Teoria inegalităților logaritmice. Totul despre inegalitățile logaritmice

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Inegalități logaritmice

În lecțiile anterioare, ne-am familiarizat cu ecuațiile logaritmice și acum știm ce sunt acestea și cum să le rezolvăm. Lecția de astăzi va fi dedicată studiului inegalităților logaritmice. Care sunt aceste inegalități și care este diferența dintre rezolvarea unei ecuații logaritmice și a unei inegalități?

Inegalitățile logaritmice sunt inegalități care au o variabilă care apare sub semnul logaritmului sau la baza acestuia.

Sau, mai putem spune că o inegalitate logaritmică este o inegalitate în care valoarea ei necunoscută, ca într-o ecuație logaritmică, va apărea sub semnul logaritmului.

Cele mai simple inegalități logaritmice au următoarea formă:

unde f(x) și g(x) sunt niște expresii care depind de x.

Să ne uităm la asta folosind acest exemplu: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rezolvarea inegalităților logaritmice

Înainte de a rezolva inegalitățile logaritmice, este de remarcat faptul că, atunci când sunt rezolvate, acestea sunt similare cu inegalitățile exponențiale, și anume:

În primul rând, când trecem de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, trebuie să comparăm și baza logaritmului cu una;

În al doilea rând, atunci când rezolvăm o inegalitate logaritmică folosind o modificare a variabilelor, trebuie să rezolvăm inegalitățile în raport cu modificarea până când obținem cea mai simplă inegalitate.

Dar tu și cu mine am luat în considerare aspecte similare ale rezolvării inegalităților logaritmice. Acum să acordăm atenție unei diferențe destul de semnificative. Tu și cu mine știm că funcția logaritmică are un domeniu limitat de definiție, prin urmare, atunci când trecem de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, trebuie să luăm în considerare intervalul de valori admisibile (ADV).

Adică, trebuie luat în considerare faptul că atunci când rezolvăm o ecuație logaritmică, tu și cu mine putem găsi mai întâi rădăcinile ecuației și apoi verificăm această soluție. Dar rezolvarea unei inegalități logaritmice nu va funcționa în acest fel, deoarece trecând de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, va fi necesar să se noteze ODZ a inegalității.

În plus, merită să ne amintim că teoria inegalităților constă din numere reale, care sunt numere pozitive și negative, precum și din numărul 0.

De exemplu, când numărul „a” este pozitiv, atunci trebuie să utilizați următoarea notație: a >0. În acest caz, atât suma, cât și produsul acestor numere vor fi, de asemenea, pozitive.

Principiul principal pentru rezolvarea unei inegalități este înlocuirea acesteia cu o inegalitate mai simplă, dar principalul lucru este că este echivalentă cu cea dată. În plus, am obținut și o inegalitate și am înlocuit-o din nou cu una care are o formă mai simplă etc.

Când rezolvați inegalitățile cu o variabilă, trebuie să găsiți toate soluțiile acesteia. Dacă două inegalități au aceeași variabilă x, atunci astfel de inegalități sunt echivalente, cu condiția ca soluțiile lor să coincidă.

Când efectuați sarcini de rezolvare a inegalităților logaritmice, trebuie să vă amintiți că atunci când a > 1, funcția logaritmică crește și când 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metode de rezolvare a inegalităților logaritmice

Acum să ne uităm la câteva dintre metodele care au loc la rezolvarea inegalităților logaritmice. Pentru o mai bună înțelegere și asimilare, vom încerca să le înțelegem folosind exemple specifice.

Știm cu toții că cea mai simplă inegalitate logaritmică are următoarea formă:

În această inegalitate, V – este unul dintre următoarele semne de inegalitate:<,>, ≤ sau ≥.

Când baza unui logaritm dat este mai mare decât unu (a>1), făcând tranziția de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, atunci în această versiune semnul inegalității este păstrat, iar inegalitatea va avea următoarea formă:

care este echivalent cu acest sistem:

În cazul în care baza logaritmului este mai mare decât zero și mai mică decât unu (0

Acesta este echivalent cu acest sistem:

Să ne uităm la mai multe exemple de rezolvare a celor mai simple inegalități logaritmice prezentate în imaginea de mai jos:

Rezolvarea exemplelor

Exercițiu. Să încercăm să rezolvăm această inegalitate:

Rezolvarea intervalului de valori acceptabile.

Acum să încercăm să-i înmulțim partea dreaptă cu:

Să vedem cu ce putem veni:

Acum, să trecem la conversia expresiilor sublogaritmice. Datorită faptului că baza logaritmului este 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Și de aici rezultă că intervalul pe care l-am obținut aparține în întregime ODZ și este o soluție la o astfel de inegalitate.

Iată răspunsul pe care l-am primit:

Ce este necesar pentru a rezolva inegalitățile logaritmice?

Acum să încercăm să analizăm de ce avem nevoie pentru a rezolva cu succes inegalitățile logaritmice?

În primul rând, concentrează-ți toată atenția și încearcă să nu faci greșeli atunci când faci transformările care sunt date în această inegalitate. De asemenea, trebuie amintit că atunci când se rezolvă astfel de inegalități, este necesar să se evite extinderile și contracțiile inegalităților, care pot duce la pierderea sau achiziționarea de soluții străine.

În al doilea rând, atunci când rezolvați inegalitățile logaritmice, trebuie să învățați să gândiți logic și să înțelegeți diferența dintre concepte precum un sistem de inegalități și un set de inegalități, astfel încât să puteți selecta cu ușurință soluții la inegalitate, ghidându-vă în același timp de DL-ul său.

În al treilea rând, pentru a rezolva cu succes astfel de inegalități, fiecare dintre voi trebuie să cunoască perfect toate proprietățile funcțiilor elementare și să înțeleagă clar sensul acestora. Astfel de funcții includ nu numai logaritmice, ci și raționale, de putere, trigonometrice etc., într-un cuvânt, toate cele pe care le-ați studiat în timpul algebrei școlare.

După cum puteți vedea, după ce ați studiat subiectul inegalităților logaritmice, nu este nimic dificil în rezolvarea acestor inegalități, cu condiția să fiți atent și perseverent în atingerea obiectivelor. Pentru a evita orice probleme în rezolvarea inegalităților, trebuie să exersați cât mai mult posibil, rezolvând diverse sarcini și, în același timp, să vă amintiți metodele de bază de rezolvare a unor astfel de inegalități și sistemele lor. Dacă nu reușiți să rezolvați inegalitățile logaritmice, ar trebui să vă analizați cu atenție greșelile pentru a nu mai reveni la ele în viitor.

Teme pentru acasă

Pentru a înțelege mai bine subiectul și a consolida materialul tratat, rezolvați următoarele inegalități:

Cu ei sunt logaritmi în interior.

Exemple:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2$
$\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))$

Cum se rezolvă inegalitățile logaritmice:

Ar trebui să ne străduim să reducem orice inegalitate logaritmică la forma $\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))$ (simbolul $˅$ înseamnă oricare dintre ). Acest tip vă permite să scăpați de logaritmi și bazele lor, făcând trecerea la inegalitatea expresiilor sub logaritmi, adică la forma $f(x) ˅ g(x)$.

Dar atunci când faceți această tranziție există o subtilitate foarte importantă:
$-$ dacă este un număr și este mai mare decât 1, semnul inegalității rămâne același în timpul tranziției,
$-$ dacă baza este un număr mai mare decât 0, dar mai mic decât 1 (se află între zero și unu), atunci semnul de inegalitate ar trebui să se schimbe la opus, adică.

Exemple:

$\log_2⁡((8-x))<1$
ODZ: $8-x>0$
$-x>-8$
$X<8$

Soluţie:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2\(x>6$
Răspuns: $(6;8)$

$\log$$_(0,5⁡)$ $(2x-4)$≥$\log$$_(0,5)$ ⁡$((x+ 1))$
ODZ: $\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)$
$\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)$ $\Leftrightarrow$ $\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) $ $\Leftrightarrow$ $x\in(2;\infty)$

Soluţie:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
Răspuns: $(2;5]$

Foarte important!În orice inegalitate, trecerea de la forma $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ la compararea expresiilor sub logaritmi se poate face numai dacă:

Exemplu . Rezolvați inegalitatea: $\log$$≤-1$

Soluţie:

$\Buturuga$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	Să scriem ODZ.
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	Deschidem parantezele și aducem .
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	Înmulțim inegalitatea cu $-1$, fără a uita să inversăm semnul de comparație.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	Să construim o dreaptă numerică și să marchem punctele $\frac(7)(3)$ și $\frac(3)(2)$ pe ea. Vă rugăm să rețineți că punctul este eliminat de la numitor, în ciuda faptului că inegalitatea nu este strictă. Cert este că acest punct nu va fi o soluție, deoarece atunci când este înlocuit în inegalitate, ne va conduce la împărțirea la zero.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	Acum trasăm ODZ pe aceeași axă numerică și notăm ca răspuns intervalul care se încadrează în ODZ.
	Scriem răspunsul final.

Răspuns: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

Exemplu . Rezolvați inegalitatea: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Soluţie:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Să scriem ODZ.
ODZ: $x>0$	Să ajungem la soluție.
Soluție: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Aici avem o inegalitate tipică pătrat-logaritmică. Hai să o facem.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Extindem partea stângă a inegalității în .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Acum trebuie să revenim la variabila inițială - x. Pentru a face acest lucru, să mergem la , care are aceeași soluție și să facem înlocuirea inversă.
$\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Transformă $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$.
$\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Să trecem la compararea argumentelor. Bazele logaritmilor sunt mai mari decât $1$, deci semnul inegalităților nu se modifică.
$\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Să combinăm soluția inegalității și ODZ într-o singură figură.
	Să scriem răspunsul.

Răspuns: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

O inegalitate se numește logaritmică dacă conține o funcție logaritmică.

Metodele de rezolvare a inegalităților logaritmice nu sunt diferite de, cu excepția a două lucruri.

În primul rând, când se trece de la inegalitatea logaritmică la inegalitatea funcțiilor sublogaritmice, ar trebui urmați semnul inegalității rezultate. Se supune următoarei reguli.

Dacă baza funcției logaritmice este mai mare de $1$, atunci când treceți de la inegalitatea logaritmică la inegalitatea funcțiilor sublogaritmice, semnul inegalității se păstrează, dar dacă este mai mic de $1$, atunci se schimbă la opus .

În al doilea rând, soluția oricărei inegalități este un interval și, prin urmare, la sfârșitul rezolvării inegalității funcțiilor sublogaritmice este necesar să se creeze un sistem de două inegalități: prima inegalitate a acestui sistem va fi inegalitatea funcțiilor sublogaritmice, iar al doilea va fi intervalul domeniului de definire a funcţiilor logaritmice incluse în inegalitatea logaritmică.

Practică.

Să rezolvăm inegalitățile:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Baza logaritmului este $2>1$, deci semnul nu se schimbă. Folosind definiția logaritmului, obținem:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )

\(\Buturuga\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Să scriem ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Deschidem parantezele și aducem .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Înmulțim inegalitatea cu \(-1\), fără a uita să inversăm semnul de comparație.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Să construim o dreaptă numerică și să marchem punctele \(\frac(7)(3)\) și \(\frac(3)(2)\) pe ea. Vă rugăm să rețineți că punctul este eliminat de la numitor, în ciuda faptului că inegalitatea nu este strictă. Cert este că acest punct nu va fi o soluție, deoarece atunci când este înlocuit în inegalitate, ne va conduce la împărțirea la zero.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Acum trasăm ODZ pe aceeași axă numerică și notăm ca răspuns intervalul care se încadrează în ODZ.
	Scriem răspunsul final.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Să scriem ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Să ajungem la soluție.
Soluție: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Aici avem o inegalitate tipică pătrat-logaritmică. Hai să o facem.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Extindem partea stângă a inegalității în .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Acum trebuie să revenim la variabila inițială - x. Pentru a face acest lucru, să mergem la , care are aceeași soluție și să facem înlocuirea inversă.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transformă \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Să trecem la compararea argumentelor. Bazele logaritmilor sunt mai mari decât \(1\), deci semnul inegalităților nu se modifică.
\(\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Să combinăm soluția inegalității și ODZ într-o singură figură.
	Să scriem răspunsul.