triunghiul ABC. Fie punctul C 1 să se afle pe latura AB, punctul A 1 pe latura BC și punctul B 1 pe prelungirea laturii AC și relația

Atunci punctele A 1 ,B 1 și C 1 se află pe aceeași dreaptă.

Pentru a găsi mediana pe laturile unui triunghi, nu este necesar să memorați o formulă suplimentară. Este suficient să cunoaștem algoritmul de soluție.

În primul rând, să ne uităm la problema în termeni generali.

Dat un triunghi cu laturile a, b, c. Aflați lungimea medianei trasate pe latura b.

AB=a, AC=b, BC=c.

Pe raza BF punem deoparte segmentul FD, FD=BF.

Să conectăm punctul D cu punctele A și C.

Patrulaterul ABCD este un paralelogram (după caracteristică), deoarece diagonalele sale din punctul de intersecție sunt împărțite la jumătate.

Proprietatea diagonalelor unui paralelogram: suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor sale.

Prin urmare: AC²+BD²=2(AB²+BC²), deci b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². Prin construcție, BF este jumătate din BD, prin urmare,

Aceasta este formula pentru a afla mediana unui triunghi de-a lungul laturilor sale. De obicei este scris astfel:

Să trecem la o problemă specifică.

Laturile triunghiului sunt de 13 cm, 14 cm și 15 cm. Aflați mediana triunghiului trasat pe latura lui de lungime medie.

Aplicând un raționament similar, obținem:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Mediana este segmentul tras de la vârful triunghiului până la mijlocul laturii opuse, adică îl împarte în jumătate prin punctul de intersecție. Punctul în care mediana intersectează latura opusă din care iese se numește bază. Printr-un punct, numit punct de intersecție, trece fiecare mediană a triunghiului. Formula lungimii sale poate fi exprimată în mai multe moduri.

Formule pentru exprimarea lungimii medianei

Adesea, în problemele de geometrie, elevii trebuie să se ocupe de un astfel de segment precum mediana unui triunghi. Formula pentru lungimea sa este exprimată în termeni de laturi:

unde a, b și c sunt laturi. Mai mult, c este partea pe care cade mediana. Așa arată cea mai simplă formulă. Medianele triunghiulare sunt uneori necesare pentru calculele auxiliare. Există și alte formule.

Dacă în timpul calculului se cunosc două laturi ale triunghiului și un anumit unghi α situat între ele, atunci lungimea medianei triunghiului, coborâtă la a treia latură, se va exprima astfel.

Proprietăți de bază

Toate medianele au un punct comun de intersecție O și sunt, de asemenea, împărțite cu acesta într-un raport de doi la unu, dacă numărăm de sus. Acest punct se numește centrul de greutate al triunghiului.
Mediana împarte triunghiul în alte două, ale căror zone sunt egale. Astfel de triunghiuri se numesc triunghiuri egale.
Dacă desenați toate medianele, atunci triunghiul va fi împărțit în 6 cifre egale, care vor fi și triunghiuri.
Dacă într-un triunghi toate cele trei laturi sunt egale, atunci în el fiecare dintre mediane va fi, de asemenea, o înălțime și o bisectoare, adică perpendiculară pe latura de care este desenată și bisectează unghiul din care iese.
Într-un triunghi isoscel, mediana căzută dintr-un vârf care este opus unei laturi care nu este egală cu nicio alta va fi, de asemenea, înălțimea și bisectoarea. Medianele scăzute de la alte vârfuri sunt egale. Aceasta este, de asemenea, o condiție necesară și suficientă pentru isoscel.
Dacă triunghiul este baza unei piramide regulate, atunci înălțimea coborâtă pe această bază este proiectată la punctul de intersecție al tuturor medianelor.

Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasată pe cea mai lungă latură are jumătate din lungime.
Fie O punctul de intersecție al medianelor triunghiului. Formula de mai jos va fi adevărată pentru orice punct M.

O altă proprietate este mediana unui triunghi. Formula pentru pătratul lungimii sale în ceea ce privește pătratele laturilor este prezentată mai jos.

Proprietățile laturilor pe care este trasată mediana

Dacă conectați oricare două puncte de intersecție ale medianelor cu laturile pe care sunt coborâte, atunci segmentul rezultat va fi linia mediană a triunghiului și va fi la o jumătate de latura triunghiului cu care nu are puncte comune.
Bazele înălțimilor și medianelor din triunghi, precum și punctele mijlocii ale segmentelor care leagă vârfurile triunghiului cu punctul de intersecție al înălțimilor, se află pe același cerc.

În concluzie, este logic să spunem că unul dintre cele mai importante segmente este tocmai mediana triunghiului. Formula sa poate fi folosită pentru a găsi lungimile celorlalte laturi ale sale.

Proprietăți

Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, care se numește centroid, și sunt împărțite de acest punct în două părți într-un raport de 2: 1, numărând de sus.
Un triunghi este împărțit la trei mediane în șase triunghiuri de arie egală.
Latura mai lungă a triunghiului corespunde medianei mai mici.
Din vectorii care formează medianele, puteți face un triunghi.
Cu transformări afine, mediana trece la mediană.
Mediana unui triunghi îl împarte în două părți egale.

Formule

Formula pentru mediana prin laturi (derivată prin teorema Stewart sau completând-o la un paralelogram și folosind egalitatea în paralelogram a sumei pătratelor laturilor și a sumei pătratelor diagonalelor):

, unde m c este mediana laturii c; a, b, c sunt laturile unui triunghi, deci suma pătratelor medianelor unui triunghi arbitrar este întotdeauna de 4/3 ori mai mică decât suma pătratelor laturilor sale.

Formula laterală în termeni de mediane:

, unde medianele laturilor corespunzătoare ale triunghiului sunt laturile triunghiului.

Dacă două mediane sunt perpendiculare, atunci suma pătratelor laturilor în care sunt aruncate este de 5 ori pătratul celei de-a treia laturi.

Regulă mnemonică

maimuță mediană,
care are un ochi ager
sari chiar la mijloc
laturile pe partea de sus,
unde este acum.

Note

Vezi si

Legături

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți care este „mediana unui triunghi” în alte dicționare:

Mediană: Mediana unui triunghi în planimetrie, segmentul care leagă vârful triunghiului cu punctul de mijloc al laturii opuse în statistică, mediana este valoarea populației care împarte seria de date clasate în jumătate Median (statistici) ... . .. Wikipedia

Mediană: Mediana unui triunghi în planimetrie, segmentul care leagă vârful triunghiului de punctul de mijloc al laturii opuse Mediană (statistică) cuantilă 0,5 Mediană (urmă) linia de mijloc a traseului trasat între dreapta și stânga... Wikipedia

Triunghiul și medianele sale. Mediana unui triunghi este un segment din interiorul unui triunghi care leagă vârful triunghiului cu punctul de mijloc al laturii opuse, precum și o linie dreaptă care conține acest segment. Cuprins 1 Proprietăți 2 Formule ... Wikipedia

Linie care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul bazei sale. Un dicționar complet de cuvinte străine care au intrat în uz în limba rusă. Popov M., 1907. median (lat. mediana medium) 1) geol. un segment care leagă vârful unui triunghi cu ...... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

Mediană (din latinescul mediana mijloc) în geometrie, un segment care leagă unul dintre vârfurile unui triunghi cu mijlocul laturii opuse. Trei triunghiuri M. se intersectează într-un punct, care uneori este numit „centrul de greutate” al triunghiului, deci... Marea Enciclopedie Sovietică

Un triunghi este o linie dreaptă (sau segmentul său în interiorul unui triunghi) care leagă vârful triunghiului cu punctul de mijloc al laturii opuse. Trei triunghiuri M. se intersectează într-un punct, spre paradis se numește centrul de greutate al triunghiului, centroidul sau ... ... Enciclopedie matematică

- (din lat. mediana mijloc) un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse... Dicţionar enciclopedic mare

MEDIAN, mediani, femei. (lat. mediana, lit. mijloc). 1. Linie dreaptă trasată de la vârful unui triunghi până la mijlocul laturii opuse (mat.). 2. În statistică, pentru o serie de multe date, o cantitate care are proprietatea că numărul de date, ... ... Dicționar explicativ al lui Ushakov

MEDIAN, s, femeie În matematică: un segment de dreaptă care leagă vârful unui triunghi de punctul de mijloc al laturii opuse. Dicționar explicativ al lui Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Şvedova. 1949 1992... Dicționar explicativ al lui Ozhegov

MEDIAN (din lat. mediana mijloc), un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse ... Dicţionar enciclopedic